Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche_14

Q: Was ist die grundsätzliche Idee des Hamilton-Jacobi-Formalismus?
A: Wir transformieren den Phasenraum (kanonisch) gerade so dass \(H\) eine der neuen Impulskoordinaten ist.
In diesen Phasenkoordinaten ist dan das Problem trivial lösbar.

Q: Trivial lösbare Bewegungsgleichung und ihre Lösungen nach Anwendung Hamilton-Jacobi?
A: \(\dot P_\alpha = -\dede{H}{Q^\alpha}=0\)
\(\dot Q^\alpha = \dede{H}{P_\alpha} = \begin{cases} 0 & \alpha = 1,\ldots,f-1 \\ 1 & \alpha = f \end{cases}\)
\(P_\alpha(t) = P_\alpha(0)\)
\(Q_\alpha (t) =\begin{cases} Q^\alpha(0) & \alpha = 1,\ldots,f-1 \\ Q^f(0) + t & \alpha = f \end{cases}\)

Q: zeitunabhängige Hamilton-Jacobi Gleichung:
A: \(H(q^1,\ldots,q^f,\dede{S}{q^1},\ldots,\dede{S}{q^f}) = P_f\)

Q: Bedingung dass \(S\) aus der zeitunabh. Hamilton-Jacobi Gleichung nach \(q^\alpha\) aufgelöst werden kann? (Existenz einer vollständigen Lösung)
A: Wir benötigen eine Schar von Lösungen:
\(S(q^1,\ldots,q^f,P_1,\ldots,P_f)\)
mit
\(det(\dede{^2S}{q^\alpha \partial P_\beta} )\neq 0\)
es reicht auch dass:
\(rang(\dede{^2S}{q^\alpha\partial P_\beta}) = f-1\)

Transformation einer H-J Lösung in ursprüngliche Koordinaten:
Wir betrachten die \(f-1\) Gleichungen:
\(\dede{S}{P_\beta}(q,P) = Q^\beta(t) = Q^\beta(0), (\beta = 1,\ldots,f-1)\)
Der Schnitt all dieser Hyperflächen (das aufgelöste Gleichungssyst.) beschreibt dann eine Bahnkurve.
Die Geschwindigkeit darauf ist gegeben durch:
\(\dede{S}{P_f}(q,P) = Q^f(0) + t\)
Die \(2f\) Konstanten \(Q^1(0),\ldots,P_f(0)\) sind dann gegeben aus den Anfangsbedingungen.

Definition Separierbare Variable:
\(q^1\) ist separierbar, wenn die H-J Gleichung in die folgende Form gebracht werden kann:
\(f(q^1,\dede{S}{q^1}) = F(q^2,\ldots,q^f,\dede{S}{q^2},\ldots,\dede{S}{q^f})\)

Q: Was ist der Vorteil separabler Probleme?
A: Wir können eine Hälfte der Gleichung gleich der anderen Hälfte (in anderen Variablen) setzen, wodurch beide Seiten konstant sein müssen.

Q: Definition: Vollständig separabel
A: Wenn jede Variabel itterativ separabel wird. Wir also das ganze Problem bez. jeder Variabeln separieren können.
Wir also:\(S(q^1,\ldots,q^f,P_1,\ldots,P_{f-1}) = S_1(q^1,P_1) + S_2(1^2,P_1,P_2) + \cdots + S_f(q^f,P_1,\ldots,P_{f-1})\)schreiben können.