Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche6

Q: Das [...] wird beschrieben durch [...].
A: Funktional einer Funktion \(f\); \(S(f) = \int_{x_1}^{x_2}dx s(f(x),f'(x), x)\)

Q: Bedingung, dass ein Funktional \(S(f)\) extremal wird?
A: \(\frac{d}{d \alpha} S(f+ \alpha h) \bigg|_{\alpha = 0} = 0\)
Wofür steht diese Bedingung?

Notation Ableitung:
- \(\frac{\partial s}{\partial f}(f(x), f'(x), x)\)  \(\equiv\) \(\frac{\partial s}{\partial y} (y,z,x) \bigg|_{(y,z,x)=(f(x),f'(x),x)} \)
- \(\frac{\partial s}{\partial f'}(f(x), f'(x), x)\) \(\equiv\) \(\frac{\partial s}{\partial z} (y,z,x) \bigg|_{(y,z,x)=(f(x),f'(x),x)} \)

Q: Wie gehen wir grundsätzlich vor, wenn wir ein Funktional extremalisieren möchten?
A: 1. Aufstellen der Bedingung für ein Extremum: \(\frac{d}{d \alpha} S(f+\alpha h) \bigg|_{\alpha = 0} = 0\).
2. Einsetzen der Integrals \(S(f) = \int_{x_1}^{x_2} dx \ s(f(x), f'(x), x)\)
3. Partiell integrieren, damit nicht das eingeschränkte \(h'(x)\) vorkommt, sondern nur \(h(x)\), welches bis auf Randpkte frei wählbar ist.
4. Den Integranden = 0 setzten und die DGL erhalten.

Q: Euler-Lagrange-Gleichung?
A: \(\frac{\partial s}{\partial f(x)} - \frac{d}{dx}\bigg( \frac{\partial s}{\partial f'(x)} \bigg) = 0\)
Wie heisst diese Gleichung?

Q: Aus wie vielen verschiedenen Gleichungen bestehen die Euler-Lagrange-Gleichungen für \(s \equiv s(f_1(x), f_1'(x), \ldots , f_n(x), f_n'(x); x)\)?
A: Aus \(n\) verschiedenen Gleichungen, pro Funktion eine.

Q: Potentielle Energie einer Kette, beschrieben durch \(f(x)\) und aufgehängt an den Punkten \(-a, a\)
A: \(V = \int_{-a}^{a} dx \ f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}\)

Q: Nebenbegingung des Extremalwertproblems der Aufhängelinie einer Kette mit Länge \(L\), aufgehängt bei \(-a, a\) als Formel?
A: \(L = \int_{-a}^{a} dx \ \frac{L}{2a} = \int_{-a}^{a} dx \ \sqrt{1+f'(x)^2}\)
Was beschreibt dieses Integral?

Q: Wie bauen wir eine Nebenbedingung in unser Funktional ein?
A: Die Nebenbegingung mit \(\lambda\) multiplizieren und \(\lambda\) dem Funktional als Argument geben. Dann ist die Nebenbedingung genau dann erfüllt, wenn das Funktional bzgl. \(\lambda\) extremal wird.

Q: Welchen Trick können wir verwenden um folgende Gleichung besser aufzulösen?
\(\frac{d}{dx} \bigg( \frac{(f(x) + \lambda ) f'(x)}{\sqrt{1+f'(x)^2} } \bigg) = \sqrt{1+f'(x)^2}\)
A: Mit \(g(x) = f(x) + \lambda\) erhalten wir \(g'(x) = f'(x)\) und somit
\(\frac{d}{dx} \bigg( \frac{g \ g'(x)}{\sqrt{1+g'(x)^2} } \bigg) = \sqrt{1+g'(x)^2}\)

Q: Allgemeine Lösung der DGL: \(g'' = cg\) für eine Konstante \(c\)
A: \(g(x) = A \cosh(\sqrt{c} \ x) + B \sinh(\sqrt{c} \ x)\)

Q: Wie können wir bei Kettenproblem \(g(x) = A \cosh(\sqrt{c} \ x) + B \sinh(\sqrt{c} \ x)\) einfach einschränken?
A: Da wir ein symmetrisches Problem betrachten muss \(g(x)\) gerade sein (\(g(x) = g(-x)\)) und daher gilt \(B = 0\).

Q: Wie definieren wir beim Hamiltonschen Prinzip unsere Lagrange-Funktion?
A: \(L = T - V\), wobei \(T\) die kinetische Energie und \(V\) die potentielle Energie des Systems beschreibt

Q: Beispiel holonome Zwangsbedingungen: Sphärisches Pendel
A: \(\vec{x} = \vec{y} (t) +l(t) \vec{e} \equiv \vec{x}(\vec{e}, t)\)
Wobei \(\vec{e}\) ein Punkt auf der Einheitskugel ist und gut durch Polarkoordinaten ausgedrückt werden kann:
\(\vec{e}(\theta, \varphi) = \begin{pmatrix} \sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{pmatrix}\)
Dadurch wird der Konfigurationsraum auf ein Stück der \(\mathbb{R}^2\) abgebildet:

Q: Holonome Zwangsbedingungen: Im Allgemeinen haben wir ein System von \(N\) Teilchen, deren kartesische Koordinaten \(x = (x_1, \dots , x_n) \in \mathbb{R}^{3N}\) zu [...] bilden.
Das System hat \(f\) Freiheitsgrade und wir können es [...], d.h. wir haben [...].
A: einem fixen Zeitpunkt \(t\) eine glatte \(f\)-dimensionale Fläche im \(\mathbb{R}^{3N}\); lokal durch Koordinaten \(q = (q^1, \dots , q^f)\) beschreiben; eine Karte \(K \subset \mathbb{R}^f, K \to \mathbb{R}^{3N}, q \mapsto x(q, t)\)

Die Bewegungsgleichungen eines Systems mit Zwangsbedingungen kann man im
allgemeinen wie folgt aufstellen:
1. Schreibe \(T = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^N m_i\dot{\vec{x} }_i^2, V = V(\vec{x}_i)\) in kartesischen Komponenten, ohne Berücksichtigung der Zwangsbedingungen.
2. Drücke die gemäss der Zwangsbedingungen zulässigen Konfigurationen der \(x\) durch unabhängige Lagekoordinaten \(q = (q^1, \dots, q^f) \) aus, \(x = x(q, t)\) und berechne \(\dot{x} = \dot{x}(q, \dot{q}, t)\).
3. Setze  \(x, \dot{x}\) in \(L = T-V\) ein.
4. Stelle  die Euler-Lagrange Gleichungen auf: \(\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{\alpha} } - \frac{ \partial L}{\partial q^{\alpha} } = 0\)

Q: Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:
Aus den homogenen Maxwell Gleichungen
1. \(\operatorname{div}(\textbf{B}) = 0\)
2. \(\operatorname{rot}(\textbf{E}) + \frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{B} } {\partial t} = 0\)
3. \(\textbf{B} = \operatorname{rot}(\textbf{A} )\)
4. \(\textbf{E} = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{A} }{\partial t}\)
folgt die Lagrangefunktion:
A: \(L(x, \dot{x}, t) = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - e[ \varphi(x, t) - \frac{ \dot{x} }{c} \cdot \textbf{A}(x,t)]\)