Title: ETH_Sem4 / PC3 / Woche01

Q: Realteil(5+3i);  z \(\in\) \(\mathbb{C}\)
A: Re(5+3i) = 5

Q: Imaginärteil(5+3i);  z \(\in\) \(\mathbb{C}\)
A: Imaginärteil(5+3i) = 3

Q: z = (a + bi) => \(\overline {z}\)  = ?(komplex konjugierte Zahl)
A: \(\overline {z}\)  = a - bi

Q: \(z * \overline {z} = ?\)  z = a + bi
A: \(z * \overline {z} = a^2 + b^2 \)

Q: komplexes Skalarprodukt mit \(y, z \in \mathbb{C}\)
\(<y,z> = \) ?
A: \(<y,z> = \overline{y_1} * z_1 + ... +\overline{y_n}*z_n\)
Bsp.:
\(<v,w> = <(1,i), (i,1)> = \overline{1}*i + \overline{i}*1 = i + (-i) = 0\)

Q: Skalarprodukt komplexer Funktionen:
\(\psi_1(x), \psi_2(x) \in \mathbb{C}\) und \(x \in \mathbb{R}\)
d.h.: \(\mathbb{R} -> \mathbb{C}\)
\(<\psi_1(x), \psi_2(x)> =<\psi_1, \psi_2> = ?\)
A: \(<\psi_1, \psi_2> = \int_{-\infty}^{\infty}\psi_1^*(x)* \psi_2(x)dx\)
Bsp: \(\psi_1(x) = (x+i)*e^{ix}\)
\(\psi_1^{*}(x) = (x - i)*e^{-ix}\)

Q: Wie erhält man die adjungierte Matrix \(\underline{A^*}\) zu \(\underline{A} ?\)
A: indem man
1.) transponiert
2.) komplex konjugiert
Bsp.:
\(\underline{A} = \begin{bmatrix}1 & 1+i\\0 & 0\end{bmatrix}\)
\(\underline{A^*} = \begin{bmatrix}1 & 0\\1-i & 0\end{bmatrix}\)

Q: selbstadjungierte Matrix (in PC3 äquiv. zur hermiteschen Matrix)
es gilt:
\(\underline{A^*} = ?\)
A: \(\underline{A^*} = \underline{A}\) ;
bzw.:
\(A_{ik}^* = A_{ki}\)

Q: Was ist eine unitäre Matrix?
A: Eine Matrix bei welcher:
\(U^*U = E\) \((\implies U^* = U^{-1})\)
also eine Matrix welche mit ihrer adjungierten Matrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Q: Determinante bestimmen. Nennen Sie die geeigneten Methoden!
A) 2D Matrizen
B) 3D Matrizen
C) nD Matrizen
A: A) für \(det( \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}) = a*d -c*b\\)
B)für \det(\begin{bmatrix}a & b & c\\d & e& f \\g & h & j\end{bmatrix}) => Regel\, von\,Sarrus\)
C)siehe Papula FS (S.214)

Q: Eigenvektor einer Matrix bestimmen
A: \((A-\lambda_iE)x_i = 0\)
\(\lambda\) ist Eigenwert von Matrix A und
x \(\ne 0\) ist dazugehöriger Eigenvektor.
Mit bekanntem EW kann die Gleichung nach dem EV aufgelöst werden.

Q: Eigenwert einer Matrix A bestimmen
A: Eigenwerte sind die Lösungen der charakt. Gleichung:
\(det(A-\lambda E) = 0\)
E: Einheitsmatrix

Q: Übung(aufwendig, Stift und Papier empfohlen): Bestimme die Eigenwerte der Matrix
\(A = \begin{bmatrix}-2 & -5\\1 & 4\end{bmatrix}\)
A: charakteristische Matrix:
\(A - \lambda E = \)\(\begin{bmatrix}-2 & -5\\1 & 4\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2-\lambda & -5\\1 & 4-\lambda\end{bmatrix}\)
\(det(A-\lambda E) = (-2-\lambda)(4-\lambda)+5 = \lambda^2-2\lambda -3 \overset{!}{=}0\)
EW:
\(\lambda_1 = -1\;;\lambda_2= 3\)

Q: Übung (aufwendig, Stift und Papier empfohlen):
Bestimme den normierten Eigenvektor \(x_1\)der Matrix \(A = \begin{bmatrix}-2 & -5\\1 & 4\end{bmatrix}\)zum dazugehörigen Eigenwert \(\lambda_1 = -1\)
A: da gelten muss:
\((A-\lambda_1 E)x_1 \overset{!}{=} 0\)
\((\begin{bmatrix}-2 & -5\\1 & 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix})\begin{bmatrix}x_a\\x_b \end{bmatrix} = 0\implies x_a = -5x_b\)
normierter EV (Länge eins):
\(\overset{-}{x_1} = \frac{1}{\sqrt{26}}\begin{bmatrix}-5\\1 \end{bmatrix}\)

Q: Extensive Größe vs intensive Größe
A: Extensive Größen skalieren mit der Größe des Systems. Intensive nicht.
Extensiv:
Volumen, Energie, Teilchenzahl, Masse, Entropie, Enthalpie, ...
Intensiv:
Temperatur, Druck, Massendichte, Teilchendichte, Konzentration, ...

Q: Bedeutung der Modendichte: \(g(\nu) \)
A: Anzahl Moden (stehender Wellen) der Freuquenz \(\nu\) im Volumen V.

Q: Maxwellsche Wellengleichung
A: \(\Delta \Psi(r,t) = \frac{1}{c^2}\frac{d^2}{dt^2}\Psi(r,t)=0\)

Q: zeitabhängige Wellengleichung für einen 3D Kasten der Länge L mit: \(\Psi (Rand) = 0\)
A: \(\Psi (x,y,z,t) = A(t)*sin(\frac{n_1\pi x}{L})sin(\frac{n_2\pi y}{L})sin(\frac{n_3\pi z}{L})\)
kurz:
\(\Psi (x,y,z,t) = A(t)*B(x,y,z)\)
die Argumente der sin-Fkt. sind so gewählt dass für ganzzahlige n die Funktion an den Rändern 0 ergibt.

Q: \(\omega^2 = ? ()\)
bei Anwendung der Maxw. Wellengl. auf die Welle im V = L^3 Kasten.
A: Nach einsetzen der [1] in [2] erhalten wir
\(A(t) = cos(\omega t)\)
Durch Vergleich der Koeffizienten erhalten wir:
\(\omega^2 = \frac{c^2 \pi^2}{L^2}*(n_1^2+n_2^2+n_3^2)\)
(Die einzelnen Schritte wurden von FM in der Vorlesung übersprungen.)
[1]: zeitabhängige Wellengleichung für einen 3D Kasten der Länge L
[2]: Maxwell'sche Wellengleichung

Q: \(\omega = fct(\nu)\)
A: \(\omega = 2\pi \nu = Kreisfrequenz\)

Q: 3D Harmonischer Oszillator#Moden \(N(\omega)\) mit Kreisfrequenz zwischen 0 und \(\omega\) = ?
A: #Moden \(N(\omega)\) mit Kreisfrequenz zwischen 0 und \(\omega\) = #Tripel (n_1, n_2, n_3) mit:
\(n_1^2+n_2^2+n_3^2 \le \frac{\omega^2 L^2}{c^2\pi^2}\)
# = Anzahl

Q: Was ist eine "Mode"?
A: Eine stehende Welle (z.B. im L^3-Kasten) mit bestimmter Wellenlänge.

Q: Stefan'sches Gesetz
A: Stefan'sches Gesetz:
\(\boxed{M = \sigma_s T^4}\)
\(M: emmittierte \,Leistung\,pro\,Flaecheneinheit.\)
\([M] = \frac{W}{m^2}\)
\(\sigma_s:Stefansche\,Konstante\)
(folgt aus Beobachtung, dass:
Energiedichte \(\propto\) T^4)

Q: Wien'sches (Verschiebungs-)Gesetz
A: Wien'sches Gesetz:
\(\boxed{\lambda_{max}(T) =2897.8\frac{\mu m}{T[K^{-1}]}}\)
\(\lambda_{max}(T): Wellenlaenge\,mit \,Intensitaetsmaximum.\)
\(T:Temperatur\,in\,[K]elvin\)

Q: Wieviel Energie trägt eine "Mode" zur gesamten Energie bei?
A: Energie/Mode = k_BT

Q: \(\lambda = fct.(c,\nu)\)
A: \(\lambda = \frac{c}{\nu}\)

Q: Wieviele Polarisationsrichtungen müssen bei einer Welle die sich in x-Richtung ausbreitet (bezüglich bspw. der Energiedichte des Raums) berücksichtigt werden?
A: Es müssen zwei Polarisationsrichtungen berücksichtigt werden.
y und z.

Q: was ist \(g(\nu)?\)
A: Anzahl Moden (stehender Wellen) bei der Frequenz \(\nu\).

Q: Rayleigh-Jeans Gesetz
A: \(\rho(\nu) = \frac{U(\nu)}{V}=\frac{8\pi\nu^2}{c^3}k_BT\)
Problem:
Bei steigender Frequenz divergiert die Energie(dichte) des Raumes gegen \(+\infty\) was als "UV-Katasptrophe" bekannt wurde.

Q: \(g(\nu) = fct.(N(\nu))\)
mit
- \(g(\nu): Anzahl\, Moden \,bei \,geg. \, Frequenz\)
- \(N(\nu):Gesamtanzahl\,Moden\)
A: \(g(\nu) = \frac{dN(\nu)}{d\nu} =\frac{4\pi\nu^2V}{c^3}\)
analog für: \(g(\omega)\)
Dies ist logisch, da die Veränderung der Gesamtmenge [\(N(\nu)\)] bei einer kleinen Veränderung [\(d\nu\)] der Menge Moden bei eben dieser Frequenz \(\nu\) entspricht.

Q: Gesamtzahl Moden:
\(N(\nu) = ?\)
A: \(N(\nu) = \frac{4\pi\nu^3V}{3c^3}\)
Herleitung über die Analogie der Sphärischen Geometrie der Moden und die Maxwell Wellengleichung.