Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche_11

Q: Ein [...] ist ein [...], deren [...] bleiben.
A: starrer Körper; System von Massepunkten; Relativabstände zwischen allen Punktepaaren während der Bewegung konstant

Eulerwinkel:
- \(\vec{y}\)-System: Körperfestes System
- \(\vec{y} = 0 \leftrightarrow \vec{x} = 0\)
- Dann kann jedes \(R \in SO(3),\) s.d. \(\vec{x} = R \vec{y}\) durch drei Drehungen beschrieben werden (durch geeignete Wahl von \(0 \leqslant \varphi, \psi \leqslant 2 \pi\), \(0 \leqslant \theta \leqslant \pi\):
1. Drehung um \(x_3-\)Achse um \(\varphi\)
2. Drehung um \(K-\)Achse (Bild der \(x_1-\)Achse) um \(\theta\)
3. Drehung um \(y_3-\)Achse (Bild der \(x_3-\)Achse) um \(\psi\)

Q: Ein starrer Körper, bei dem [...], nennt man einen [...].
A: ein Punkt festgehalten wird; Kreisel

Q: Wie haben wir beim Kreisel den Trägheitstensor definiert?
A: Wir haben unsere Koordinatentransformation ins körperfeste System \(\vec{y}\) durch \(R(t) \in SO(3), \vec{x} = R(t) \vec{y}\) definiert und diese in die Formel für den Drehimpuls: \(\vec{L} = \sum_{i=1}^N m_i \vec{x}_i \wedge \dot{\vec{x} }_i\) eingesetzt.
So erhalten wir \(\vec{L} = R \sum_{i=1}^N m_i(\vec{y}_i^2 \vec{\omega} - (\vec{y}_i \cdot \vec{\omega}) \vec{y}_i) \equiv R \vec{S}\). Mit \(\vec{S} = \theta \vec{\omega}, \vec{S}_j = \sum_{k=1}^N \theta_{jk}\omega_k\).

Q: Für [...] ist die Summation \(\theta_{jk} = [...]\)durch eine Volumenintegration zu ersetzen; in diesem Fall ist
\[\theta_{jk} = [...]\]
A: kontinuierliche starre Körper; \sum_{i=1}^N m_i (\vec{y}_i^2 \delta_{jk} - (\vec{y}_i)_j (\vec{y}_i)_k); \int dm(\vec{y}) (\vec{y}^2 \delta_{jk} - y_j y_k)

Beim freien Kreisel gilt \(0 = \dot{\vec{L} } = \dot{R} \vec{S} + R \dot{\vec S} \implies \dot{ \vec S} = -R^T \dot R \vec S = - \vec \omega \wedge \vec S\).
Im Hauptachsensystem ergeben sich dann aus \(S_j = \sum_{k=1}^3\theta_{jk}\omega_k\) die Eulerschen Gleichungen:

\[\theta_1 \dot \omega_1 = (\theta_2 - \theta_3) \omega_2 \omega_3\]\[\theta_2 \dot \omega_2 = (\theta_3 - \theta_1) \omega_3 \omega_1\]\[\theta_3 \dot \omega_3 = (\theta_1 - \theta_2) \omega_1 \omega_2\]

Q: Für den freien Kreisel haben wir zwei Erhaltungsgrössen gefunden:
A: Die erste definiert einen Ellipsoiden
\[2E = (\omega, \theta \omega) = \sum_{k=1}^3 \theta_k \omega_k^2\]und die zweite definiert eine Ebene senkrecht zu \(\vec L\)
\[(\vec{L} , R \vec \omega) = (\vec S, \vec \omega) = 2E\]

Freier Kreisel: Spezialfall der Rotation um die Hauptachse.
Dann haben wir \(\vec \omega = (\omega_1^0, 0, 0)\). Wenn wir betrachen, ob das System stabil ist. Dafür setzen wir kleine Abweichungen ein: \(\vec \omega = \vec \omega_0 + \varepsilon \vec \omega\). Mit den Euler-Gleichungen in Matrixform folgt dann:
\[\bigg( \begin{matrix} \dot \omega_2 \\ \dot \omega_3 \end{matrix} \bigg) = \bigg( \begin{matrix} 0 & \frac{\theta_3 - \theta_1}{\theta_2} \omega_1^0 \\ \frac{\theta_1 - \theta_2}{\theta_3} \omega_1^0 & 0 \end{matrix} \bigg) \bigg( \begin{matrix} \omega_2 \\ \omega_3 \end{matrix} \bigg)\]mit den Eigenwerten \[\lambda^2 = \frac{\theta_3 - \theta_1}{\theta_2} \frac{\theta_1 - \theta_2}{\theta_2} \omega_0^2\]
Da die zugehörige Lösung gehen wird wie \(e^{\lambda t} \) haben wir das Verhalten:
1. \(\lambda \in \mathbb C \setminus \mathbb R \implies\)Oszillation
2. \(\lambda \in \mathbb R^{\neq 0} \implies\)Lösung Explodiert \(\implies\) instabil

Q: Im Spezialfall des [...] ist das [...], d.h. [...].
A: symmetrischen Körpers; Trägheitsellipsoid ein Rotationsellipsoid; zwei der drei Hauptträgheitsmomente sind gleich

Beim symmetischen freien Kreisel vereinfachen isch die Eulerschen Gleichungen (OBdA \(\theta_1 = \theta_2)\)zu \[\dot \omega_1 = - \alpha \omega_2\]\[\dot \omega_2 = \alpha \omega_1\]\[\dot \omega_3 = 0\]mit \[\alpha = \frac{\theta_3 - \theta_1}{\theta_1}\omega_3\]

Q: Der Unterschied zwischen dem [...] und dem [...] ist, dass [...]
A: schweren symmetrischen Kreisel; symmetischen freien Kreisel; sich Ersterer in einem homogenen Schwerefeld befindet.

Q: Schwerer symmetrischer Kreisel:
\[T = [...]\]\[V = [...]\]
A: \frac{\Theta_1}{2} \bigg( \dot \varphi^2 \sin^2(\theta) + \dot \theta^2 \bigg) + \frac{\Theta_3}{2} \bigg(\dot \psi + \dot \varphi \cos \theta \bigg)^2; mgl(1-\cos \theta)
Back Extra: Daraus erhalten wir die Lagrange-Funktion \(L = T - V\).

Q: Womit haben wir beim symmetrischen schweren Kreisel unsere Bewegungsgleichungen aufgestellt (statt über Euler-Lagrange-Funktion)?
A: Wir haben drei Erhaltungsgrössen (E, \(p_{\varphi}, p_{\psi} )\) gefunden. Da das Problem aus nur drei Variablen besteht definiert dies die Bewegungsgleichungen.

Für den symmetrischen schweren Kreisel finden wir die DGL mit \(u = \cos \theta, \dot u = \sin \theta \dot \theta\):
\[\frac{ \dot u}{\sin^2(\theta)} = \dot \theta^2 = \frac{2}{\Theta_1} \bigg( E' - mgl \cos \theta - \frac{M_z - M_3 \cos \theta)^2}{2 \Theta_1 \sin^2 \theta} \bigg)\]welche man durch geeignete Wahl von Konstanten in folgende Form bringen kann:
\[\dot u^2 = (\alpha - \beta u)(1-u^2) - (a - bu)^2 \equiv f(u)\]Die Funktion \(f(u)\) ist also ein Polynom 3. Grades. Da nur Werte im Bereich: \(-1 \leqslant u \leqslant 1\) erlaubt sind, finden wir durch die Nullstellen ein eindeutig bestimmtes energetisch zulässiges Intervall für \(u(t)\):

Dies führt zu verschiedenen Formen von möglichen Präzessionsbewegungen: