Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche2

Q: Galileisches Relativitätsprinzip:
A: Bewegungsgleichungen eines isolierten Systems lauten in jedem Inertialsystem gleich, sind also invariant unter Galilei-Transformationen

Q: Welche Form hat das Kraftgesetz \(F_{ik}\) unter dem Galileischen Relativitätsprinzip?
A: \(F_{ik} = f_{ik}(|x_i − x_k|)\frac{
x_i − x_k}
{|x_i − x_k|}\)

Q: Herleitung aus Galilei Invarianz:
\(F_{ik} = f_{ik}(|x_i − x_k|)\frac{ x_i − x_k} {|x_i − x_k|}\)
A: Translation: \(F_{ik}\) kann nur von \(\Delta x\) abhängen
Rotation: \(F_{ik}\) muss entlang verbindung \(x_i \to x_k\) wirken \(\implies\)\(\frac{ x_i − x_k} {|x_i − x_k|}\)

Q: Definition passive und aktive interpretation des Relativitätsprinzips.
A: Passiv: \(x(t)\) und \(x'(t')\) haben die gleiche Bahn \(\implies\)Bewegungsgleichung in \(I\) und \(I'\) gleich
Aktiv: Ist \(x(t)\) eine Lösung in \(I\) so ist \(x(t)\) auch eine Lösung in jedem System \(I'\) (beschreibt jedoch im allgemeinen ein anderes Problem)
Bsp Aktiv: Eine zeitumgekehrte Lsg ist immer noch eine Lsg.

Erhaltungssätze und Anzahl erhaltener Variabeln:
- Impulssatz: 6
  - \(\frac{d}{dt}\sum_i p_i = \sum_i F_i\)
- Drehimpulssatz: 3
  - \(\frac{d}{dt}\sum_i x_i \wedge p_i = \frac{d}{dt}L = \sum_i x_i \wedge F_i = M\)
- Energiesatz: 1
  - \(\frac{d}{dt}\sum_i \frac{1}{2} m_i \dot{x}_i^2 = \frac{d}{dt} T = \sum_i F_i \cdot \dot{x}_i = \textrm{Leistung}\)

Q: Position, Geschwindigkeit und Beschleunignung im bewegten Bezugssystem:
[...]
[...]
[...]
A: \(x = R(t)y + b(t)\); \(\dot{x} = \dot{R}y + R\dot{y} + \dot{b}\); \(\ddot{x} = \ddot{R}y + 2\dot{R}\dot{y} + R\ddot{y} + \ddot{b}\)

Q: Scheinkräfte:
[...]
[...]
[...]
A: Coriolis-Kraft: \(-2m \omega \wedge \dot{y}\); Zentrifugalkraft: \(-m \omega \wedge ( \omega \wedge y)\); Führungskraft: \(-ma\)

Q: Allgemeines 2-Körperproblem:
[...]
[...]
A: \(\ddot{x}_1 = -\frac{1}{m_1} \frac{\partial}{\partial x_1} V(|x_1-x_2|)\); \(\ddot{x}_2 = -\frac{1}{m_2} \frac{\partial}{\partial x_1} V(|x_1-x_2|)\)

Q: Relativkoordinaten, Bewegungsgl und Erhaltungsgr 2-Körperproblem:
[...]
[...]
[...]
A: \(X= \frac{1}{M} (m_1\vec{x}_1 + m_2\vec{x}_2)\)
\(x= x_1 - x_2\)
\(M = m_1 + m_2\); \(M\ddot{X} = 0\)
\(\mu\ddot{x} = -\frac{\partial}{\partial x} V(|x|)\)
\(1/\mu = 1/m_1 + 1/m_2\); \(L = \mu x \wedge \dot{x}\)
\(T+V = \frac{\mu}{2} \dot{x}^2 + V(r) = \frac{\mu}{2}(\dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2) + V(r)\)

Q: Zeitliche und Winkel-Bahnkurve 2-Körperproblem:
[...]
[...]
A: \(t(r)-t(r_0) = \pm \int_{r_0}^{r} \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{\mu}(E-U(x)) } }dx\); \(\varphi(r) - \varphi(r_0) = \pm \int_{r_0}^{r} \frac{l}{x^2 \sqrt{2 \mu (E-U(x))} }dx\)