Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche_13

Wir können die speziellen Lorentztransformationen statt durch \(u\) durch die Relativgeschwindigkeit \(v\) parametrisieren, da\[\frac{1}{\cosh^2 u} = 1- \tanh^2 u\]folgt mit \(v = c \tanh u\), dass\[\cosh u = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } , \sinh u = \frac{v}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } \]und wir bekommen die Koordinatentransformation\[\hat{t} = \frac{t}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } - \frac{x^1v}{c^2} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \]\[\hat{x}^1 = \frac{x^1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2} } } - vt \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} } } \]

Q: Führt man [...] aus, dann resultiert daraus eine Transformation mit Relativgeschwindigkeit\[v = c \tanh(u_1 + u_2) = [...] = [...]\]
A: zwei Transformationen mit Relativgeschwindigkeit \(v_1\) und \(v_2\); c \frac{\tanh u_1 + \tanh u_2}{1 + \tanh u_1 \tanh u_2}; \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1 v_2}{c^2} }

Q: Die Lorentztransformation der Koordinaten (des kontravarianten Tensors) \(x^{\mu}\) wird durch \[\hat x ^{\mu} = [...]\]beschrieben.
A: \Lambda ^{\mu}_{\ \ \nu} x^{\nu}

Q: Mit der [...] können [...]. Dadurch [...]:
A: Metrik \(g_{\mu \nu}\), bzw. ihrer Inversen \(g^{\mu \nu}\); wir Indizes senken, bzw. heben; transformieren wir zwischen kontra- und kovarianten Tensoren
Back Extra: \[x_{\mu} = g_{\mu \nu}x^{\nu}\]
\[x^{\mu} = g^{\mu \nu}x_{\nu}\]

Q: Die Matrix \(\Lambda_{\nu}^{\ \mu}\) beschreibt gerade die [...] zu \(\Lambda^{\rho}_{\ \sigma}\). Konkret: Sei \(\hat x^{\nu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}x^{\nu}\), dann gilt \[x^{\nu} = [...]\]
A: inverse Transformation; (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\ \mu} \hat x^{\mu} \equiv \Lambda_{\mu}^{\ \nu} \hat x^{\mu}
Back Extra: Beweisidee:
- Zeige die Identität: \(\Lambda^{\mu}_{\ \mu} g^{\mu \tau} \Lambda^{\sigma}_{\ \tau} = g^{\mu \sigma}\)
- Benutze, dass \(\Lambda_{\mu}^{\ \nu} = g_{\mu \rho}g^{\nu \sigma} \Lambda^{\rho}_{\ \sigma}\)
- Und dass Lorentztransformationen die Minkowski Metrik invariant lassen.

Q: Die [...] definiert [...]:\[\dede{f}{\hat{x}^{\mu} } = [...]\]Daher schreiben wir auch oft \(\partial_{\mu} = \dede{}{x^{\mu} }.\)
A: Ableitung nach einem kovarianten Tensor; einen kontravarianten Tensor; \dede{f}{x^{\nu} } \dede{x^{\nu} }{\hat x^{\mu} } = \dede{f}{x^{\nu} } \Lambda_{\mu}^{\ \nu}

Q: Die Bewegung eines Teilchens in der Raum-Zeit \(\mathbb{R}^4\) wird durch seine [...] dargestellt\[x(\lambda) = [...]\]wobei \(\lambda\) ein beliebiger Kurvenparameter ist, z.B. die Zeitkoordinate\[x(t) = [...]\]
A: Weltlinie; \bigg( \begin{matrix} x^0(\lambda) \\ \vec x(\lambda) \end{matrix} \bigg); \bigg( \begin{matrix} c t \\ \vec x(t) \end{matrix} \bigg)

Da die Zeitkoordinate von dem benutzten Koordinatensystem abhängt ist die Parameterwahl \[x(\lambda) = \bigg( \begin{matrix} x^0(\lambda) \\ \vec x(\lambda) \end{matrix} \bigg)\]ungünstig. Eine Lorentz-invariante Grösse ist jedoch die Bogenlänge\[\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{\bigg( \dd{x}{\lambda}, \dd{x}{\lambda} \bigg) }  = \int^{s_2}_{s_1} ds\]wobei \((\cdot, \cdot)\) das Minkowski-Skalarprodukt ist. Die Bogenlänge wird dadurch charakterisiert, dass\[\bigg( \dd{x}{s} , \dd{x}{s} \bigg) = 1\]d.h.\[ds^2 = (dx, dx) = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\]

Wir definieren die (Pseudo)vektoren\[u = \dd{x}{\tau} , p = mu\]für die Eigenzeit \(\tau\) und nennen \(u \) die 4-er Geschwindigkeit und \(p\) den 4-er Impuls. Beide Grössen transformieren sich unter den orthochronen Lorentztransformationen als \[\hat u^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu} u ^{\nu} , \hat p^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu} p^{\nu} \]wobei \[(u, u) = c^2, (p, p) = m^2c^2\]oder in Komponenten\[u^{\mu} = \gammafac (c, \vec v), p^{\mu} = m \gammafac (c, \vec v)\]

Q: Der 4-er Impuls [...]\[(p^0)^2 - \vec p^2 = m^2 c^2\]
A: liegt auf dem positiven Massenhyperboloid im \(\R^4\)

Man postuliert, dass der Gesamtimpuls \(P^{\mu}\)  eines isolierten Systems erhalten ist (da \(P^{\mu}\) ein 4-er Vektor genügt dafür, dass der räumliche Anteil \(\vec P\) in jedem IS erhalten ist). Im Unterschied zum nicht-relativistischen Fall ist dann jedoch die Gesamtmasse nicht erhalten, wie einfach am Beispiel des symmetischen Zerfalls gezeigt werden kann.

Q: In einem System \(S\) liege eine Uhr in Ruhe am Ursprung \(\vec x = 0\). Dabei vergehe in \(S\) genau die Zeit \(\Delta t\) zwischen zwei Schlägen der Uhr, also sind die beiden Ereignisse gerade durch\[\Delta x = [...]\]voneinander getrennt. Für ein System \(\hat S\), welches sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) in der \(x^1\)-Richtung relativ zu \(S\) bewegt folgt aus der Lorentztransformation \[\hat t = \gammafac t - \gammafac \frac{x^1v}{c^2}\]
\[\hat x^1 = x^1 \gammafac - v t \gammafac\]\[\hat x^2 = x^2, \hat x^3 = x^3\]womit
\[\Delta \hat x = [...]\]und \[\Delta \hat t = [...]\]
A: (\Delta t, \vec 0); \bigg( \Delta t \gammafac , - v \Delta t \gammafac, 0, 0 \bigg); \Delta t \gammafac

Q: Längenkontraktion?
A: Die Länge eines Stabes in einem sich bewegenden IS erscheint für den ruhenden Beobachter verkürzt:\[\hat L = \bigg(\gammafac \bigg)^{-1} L\]Die anderen Richtungen sind unbetroffen.

Die Weltlinien freier Teilchen sind Geraden im \(\R^4\) und damit Geodäten im Sinne der Lorentz-Invarianten Metrik \(ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu}dx^{\nu}\) , also charakterisiert durch das Variationsprinzip \[\delta \int_{(1)}^{(2)} ds = 0\]bei festen Endpunkten im \(\R^4\).

Für das relativistische Hamilton-Prinzip schreiben wir \[0 = \delta \int_{(1)}^{(2)} - mc^2 d\tau = \delta \int_{(1)}^{(2)} L_0(\vec v) dt\]mit\[L_0(\vec v) = -mc^2 \sqrt{1 - \frac{\vec v ^2}{c^2} } \]

Q: Um die [...], müssen wir in der nicht-relativistischen Rechnung einfach [...]:\[\dede{}{\vec v} \frac{m \vec v^2}{2} = m \vec v \rightarrow [...]\]
A: Bewegungsgleichungen eines gelandenen Teilchens im elektromagnetischen Feld für den relativistischen Fall zu erhalten; Teile ersetzen ersetzen; -mc^2 \dede{}{\vec v} \invgammafac = m \vec v \gammafac