Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche_12

Definition Schneller Kreisel:
Kinetische energie ist gross relativ zur maximalen Änderung der potentiellen Energie:
dh:
\(\frac{1}{2}\Theta_3\omega_3^2(0) = \frac{1}{2}\Theta_3\dot{\psi}^2(0)\) \(\gg\) \(2mgl\)

Wir wählen für den schnellen Kreisel die Anfangsbedingung \(\dot{\varphi}=\dot{\theta}=0\) damit sich die Parameter in der Bewegungsgleichung vereifachen:
\(0=\dot\varphi_0 = \frac{a-bu_0}{1-\dot u_0^2}\) \(\implies\) \(a = bu_0\)
analog gilt dann \(\alpha = \beta u_0\)
Wir schreiben dann die Bewegungsgleichung vereifacht durch:
\(f(u) = \) \((u_0-u)[\beta(1-u^2)-b^2(u_0-u)]\)  (mit \(u=cos(\theta)\) )

Q: Im [...] erhalten wir schönere Lösungen für [...]mithilfe der Approximation:[...]
A: schnellen Kreisel; die Umkehrpunkte der Nutation; \(\sqrt{1+\varepsilon} = 1 + \frac{1}{2}\varepsilon\)

Mass der Nutation im schnellen Kreisel :
\(u-u_0\) \(= \) \( (\frac{\Theta_1}{\Theta_3})\frac{2mgl}{\Theta_3\omega_3(0)^2}sin^2\theta_0\)
Insbesondere ist die Nutation umso kleiner, je schneller der Kreisel sich dreht.

Die Frequenz der Nutation im schnellen Kreisel kann einfach bestimmt werden, weil die kleine Nutation dazu führt, dass wir die momentane Nutation durch ihren Anfangswert ersetzen können.

Die Nutationsgeschwindigkeit des schnellen Kreisels:
\(b = \frac{\Theta_3}{\Theta_1}\omega_3(0)\)
Die Winkelgeschwindigkeit der Nutation ist daher grösser, wenn sich der Kreisel anfangs schneller dreht.

Präzessionsgeschwindigkeit im schnellen Kreisel:
Die Präzessionsgeschwindigkeit ist nicht gleichförmig (also keine echte Präzession), sondern sie ändert sich harmonisch mit der Zeit (mit der selben Frequenz wie die Nutation)

Die Präzessionsgeschwindigkeit im schnellen Kreisel:
\(\dot\varphi= \frac{\beta}{2b}(1-cos(bt))\)
die mittlere Präzessionsgeschwindigkeit im schnellen Kreisel:
\(\bar{\dot{\varphi} } = \frac{\beta}{2b}=\frac{mgl}{\Theta_3\omega_3(0)}\)
Wir sehen, dass die Präzessionsgeschwindigkeit antiproportional zur Rotationsgeschwindigkeit ist.

Zusammenfassung schneller Kreisel:
Schnelle Rotation \(\implies\) Hohe Nutationsfrequenz + kleine Nutation + langsame Präzession.

Reguläre Präzession beim schnellen Kreisel:
Damit die Präzession regulär (gleichmässig) ist muss \(\dot\varphi = const\) sein.
D.h. es muss insbesondere \(\theta = const\)  und damit \(u_1 = u_2 = u_0\).
Einsetzen in \(f(u)\) führt dann zu:
\(\beta/2 = b\dot\varphi-u_0\dot\varphi^2\)
Es gibt also zwei Lösungen die schnelle und langsame Präzession.
Wir sehen insb dass \(\dot\varphi = 0\) keine Lösung sein kann. Es gibt also immer eine Präzession!

Vertikal stehender schneller Kreisel:
Beim vertikalen Kreisel gilt \(u=1\) ist eine Wurzel von \(f(u)\) (da \(u=cos(\theta)\) ).
Wir erhalten durch einsetzen das \(f(u)\) bei \(u=1\) eine Doppellösung haben muss.
Beim schnellen Kreisel bleibt die dritte Lösung unphysikalisch, bis die Rotationsgeschwindigkeit die kritische Winkelgeschwindigkeit unterschreitet.

Kritische Winkelgeschwindigkeit beim schnellen vertikalen Kreisel:
Oberhalb der kritischen Winkelgesch. \(\omega_3'\) gibt es keine Nutation (schlafender Kreisel). Erst wenn
 \(\omega_3 \leq \omega_3'=2\sqrt{\frac{mgl\Theta_1}{\Theta_3^2} }\)
dann beginnt eine Nutation.

Q: Gesetz der Lichtausbreitung:
[...]
A: \(c^2(t_1-t_2)^2-(x_1-x_2)^2 = 0\)

Q: [...]:
[...]
A: Lorentz kontraktion; \(L(v) = L_0 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2} }\)

Q: [...]:
1. [...]
2. [...]
A: Einsteinsche Postulate; Relativitätsprinzip; Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Q: 4-er Schreibweise:
[...]
mit den Komponenten von \(x\) als [...]
A: \(x = (ct,x,y,z) = (x^0,x^1,x^2,x^3)\); \(x^\mu\)

Q: Relativistische Metrik:
[...]
Die Punkte auf dem Lichtkegel erfüllen dann die Bedingung:
[...]
Wir nennen solche Punkte [...].
A: \(g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}1 \\ &-\mathbb{1}\end{pmatrix}\); \(g_{\mu\nu} x^\mu x^\nu = x^\top g x = 0\); lichtartig

Q: Der 4-D VR mit der Metrik \(g\) wird [...] genannt.
Darin definieren wir das 4-er Skalarprodukt durch
[...]
A: Minkowski Raum; \((x,y) = g_{\mu\nu} x^\mu y^\nu\)

Q: Herleitung Lorentztransformationen:
1. Postulat \(\implies\) [...]
2. Postulat \(\implies\) [...]
dh.
[...]
A: Transformation muss linear (in 4-D) sein; Lichtkegel muss auf Lichtkegel transformiert werden; \(g_{\mu\nu} = \Lambda^\rho_{\;\mu}\Lambda^\sigma_{\;\mu}g_{\rho\sigma}\)

Q: Die[...]
nennen wir [...]
A: Lorentzgruppe mit Translation (in 4-D); die Poincarégruppe

Q: Eigenschaften der Lorentztransformation:
[...]
[...]
Die Lorentzgruppe zerfällt also in vier Komponenten:
A: \(det(\Lambda)^2 = 1\); \((\Lambda^0\;_0)^2 - \sum_{k=1}^3(\Lambda^k\;_0)^2 = 1\)

Q: Die [...] ist die Untergruppe mit den Eigenschaften:
[...]
A: eigentliche orthochrone Lorentzgruppe; \(L^\uparrow_+ = \{\Lambda \in L| det\Lambda = 1, \Lambda^0_{\;0} \ge 1 \}\)

Q: Typische Vertreter der anderen (nicht eigentlich orthochronen) Untergruppen:

mit \(T\) [...], \(P\) [...] und \(PT\) [...].
A: der Zeitumkehr; der Raumspiegelung an einem Punkt; deren Kombination

Q: Die Lorentzgruppe kann in zwei wichtige Untergruppen unterteilt werden:
[...]:

[...]:
A: Rotationen; Spezielle Lorentz-Transformationen (boosts)

Q: Multiplikationsgesetz spezielle Lorentztransformation:
[...]
A: \(\Lambda(u_1)\Lambda(u_2) = \Lambda(u_1 + u_2)\)

Q: Die [...] kann [...] aufgespannt werden.
A: gesammte Untergruppe; durch Drehungen und Boosts