Title: ETH_Sem5 / QM_I / Woche_01_02

Q: Was ist der Zusammenhang zwischen der Poisson-klammer und dem Kommutator in der QM?
A: \(\{F,G\} := \frac{1}{i\hbar}[F,G]\)

Q: Was ist eine \(C^\star\)-Algebra?
A: Eine Algebra mit Norm und Involution

Q: Wie kommen wir in der QM von der Lie-Algebra zur Lie-Gruppe?
A: \(\exp(s \frac{1}{i\hbar}Q)\)
Erhöht die zu \(Q\) kanonische Grösse um \(s\)
Bsp. Für \(Q\) die Position ist der Exponent ein Boost

Q: Wie verbinden wir den Hilbertraum mit dem Zustand in der \(C^\star\)-Algebra?
A: Wir verlangen \(\rho^A(F) = \langle\xi,\pi(F)\xi\rangle\)
Bsp:
Für den Ort und den Impuls in 1D (mit Wellenfunktionen) gilt
\(\mathcal{H} = L^2(\R)\)
\(\pi(Q):\phi(x) \mapsto x\phi(x)\)
\(\pi(P):\phi(x)\mapsto\frac{\hbar}{i}\partial_x\phi(x)\)
\(\langle\phi,\psi\rangle = \int\phi^* \psi \space dx\)

Q: Was ist die GNS Konstruktion?
A: GNS Konstruktion ist ein konstruktiver Beweis dafür das \(C^\star\)-Algebren normalerweise darstellbar sind.

Q: Wie konstruieren wir eine Messung in der QM?
A: \(\exp(s\frac{1}{i\hbar}F_s \otimes P_a)\)
Diese Aktion misst die Observable \(F\) auf dem System \(s\) und schreibt das Resultat in den Akteur \(a\) mithilfe von \(P\)

Q: Was ist der Heisenberg-Schnitt?
A: Hypothetische Linie zwischen dem Quantensystem und dem Beobachter:
Extra: Es ist Teil aktueller Forschung zu klären, ob es relevant ist, wo dieser Schnitt liegt, das heisst, ob die Wahl dieses Schnitts einen Einfluss auf unsere Voraussagen hat; Für alle Experimente, die man heute ausführen kann, kann man diesen Schnitt allerdings innerhalb des praktischen Rahmens (also innerhalb dessen, was im Experiment tatsächlich als Quantensystem behandelt werden kann) beliebig verschieben.

Q: Grundlegende Prinzipien zur Beschreibung eines quantenmechanischen Systems (2)
A: 1. Eine Aktion des Agenten auf das System ist i.A. eine Interaktion
2. Eine Messung/Beobachtung ist ein Spezialfall einer Aktion, insb. gilt also 1.

Q: Eigenschaften der Menge aller Aktionen \(U_S\) (4)
A: - Identität ist enthalten \(\exp(0)\)
- Aktionen sequentiell zusammensetzbar \(\exp \left( \frac{1}{i\hbar} H \right) \exp \left( \frac{1}{i\hbar} G \right)\)
- Aktionen invertierbar \(\exp \left( \frac{1}{i\hbar} H \right)^{-1} = \exp \left( -\frac{1}{i\hbar} H \right)\)
- Aktionen stetig parametrisierbar \((\lambda_1, \lambda_2 \mapsto \exp \left(\frac{1}{i\hbar}\sum \lambda_i H^{(i)} \right)\)

Q: Was ist ein Zustand eines QM System \(S\) nach Renner?
A: Das Wissen, das ein Agent über das QM System \(S\) hat.

Operator | reversible Aktion | Observable
\(\hat P\)  | Translation Raum | Impuls
\(\hat X\)  | Boost | Position
\(\hat H\)  | Translation Zeit | Energie
\(\hbar \hat{\vec M}\)  | Drehungen | Drehimpuls

Q: Darstellungseigenschaft Lie-Algebra Darstellung \(\pi\)?
A: \(\pi : \mathcal A \to \End(\mathcal H)\) ist eine lineare Abbildung, mit
\[\forall f, g \in \mathcal A: \pi([f,g]) = [\pi(f), \pi(g)]\]