Title: ETH_Sem5 / QM_I / Woche_13

2-fach entartete Störungstheorie: \(\ket{\Psi_0} = a_m \ket{m} + a_n \ket{n}\). Durch Multiplikation von links mit \(\bra{m} \text{ resp. } \bra{n}\) erhalten wir die Matrixgleichung \[\begin{pmatrix} \varepsilon_n' - E_1 & \delta \\ \delta^{\ast} & \varepsilon_m' - E_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_m \\ a_n \end{pmatrix} = 0\]Oder einfacher mit dem Projektor \[\pi = \ket{m}\bra{m} + \ket{n}\bra{n} \]ist\[M = \pi H' \pi - E_1 \pi\]Also entsprechen die Eigenwerte von \(\pi H' \pi\) gerade den Lösungen der obigen Gleichung und die zugehörigen Eigenwerte sind \(E_1\).

Q: Bei der Betrachtung des Stark-Effekts haben wir durch Symmetrie gefunden, dass für \(\hat H' = q_e E \hat z\) in der Basis \(\{\ket{2s_0}, \ket{2p_1}, \ket{2p_0}, \ket{2p_{-1} } \}\), da\[[...] = 0\]\[[...] = (-1)^l \ket{n,l,m}\]
A: \comm{\hat L_z}{\hat z}; \hat \Pi \ket{n, l, m}

Q: Definierende Eigenschaften Propagator (3)
A: - \(U(t,t) = \mathbb 1\)
- \(U(r,s) U(s,t) = U(r,t)\)
- \(i \hbar \dd{}{t'} U(t',s) = H(t') U(t',s)\)

Q: Propagator ausrechnen:\[\begin{aligned} U^{(n)}(t,s) &= \left( \frac{1}{i\hbar} \right)^n \int_s^t d t_1 \int_s^{t_1} dt_2 \cdots \int_s^{t_{n-1}} dt_n H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n) \\ &= \frac{1}{n!} \left( \frac{1}{i\hbar} \right)^n \int_s^t d t_1 \int_s^t dt_2 \cdots \int_s^t dt_n \mathcal{T} \bigg(H(t_1) H(t_2) \cdots H(t_n)\bigg) \\ &= \mathcal{T} \exp{ \left(\frac{1}{i\hbar} \int_s^t dt' H(t') \right)}\end{aligned}\]Woher kommt der Faktor \(\frac{1}{n!} \) auf der zweiten Zeile?
A: Mit dem Zeitordnungsoperator \(\mathcal T\) haben wir uns erlaubt über den vollen Hyperkubus im \(\mathbb R^n\) zu integrieren, jedoch haben zählen wir so "in jeder Dimension das Volumen doppelt". Illustration für \(n=2\):