Title: ETH_Sem4 / PC3 / Woche7

Q: Energien und Wellenfunktionen (Teilchen in 1D, 2D & 3D Kasten)—Vergleich
A: Dim | Wavefunction | Energy
1-D | \(\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L})\) | \(E_n=\frac{h^2}{8m}(\frac{n^2}{L^2})\)
2-D | \(\Psi_{n_x,n_y}(x,y)=\sqrt{\frac{4}{L_xL_y}}\sin(\frac{n_x\pi x}{L_x})\sin(\frac{n_y\pi y}{L_y})\) | \(E_{n_x,n_y}= \frac{h^2}{8m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2})\)
3-D | \(\Psi_{n_x,n_y,n_z}(x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{L_xL_yL_z}}\sin(\frac{n_x\pi x}{L_x})\sin(\frac{n_y\pi y}{L_y})\sin(\frac{n_z\pi z}{L_z})\) | \(E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{h^2}{8m}(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2})\)

Q: Tunneleffekt: Schrödingergleichungen in den Bereichen A, B und C
A: \(\hat{H}\Psi_A(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}\Psi_A(x)=E\Psi_A(x)\) (analog für C)
\(\hat{H}\Psi_B(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\text{d}^2}{\text{d}x^2}\Psi_B(x)+\underline{V\Psi_B(x)}=E\Psi_B(x)\)

Q: Tunneleffekt: Lösungen d. Wellenfkt. in den Bereichen A, B und C
A: \(\Psi_A(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx} \,with:k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \)
\(\Psi_B(x)=A'e^{ik'x}+B'e^{-ik'x} \,with:k=\sqrt{\frac{2m(E-V)}{\hbar^2}} \)
\(\Psi_C(x)=A''e^{ikx}+B''e^{-ikx} \,with:k\in\mathbb{R}\ if\ E<V\)

Q: Die Tunnelwahrscheinlichkeit wird klein für:
1. ________
2. ________
3. ________
A: 1. breite Barrieren (\(D\to\infty\))
2. hohe Barrieren (\(V\to\infty\))
3. grosse Massen m

Q: Paritätsoperator
\(\hat{P}\Psi(x)=?\)
A: \(\hat{P}\Psi(x)=\Psi(-x)\)