Title: ETH_Sem3 / PC_II / Woche4

Q: Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes \(j\) ohne Entartung
A: \[\begin{align} p_j &= \frac1Q \;\exp\bigg(-\frac{E_j}{k_BT}\bigg) \\ Q &= \sum_j\exp\bigg(-\frac{E_j}{k_BT}\bigg) \end{align}\]

Q: Besetzungsverhältnis
\[\frac{p_j}{p_i} = [...]\]
A: \exp\bigg(-\frac{(E_j-E_i)}{k_BT}\bigg)

Q: Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes \(J\) mit Entartung
A: \[\begin{align} p_J &= \frac{g_J}{Q} \;\exp\bigg(-\frac{E_J}{k_BT}\bigg) \\ Q &= \sum_Jg_J\exp\bigg(-\frac{E_J}{k_BT}\bigg) = \sum_j\exp\bigg(-\frac{E_j}{k_BT}\bigg)\end{align}\]

\(\rho(E)\) ist die Zustandsdichte, definiert als Anzahl Quantenzustände pro Energieeinheit \(dE\) bei der Energie \(E\).
Sie entspricht dem Kehrwert des Energieabstandes \(\delta(E)\) bei der Energie \(E\).
Die Anzahl Energiezustände im Intervall \(dE\) ist dann:\[\rho(E)dE = dE/\delta(E) = \,^"g(E)^"\]Wobei \(g(E)\) die "Entartung für die Energie \(E\) im Intervall \(dE\)" entspricht.

Q: Besetzungsdichte \(p(E)\) bei einer Quasikontinuirliche Verteilung
\[p(E)dE = [...]\]
A: \frac{\rho(E)\exp\bigg(-\frac E{k_BT}\bigg)dE}{\int_0^\infty \rho(E)\exp\bigg(-\frac E{k_BT}\bigg)dE}

Q: Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung \(g(v)\):
\[g(v)dv = [...]\]
A: 4\pi v^2\bigg(\frac{m}{2\pi k_BT}\bigg)^{3/2}\exp\bigg(-\frac{mv^2}{2k_BT}\bigg)dv

Q: Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung
- Mittlere Translationsenergie: \(\langle E \rangle = [...]\)
- Mittlere Geschwindigkeit: \(\langle v \rangle = [...]\)
A: \frac32 k_BT; \bigg(\frac{8k_BT}{\pi m}\bigg)^{1/2}