Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche7

Q: Definition: [...]
[...]\(\iff\)[...]
A: Zyklische Koordinaten; \(L\) ist von der Koordinate  unabhängig (\(\frac{\partial L}{\partial q^\alpha}=0\)); \(q^\alpha\) ist zyklisch

Q: Def: [...]
[...]
A: Konjugierter Impuls zu \(q^\alpha\); \(p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^\alpha}\)

Q: Was passiert, wenn \(q^\alpha\) zyklisch ist?
A: \(\frac{d}{dt}p_\alpha = \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^\alpha} = \frac{\partial L}{\partial q^\alpha}=0\)
also ist \(p_\alpha\) eine Erhaltungsgrösse

Q: Erhaltungsgrösse bei Zeitunabhängigkeit von \(L\)
A: \(E = \sum_{\alpha = 1}^{f} p_\alpha{\dot{q}^\alpha} - L = \sum_{\alpha = 1}^{f} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^\alpha}{\dot{q}^\alpha} \)
falls \(q(t)\) die E-L Gleichung löst so ist \(L= T-V\)
ist nun \(V\) unabhängig von der Geschwindigkeit so gilt:
\(E = T + V\)

Q: Definition Fluss
A: Eine Schar \(\phi^\lambda, (\lambda \in \mathbb{R})\) von Abbildungen des Konfigurationsraums auf sich selbst mit den Eigenschaften:
\(\phi^0 = id\)
\(\phi^\lambda \circ\phi^\mu = \phi^{\lambda+\mu}\)

Q: [...] hat [...] \(v(q)\) auf \(\mathbb{R}^f\) mit:
[...]
A: Jeder Fluss \(\phi\); ein erzeugendes Vektorfeld; \(v(q) = \dede{}{\lambda}\phi^\lambda(q) |_{\lambda = 0}\)

Q: [...]:
[...]
A: Fluss in Komponenten; \([\phi^{\lambda}(q)]^\alpha := \varphi(\lambda;q^1,\ldots,q^f)|_{\lambda = 0}\)

Q: [...]
[...]
A: Erzeugendes Vektorfeld in Komponenten:; \(v^\alpha(q^1,\ldots,q^f)= \dede{}{\lambda}\varphi^\alpha(\lambda;q^1,\ldots,q^f)|_{\lambda=0}\)

Lösung der DGL \(\dd{q}{\lambda} = v(q(\lambda))\) mit \(q(0) = q\):
\(q(\lambda) = \phi^\lambda(q)\)
weil:
\(\dede{}{\lambda}\phi^\lambda(q)= \dede{}{\varepsilon}\phi^{\lambda + \varepsilon}(q)|_{\varepsilon = 0} = \dede{}{\varepsilon}\phi^\varepsilon(\phi^{\lambda}(q))|_{\varepsilon = 0} = v(\phi^\lambda(q))\) 
Daraus schliessen wir, dass das Vektorfeld einen Fluss besitzt wenn die DGL eine globale Lösung besitzt.

Q: Definition [...]
[...]
A: kontinuierliche Symmetrie der Lagrange Funktion \(L(q,\dot{q},t)\):; \(L[\phi^\lambda(q(t)), \dd{}{t}\phi^\lambda(q(t)),t] = L[q(t),\dot{q(t)},t]\)

Defintion Noether's Theorem:
In Worten:
Zu jeder kontinuierlichen Symmetirie gehört eine Erhaltungsgrösse
Explizit:
Sei \(\phi^\lambda\) eine kontinuierliche Symmetrie von \(L\) so ist
 \(p_\alpha = \dede{L}{\dot{q}^\alpha}\) erhalten d.h.
\(\dd{}{t}\inner{p}{v(q)} = 0\)
Wichtig! dies gillt nur wenn q(t) tatsächlich eine Lösung ist (wir also auf der selben Bahn bleiben)

Q: [...]:
1. [...]
2. [...]
A: Verallgemeinerungen vom Noether Theorem; Die L-Fkt kann auch (anstelle invariant zu sein) nur in eine äquivalente L-Fkt über gehen; Der Fluss darf auch die Zeit transformierern (er agiert nun auf \(\R^f \times\R \ni (q,t)\)) \[(q,t) \mapsto \psi^\lambda(q,t) = (\phi^\lambda(q,t),\tau^\lambda(q,t))\]Und eine Kurve \(q(t)\) wird auf \(q^\lambda(\cdot)\) abgebildet mit: \(q^\lambda(\tau^\lambda(q(t),t)) = \phi^\lambda(q(t),t)\)