Title: ETH_Sem4 / PC3 / Woche02

Q: Operatoren Übung:
Wenden Sie an:
\(\boxed{\hat{A}f(x) =?}\)
mit:
\(\hat{A}=\frac{d^2}{dx^2}\)
\(f(x)=cos(kx)\)
A: \(\hat{A}f(x)=-k^2cos(kx)\)

Q: Operatoren Übung (aufwendig, Stift und Papier):
\([\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{B}]f(x)\)
mit:
\(\hat{B}=i\hbar\frac{d}{dx}\)
\(\hat{C}=x\)
A: \(\boxed{[\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{B}]f(x)=i\hbar f(x)}\)
Lösungsweg:
\([\hat{B}\hat{C}-\hat{C}\hat{B}]f(x) = \hat{B}\hat{C}f(x)-\hat{C}\hat{B}f(x)\)
\(=i\hbar\frac{d}{dx}(xf(x))-xi\hbar\frac{d}{dx}f(x)\)
\(=i\hbar f(x)+i\hbar xf'(x)-i\hbar xf'(x)\)
\(=i\hbar f(x)\)
Hinweis:
In der klassischen Physik kommutieren messbare Größen (Observablen), d.h. Kommutator = 0.
Dies ist in der QM nicht immer gegeben.

Q: Kommutator(Definition)
\([A,B]=?\)
(A,B stellen Observablen, Operatoren, Matrizen, Zahlen, Fkt., etc. dar)
A: \([A,B]\overset{def}{=}AB-BA\)

Q: Ist f(x) eine Eigenfunktion von A?
\(\hat{A}=\frac{d^2}{dx^2}\)
\(f(x)=cos(kx)\)
A: Ja, denn
\(\hat{A}f(x)=\frac{d^2}{dx^2}cos(kx)\)
\(=-k^2cos(kx)\)
\(=-k^2f(x)\)
\(-k^2 \neq fct(x)\)
\(-k^2 ist\,der\,Eigenwert\)

Q: Schrödingerdarstellung der QM:
\(\hat{x}=?\)
A: \(\hat{x}=x\)
Bsp.:
\(\hat{x}\Psi(x)=x\cdot \Psi(x)\)

Q: Schrödingerdarstellung der QM:
\(\hat{p}_x=?\)
A: \(\hat{p}_x=-i\hbar\frac{d}{dx}\)
Bsp.:
\(\hat{p}_x\Psi(x)=-i\hbar\frac{d}{dx}(\Psi(x))\)

Q: Ist g(x) eine Eigenfunktion von A?
\(\hat{A}=\frac{d^2}{dx^2}\)
\(g(x)=x^2\)
A: Nein, denn
\(\hat{A}g(x)=\frac{d^2}{dx^2}x^2=2\neq C\cdot g(x)\)

Q: Heisenberg'sche Unbestimmtheitsrelation
A: \(\Delta p_x \Delta x \geq \frac{h}{4 \pi} = \frac{\hbar}{2}\)
allg.:
\(\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}|\braket{[\hat A |\hat B]}|\)

Q: \(\hbar = ?\)
A: \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)
\(h \approx 6.63 \cdot 10^{-34} Js \)

Q: Korrespondenz Prinzip (klassisch -> QM):
1. ?
2. ?
3. ?
A: 1. \(\boxed{E_{klassisch,System} = \sum_i E_{kin,i}+\sum_jE_{pot, j}}\) aufstellen als Fkt. der Ortskoordinaten \(q_i(x,y,z)\) & Impulskoordinaten \(p_i(p_x,p_y,p_z)\) aller Teilchen im System.
2. Die Ortskoord. \(q_i\) und die Impulskoord. \(p_i\) aller Teilchen durch Operatoren \(\hat{q}_i = q_i\) und \(\hat{p}_i = -i\hbar\frac{\partial}{\partial q_i}\)ersetzen um Hamiltonoperator: \(\hat{H} \) zu bilden.
3. Schrödinger Gleichung \(\hat{H}\Psi = E\Psi\) aufstellen.

Q: Woraus besteht der klassische Total-Energieterm im Wasserstoffatom (Kern fixiert) ?
A: \(E_{tot} = E_{kin}+E_{pot} = \frac{p_e^2}{2m_e}-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0|r|}\)
\(Z = 1 \) für Wasserstoff, Kern fix., magWW vernachl.

Q: Korrespondenzpr. System Wasserstoffatom:
\(E_{tot, klassisch} = E_{kin}+E_{pot} = \frac{p_e^2}{2m_e}-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0|r|}\)
Wenden Sie das KP an und überführen Sie das System in die QM.
A: \(\hat{}\)\(\hat{H}\Psi_n(x,y,z) = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta\Psi_n(x,y,z) - \frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\Psi_n(x,y,z)\)
\(=E_n\Psi_n(x,y,z)\)

Q: \(E_{kin} = fct(p)\)
A: \(E_{kin} = \frac{p^2}{2m}(= \frac{mv^2}{2})\);
\(p: Impuls\)

Q: Postulat 1
A: In der QM wird ein abgeschlossenes System durch seinen Hamiltonoperator \(\hat{H}\) vollständig charakterisiert.

Q: Postulat 2
A: Im Hilbertraum ist ein Skalarprodukt definiert:
\(\int\psi_n^*\psi_md\tau\overset{def.}{=}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\ldots \psi_n^*(x_1, x_2,\ldots)\psi_m(x_1,x_2,\ldots)dx_1dx_2\ldots\)
\(\psi^*_n\) ist komplex konj. von \(\psi_n\); \(d\tau\): verallg. Volumenelement aller Koordinaten von denen die Funktionen abhängen.
Die Gesamth. aller orthog., normierten EF \(\psi_n\) bildet eine vollständige Basis des Hilbertraums.
Jede Zustandsfkt. kann dargestellt werden als:
\(\Psi = \sum_nc_n\psi_n\)

Q: Postulat 3
A: Der Erwartungswert \(\bar a \) einer Observablen \(\hat{A} \) für ein System mit norm. Zustandsfunktion \(\Psi \) (d.h.\(\int\Psi^*\Psi d\tau = 1 \)) ist gegeben durch
\(\boxed{\bar a = \braket{\hat A}=\int\Psi^*\hat A\Psi d\tau }\)

Q: Bra-Ket Notation Dirac
A: \(\int\psi_m^*\psi_nd\tau\overset{def.}{=}\braket{\psi_m|\psi_n}\overset{def.}{=}\braket{m|n}\)
und:
\(\int\psi_m^*\hat A\psi_nd\tau\overset{def.}{=}\braket{\psi_m|\hat A\psi_n}\overset{def.}{=}\braket{m|\hat A|n}\)
Achtung: die erste Funktion im Braket wird immer komplex konjugiert!

Q: Theorem 1:
Selbstadjungierte, lineare Operatoren haben ...
A: Selbstadjungierte, lineare Operatoren haben reelle Eigenwerte.

Q: Theorem 2:
Eigenfunktionen von selbstadjungierten Operatoren sind...
A: Eigenfunktionen von selbstadjungierten Operatoren sind orthogonal, wenn sie verschiedene Eigenwerte haben.

Q: Theorem 3:
Wenn zwei Operatoren \(\hat A \) und \(\hat B\) eine gemeinsame (vollständige) Basis von ... haben, dann ...
A: Wenn zwei Operatoren \(\hat A \) und \(\hat B\) eine gemeinsame (vollständige) Basis von EF \(\psi_i \) haben, dann kommutieren \(A \) und \(\hat B\).

Q: Theorem 4:
Wenn zwei Operatoren vertauschen, dann kann man eine ... (...) Basis von Eigenfunktionen der ...
A: Wenn zwei Operatoren vertauschen, dann kann man eine gemeinsame (vollständige) Basis von Eigenfunktionen der beiden Operatoren ermitteln.

Q: Bornsche Interpretation der Wellenfunktion
A: \(P_V = \int\int\int_V|\Psi(x,y,z)|^2\mathrm{d}V\)
Die WK'eit \(P_V\) das Teilchen in einem endlichen Volumen V zu finden entspricht dem über das Volumen integrierten Betragsquadrat der Wellenfkt.

Q: Deltafunktion:
\(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{d}x = ?\)
\(\delta(x) = ? \quad x \neq 0\)
\(\delta(0) = ?\)
A: \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\mathrm{d}x = 1\)
\(\delta(x) = 0 \quad x \neq 0\)
\(\delta(0) = \infty\)

Q: Stellen Sie den klassischen Energieterm für das \(HeH^+\)–Molekülion auf.
A: \(E = \sum_{K =1}^{2}\frac{p_k^2}{2m_K}+\sum_{i=1}^{2}\frac{p_{e_i}^2}{2m_e}\)
\(+\frac{2e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\vec{R_1}-\vec{R_2}|}+\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{|\vec{r_1}-\vec{r_2}|}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\sum_{K=1}^2\sum_{i=1}^2\frac{Z_K}{|\vec{R_K}-\vec{r_i}|}\)
Die ersten zwei Summen entsprechen den kinetischen Energien aller 4 Untersysteme (ein \(\alpha\)-Teilchen und ein Proton dann zwei Elektronen).
Die unteren Terme entsprechen den Interaktionen. \(2e^2\) ist der Gewichtungsfaktor für die \(\alpha\)-Teilchen (L = |2e|) zu Proton(L = |e|) Interaktion (\(2e^2 = 2e\cdot e \)) und \(e^2\) ist der Gew.faktor für die Elektron(L = |e|) zu Elektron(L = |e|) Interaktion. Der Faktor für die Elektron zu Kernteilchen Interaktion (\(e^2\)) mag verwirren, jedoch wird in der Summe das \(\alpha \)-Teilchen weiter gewichtet durch \(Z_K\).
\(\vec{r}_{1}: Elektron\quad 1\)
\(\vec{r}_{2}: Elektron\quad 2\)
\(\vec{R}_{1}: \alpha-Teilchen; Z_K=2\)
\(\vec{R}_{2}: Proton; Z_K=1\)
Bemerke: die ungünstigen Interaktionen (gleiche Ladung) erhöhen die Systemenergie und umgekehrt.