Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche4

Q: Dreikörperproblem:
Welche Kräfte werden bei der Suche nach Stationären Lösungen betrachtet?
A: Gravitation von 2 (in unserem System) fixen Körpern
Zentrifugalkraft (da wir das mit dem Zweikörperproblem mitrotierende System betrachten)

Q: Dreikörperproblem:
Welches sind die zwei Spezialfälle für welche wir uns interessieren und wie sind diese Charakterisiert?
A: Eulerscher Spezialfall:
Auf der Verbindungslinie zwischen den zwei Körpern
Lagrangescher Spezialfall:
In einem gleichseitigen Dreieck mit den zwei Körpern

Q: Dreikörperproblem:
Welche Punkte sind stabil/instabil? Warum?
A: Eulerpunkte:
Instabil, da jegliche kleine Störung eine der wirkenden Kräfte so stark verstärkt, dass diese übernimmt.
Lagrangepunkte:
Stabil, mittels Rechung und erster Ordnung Approximation. (Eigentlich nur stabil, wenn \(\mu \lessapprox 0.039 \))

Q: Beispiel Gedämpfte Schwingung:
\(m \ddot{x} = -fx - r\dot{x} + k(t)\)
A: \(z = \left( \begin{matrix}x \\ \dot{x}/\alpha \end{matrix} \right)\), \(A = \left( \begin{matrix}0 & \alpha \\ -\alpha & -2\beta \end{matrix} \right)\), \(b = \left( \begin{matrix}0 \\ \gamma(t) \end{matrix} \right)\)
\(\alpha = \sqrt{\frac{f}{m}}\) ,\(\beta= \frac{r}{2m}\), \(\gamma(t) = \frac{k(t)}{\sqrt{fm}}\)

Q: Definition und Eigenschaften: Propagator
A: \(P(t,s): z(s) \mapsto z(t)\)
\(P(t,r)P(r,s) = P(t,s)\)
\(P(s,s) = 1\)
\(\frac{\partial}{\partial t} P(t,s) = A(t)P(t,s)\)

Q: Definition Autonom:
A: \(A(t)\)ist unabhängig von \(t\) \(\implies P(t,s)\)ist nur abhängig von \(t-s\)

Q: Lösung des Propagators des Autonomen systems:
A: \(P(t) = e^{At} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(At)^n}{n!}\)

Q: Def \(\omega_0\) beim Gedämpften Oszilator:
A: \(\omega_0 = \sqrt{\alpha^2-\beta^2}\)
mit \(\alpha = \sqrt{\frac{f}{m}}\) \(\beta = \frac{r}{2m}\)

Q: Def Eigenschwingung
A: Lösungen der Form \(z(t) = ae^{\lambda t}\) bzw Lösungen vom Eigenwertproblem \(Aa= \lambda a\)

Q: Definition und Eigenschaften: Eigenprojektion
A: \(P_\lambda: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n, a \mapsto \begin{cases} a & Aa = \lambda a \\ 0 & Aa =\mu a & \mu \neq \lambda \end{cases}\)
(Achtung nicht verwechseln mit Propagator!)
- Paarweise orthogonal: \(P_\lambda P_\mu = \delta_{\lambda \mu} P_\lambda\)
- Summieren sich zur Identität:\(\sum_{\lambda \in \sigma(A)} P_\lambda = 1\)
- Zerlegung der exp Funktion: \(e^{At} = \sum_{\lambda \in \sigma(A)} e^{\lambda t } P_\lambda\), \( z(t) = \sum_{\lambda \in \sigma(A)} e^{\lambda t} P_\lambda z(0)\)

Q: Definition: stabil & dissipativ
A: Stabil:
Es existiert keine Lösung die für \(t \to \infty\) unbeschränkt wächst
Dissipativ:
Es existiert eine positiv definite quadratische form \((z,z) \) in \(\mathbb{R}^n \) mit \(\frac{d}{dt}(z,z) \leq 0\)
Insbesondere sind dissipative Systeme Stabil
Für den harmonischen Oszilator wäre dies die Gesamtenergie.

Wo befinden sich die Lösungen des gedämpften harmonischen Oszilators in \(\mathbb{C}\)