Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche1

Q: Wodurch werden Ereignisse charakterisiert?
A: \((t,\vec{x})\in \mathbb{R}^{1+3}\)

Q: Welche Grössen haben eine absolute, vom Bezugssystem unabhängige Bedeutung?
A: - Zeitabstand von zwei beliebigen Ereignissen (Gleichzeitigkeit ist absolut)
- Raumabstand von zwei gleichzeitigen Ereignissen

Die Koordinatentransformationen, die der Zeitabstand und der Raumabstand invariant lassen, haben die Form:
\(t'=\lambda t + a,\)                  \((\lambda = \pm 1,\; a\in \mathbb{R})\)
\(\mathbf{x}'=R(t)\mathbf{x}+\mathbf{b}(t),\)       \((R(t)\in O(3), \mathbf{b}(t)\in \mathbb{R}^3)\)
Hier ist \(R(t)\in O(3)\) eine von \(t\) abhängige orthogonale \(3\times3\) Matrix.
Diese Transformationen erlauben uns insbesondere:
- die Zeitrichtung umzukehren \((\lambda =-1)\)
- den Zeitnullpunkt zu verschieben \((a\neq0)\)
- das räumliche Bezugssystem (in zeitabhängiger Weise) zu rotieren und verschieben \((R(t),\mathbf{b}(t))\).
Diese Transformationen bilden eine Gruppe.

Q: Wodurch wird ein Inertialsystem charakterisiert?
A: Durch das Trägheitsgesetz:
Ein freies Teilchen bewegt sich geradlinig und gleichförmig.
\(\ddot{\mathbf{x}} = 0\)

Q: Für ein [...] gilt:
\[[...]=[...]\]
A: freies Teilchen in einem Inertialsystem; \mathbf{x}(t); \mathbf{x}(0)+\dot{\mathbf{x} }(0)t

Q: Wie sieht die Bahn eines freien Teilchens in einem Inertialsystems in \(\mathbb{R}^4\) aus?
\(t\mapsto (t,\mathbf{x}(t))\)
A: Eine Gerade

Die Untergruppe der Koordinatentransformationen, die Inertialsysteme in Inertialsysteme abbildet, sind dann die geradentreuen Abbildungen:
\(t'=\lambda t+a,\)               \((\lambda=\pm 1,\;a\in \mathbb{R})\)
\(\mathbf{x}'=R\mathbf{x}+\mathbf{v}t+\mathbf{b},\)    \((R\in O(3),\; \mathbf{v},\mathbf{b}\in \mathbb{R}^3)\)
Diese Abbildungen bilden wiederum eine Gruppe, die Galileigruppe oder Gruppe der Galileitransformationen.

Q: Galileische Relativitätsprinzip
A: Alle Naturgesetze sind zu allen Zeiten in allen Inertialsystemen identisch.

Q: Was ist eine Folge des Galileischen Relativitätsprinzip ?
A: Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt.

Q: Wodurch wird die unveränderliche Masse \(m>0\) jedes Punktteilchens charakterisiert?
Wieso ist die Definition der Masse unabhängig von der Wahl des Inertialsystems?
A: Durch den Schwerpunktsatz:
Für ein isoliertes System von \(N\) Teilchen mit Koordinaten \(\mathbf{x}_1,\ldots,\mathbf{x}_N\) gilt
\[\sum_{i=1}^Nm_i\ddot{\mathbf{x}}_i = \frac{d}{dt}\sum_{i=1}^Np_i=0\]
Weil \(\ddot{\mathbf{x}}'_i=R\ddot{\mathbf{x}}_i\). Dann kann \(R\) ausgeklammert werden, was eine Rotation des ganzen Koordinatensystem entspricht.

Q: Der Schwerpunktsatz ist auch der Erhaltungssatz für :
A: den Gesamtimpuls \(\mathbf{P} = \sum_{i=1}^N\mathbf{p}_i\).
Wobei \(\mathbf{p}_i=m_i\dot{\mathbf{x}}_i\) der Impuls des \(i\)-ten Teilchens ist.

Definieren wir den Schwerpunkt durch \[\mathbf{X}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^Nm_i\mathbf{x}_i,\;\;\;\;\; M=\sum_{i=1}^Nm_i\]
dann lässt er sich auch als \(\ddot{\mathbf{X} }=0\) schreiben.
Der Schwerpunkt eines isolierten Systems bewegt sich daher auf einer Geraden \[\mathbf{X}(t)=\mathbf{X}(0)+\frac{\mathbf{P} }{M}t\]

Q: Was bleibt bei Streuprozesse erhalten und wieso?
A: Der Gesamtimpuls und folglich durch den Galileischen Relativitätsprinzip auch die Gesamtmasse

Q: Wie verhält sich die Masse, wenn mehrere Teilchen sich zu einem verbinden?
A: Additiv

Q: Was besagt das Newton'sche Prinzip der Determiniertheit?
Betrachte ein isoliertes System von \(N\) Teilchen, deren Ortskoordinaten durch \(\mathbf{x}_i(t)\) beschrieben sind.
A: Die Bahnkurven \(\mathbf{x}_i(t)\) für alle \(t\) eindeutig festgelegt sind, falls die Orte \(\mathbf{x}_i(t_0)\) und die Geschwindigkeiten \(\dot{\mathbf{x}}_i(t_0)\) zu einem Zeitpunkt \(t_0\) gegeben sind.

Q: Was ist zusätzlich durch den Newton'sche Prinzip der Determiniertheit eindeutig bestimmt und wie werden sie beschrieben?
A: Die Beschleunigungen \(\ddot{\mathbf{x}}_i(t_0)\) sind bestimmt und es gibt Funktionen \(\mathbf{F}_i\), so dass
\[m_i\ddot{\mathbf{x}}_i(t) = \mathbf{F}_i(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_N(t),\,\dot{\mathbf{x}}_1(t),\ldots,\dot{\mathbf{x}}_N(t),t)\]Der rechte Term wird auch Kraftgesetz des Systems genannt.
Das sind die sogenannten Newtonsche Bewegungsgleichungen.

Q: Wann nennt man ein System aus \(N\) Teilchen ein mechanisches System?
A: Wenn es ein Kraftgesetz der folgenden Form folgt:
\[m_i\ddot{\mathbf{x}}_i(t) = \mathbf{F}_i(\mathbf{x}_1(t),\ldots,\mathbf{x}_N(t),\,\dot{\mathbf{x}}_1(t),\ldots,\dot{\mathbf{x}}_N(t),t)\]

Q: Was sind Beispiele (je 2) für isolierte und nicht-isolierte mechanische Systeme ?
A: Isoliert:
- Sonnensystem
- System geladener Teilchen
Nicht-isoliert:
- Geladene Teilchen in einem externen elektromagnetischen Feld
- 1-dimensionaler Oszillator mit Reibungskraft und Anregung