Title: ETH_Sem4 / PC3 / Woche5

Q: Separabilität der Schrödinger-Gleichung
A: Besteht der Hamilton-Operator \(\hat{H}\) eines abgeschlossenen Sys- tems aus zwei oder mehreren Operatoren (\(\hat{H}_a\), \(\hat{H}_b\), etc.), die sich auf separate Variablenräume auswirken, ist die entsprechende Schrödinger-Gleichung separabel (Skript 3-25):
\[\hat{H}(\hat{\vec{p}}_i, \hat{\vec{q}}_i) = \hat{H}_a(\hat{\vec{p}}_j, \hat{\vec{q}}_j)+\hat{H}_b(\hat{\vec{p}}_k, \hat{\vec{q}}_k)\]
\[i = 1,2,\ldots, n\quad\underset{TeilSystemA}{j=1,2,\ldots,m}\quad\underset{TeilSystemB}{k=m+1\ldots,n}\]
mit:
\[\Psi_{n_a, n_b}(\vec{q}_i)= \psi_{a, n_a}(\vec{q}_j)\cdot\psi_{b, n_b}(\vec{q}_k)\] und
\[E_{n_a, n_b}= E_{a, n_a}+E_{b, n_b}.\]

Q: Entartungsfaktor g_i
A: (Wenn mehrere Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung denselben Eigenwert besitzen, so spricht man von Entartung) Der Entartungsfaktor g_i gibt an, wieviele Zustände denselben Energieeigenwert E_i haben.

Q: Satz über entartete Zustände (Linearkombination von Eigenfunktionen)
A: Es seien \(\psi_1\) und \(\psi_2\) zwei Eigenfunktionen eines Hamilton-Operators \(\hat{H}\) zum selben Eigenwert E_1 = E_2 = E. Eine beliebige Linearkombination \(\Psi\) von \(\psi_1\) und \(\psi_2\):
\[\Psi = c_1\psi_1\pm c_2\psi_2\],ist auch eine Eigenfunktion von \(\hat{H}\) zumselben Eigenwert E.

Q: \(\Psi_1(x,t) =\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{\pi x}{L})\cdot \exp(-iE_1t/\hbar)\) und \(\Psi_2(x,t) =\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{2\pi x}{L})\cdot \exp(-iE_2t/\hbar)\) sind EF des Hamiltonoperators \(\hat{H}\).
Ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Linearkombination \(\Psi_L=\frac{1}{\sqrt{2}}[\Psi_1(x,t)+\Psi_2(x,t)]\)auch zeitlich-unabhängig?
A: Nein, die Linearkombination ist nicht mehr in zeit und ortsunabhängige Terme trennbar und durch Einsetzen in die zeitlich unabhängige Schrödingergleichung ergibt sich, dass sie daher nicht mehr stationär ist. (Skript 3-18)

Q: Was bedeutet es, wenn ein quantenmechanisches System sich "klassischer" verhält? (Superposition, Wellenpakete)
A: Klassisches Verhalten in der Quantenmechanik bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Systems glatter und breiter wird, je mehr Wellen zur Gesamtwellenfunktion beitragen (in Superposition). Dadurch wird das Verhalten des Systems vorhersehbarer und weniger "quantenartig".

Q: Eine Erhaltungsgrösse ist eine Observable mit einem ______-________ Erwartungswert.
A: Eine Erhaltungsgrösse ist eine Observable mit einem zeit-unabhängigen Erwartungswert.

Q: Wiederhoung: Erwartungswert einer Observablen für ein System mit Wellenfunktion \(\Psi\).
\(\braket{\hat{A}}_{\Psi}=?\)
A: \(\braket{\hat{A}}_{\Psi}=\int_{Raum}\Psi^*(\vec{q_i}, t)\hat{A}\Psi(\vec{q_i}, t) \text{d}\tau\)

Q: Translationsoperator:
\(\hat{T}\Psi(x)=?\)
A: \(\hat{T}\Psi(x)=\Psi(x+a)\)

Q: Was gilt für ein Teilchen im feldfreien Raum mit Ortskoordinate x? (Translation)
\(\hat{H}(x)=?\)
A: \(\hat{H}(x)=\hat{H}(x+a)\)

Q: Weil \(\hat{H}(x)=\hat{H}(x+a)\)
und \(\hat{T}[\hat{H}(x)\Psi(x)]=\hat{H}(x+a)\Psi(x+a)\)
lässt sich die Translationssymmetrie des feldfreien Raumes durch die Kommutationsrelation [?, ?]=?
beschreiben.
A: Kommutationsrelation:
\([\hat{H}, \hat{T}]=0\).
Begründung:\(\hat{T}[\hat{H}(x)\Psi(x)]=\hat{H}(x+a)\Psi(x+a) = \hat{H}(x)\Psi(x+a)=\hat{H}(x)(\hat{T}\Psi(x))\)Die Operatoren vertauschen also und der Kommutator = 0.

Q: Teilchen im kubsichen Kasten (L_x=L_y=L_z=L):
Ist der Zustand \(n_x=n_y=n_z=1\)
entartet?
A: Nein. Der Zustand hat einen Entartungsfaktor
g_1=1 und ist nicht entartet.

Q: Teilchen im kubsichen Kasten (L_x=L_y=L_z=L):
Ist der Zustand
\(n_x=n_y=1; n_z=2\)
\(n_x=n_z=1; n_y=2\)
\(n_y=n_z=1; n_x=2\)
entartet?
A: Ja. Der Zustand ist dreifach entartet und hat einen Entartungsfaktor von g_2=3.

Q: Teilchen im kubsichen Kasten (L_x=L_y=L_z=L):
Welchen Energieeigenwert hat der Zustand?
\(n_x=n_y=1; n_z=2\)
\(n_x=n_z=1; n_y=2\)
\(n_y=n_z=1; n_x=2\)
A: \(E_2=\frac{6h^2}{8mL^2}\)

Q: Teilchen im kubsichen Kasten (L_x=L_y=L_z=L):
Welchen Energieeigenwert hat der Zustand?
 \(n_x=n_y=n_z=1\)
A: \(E_1=\frac{3h^2}{8mL^2}\).