Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche8

Q: Welche Erhaltungsgrösse folgt aus der Invarianz unter räumlicher Translation der Lagrange-Funktion nach dem Nöther-Theorem und wieso?
A: Die Lagrange Funktion ist invariant unter der gemeinsamen Translation:\(\phi^{\lambda}(x_1,\dots, x_N) = (x_1+\lambda a, \dots, x_N + \lambda a)\)
Das zugeh. Vektorveld ist \(v(x) = (a, \dots, a)\) und die zugeh. Erhaltungsgrösse ist
\[\sum_{i=1}^N m_i \dot{x}_i \cdot a \equiv P \cdot a\]Da a beliebig ist, ist der Gesamtimpuls P erhalten.

Q: Welche Erhaltungsgrösse folgt aus der Invarianz unter Drehungen der Lagrange-Funktion nach Nöthers Theorem und wieso?
A: L ist invariant unter den Drehungen \[\phi^{\lambda}(x_1, \dots, x_N) = (R(e,\lambda) x_1, \dots, R(e, \lambda) x_N)\]wobei \(R(e, \lambda)\) die Drehung vom Winkel \(\lambda\) um \(e\) ist. Das zugeh. VF ist \[v(x_1, \dots, x_N)= (e \wedge x_1, \dots, e \wedge x_N)\]und die Erhaltungsgrösse ist daher \[\sum_{i=1} ^N m_i \dot{x}_i \cdot (e \wedge x_i) = e \cdot \sum_{i=1}^N x_i \wedge m_i \dot{x}_i \equiv e \cdot L\]Da \(e\) beliebig ist, führt das zur Erhaltung des Gesamtdrehimpuls \(L\).

Q: Was ist die kanonische Parametrisierung, die wir beim Nachweis zum Prinzip von Maupertuis verwendet haben und was war der Sinn dahinter?
A: Die Parametrisierung nach Bogenlänge hängt nur vom Kurvenverlauf ab und ist durch den Kurvenverlauf eindeutig bestimmt

Q: Was besagt das Prinzip von Maupertuis?
A: Das Integral \[\int_{(1)}^{(2)} \sqrt{E-V(q)} ds\]
ist extremal für jede Variation der Bahnkurve bei festen Endpunkten \(q^{(i)} = q(s_i), i=1,2\), also\[\delta \int_{(1)}^{(2)} \sqrt{E-V(q)} ds = 0\]Hier ist s die Bogenlänge der Bahnkurve.

Q: Wie haben wir gezeigt, dass das Prinzip von Maupertuis gilt?
A: Wir haben die Schar von Kurven \(q(t^{(i)}(\lambda ), \lambda) = q_i\) betrachtet und die Anfangs- und Endzeit variiert. Durch viel partiell integrieren und umformen kommen wir darauf, dass
\[\delta \int_{(1)}^{(2)} \sqrt{E-V(q)} ds = 0 \Leftrightarrow \delta \int_{(1)}^{(2)} 2T dt\]

Q: Das Variationsprinzip ist analog zum [...].
Da aber für die Lichtgeschwindigkeit nicht\[v = \frac{p(x)}{m} \equiv \sqrt{\frac{2}{m} (E-V(x))} \propto n(x)\]gilt, sondern \(v = c/n(x)\), sollten wir [...]. Dies legt nahe, dass [...]
In Anlehnung an \[\lambda(x) = \frac{c}{\nu n(x)} \propto \frac{1}{p(x)}\]postulierte de Broglie, dass einem Teilchen mit Impuls \(p\) eine Welle der Wellenlänge \(\lambda\) zugeordnet ist gem.
\[\lambda = \frac{h}{p}\]
A: Fermat'schen Prinzip: \(n(x) \propto \sqrt{E-V(x)}\); keine reine Teilchennatur des Lichtes haben; der Mechanik eine Wellenmechanik zugrunde liegt:

Q: Die [...] für eine Lagrange-Funktion \(L \equiv L(q, \dot{q}, t)\) ist
[...]
A: verallgemeinerte Kraft; \[K_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial q^{\alpha} } \]

Q: Legenderetransformation Grundriss: \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) zweimal stetig diffbar, \(f'' > 0\) und \(u = f'(x)\). Dann ist \(u = f'(x)\) invbar und \(x(u) = (f')^{-1} (u)\). Das gesuchte Potential \(g(u)\) mit [...] ist nun gegeben durch [...]
Im Fall der uns interessiert haben wir [...]. Die resultierende Funktion wird die Hamiltonfunktion \(g(u) = H(q, p, t)\) genannt.
A: \(\frac{d g}{d u} = (f')^{-1} (u) = x\); \[g(u) = x(u)u -f(x(u)) = x f'(x) - f\]Wie man sofort sieht :); \(L = f\) bzgl \(x = \dot{q}^{\alpha}\) mit \(u = p_{\alpha} \)

Q: Was sind die Hamiltonschen Gleichungen?
A: \(\dot{q}^{\alpha} = \frac{\partial H}{\partial p_{\alpha} }\) \(\dot{p}_{\alpha} = -\frac{\partial H}{\partial q^{\alpha} }\), \((\alpha = 1, \dots, f)\)
Wie heissen diese Gleichungen?

Geladenes Teilchen im äusseren elektromagnetischen Feld nach dem Hamiltonschen Prinzip:
\[L = \frac{m}{2} \dot{x}^2 - e \bigg(\varphi(x, t)- \frac{\dot{x} }{c} \cdot A(x, t) \bigg)\]
\[p = m\dot{x} + \frac{e}{c} A\]\[H = \frac{1}{2m} \bigg( p - \frac{e}{c} A(x,t) \bigg)^2 + e \varphi(x,t)\]Die Bedingung dafür, dass \(p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q} ^{\alpha} }\) nach \(\dot{q}\) auflösbar ist, ist dass die Hesse-Matrix \[\bigg(\frac{\partial ^2 L}{\partial \dot{q}^{\alpha} \partial \dot{q}^{\beta} } \bigg)_{\alpha, \beta = 1, \dots, f}\]invertierbar ist. Falls sie positiv definit ist, so ist \(p_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{\alpha} }\) sogar global und eindeutig nach \(\dot{q} \) auflösbar.