Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche9

Q: Die [...] sind
[...]
Und der zugehörige Raum ist der [...].
A: Phasenkoordinaten; \(x \equiv (x_1,\ldots,x_{2f})\equiv(q^1,p_1,\ldots,q^f,p_f)\); Phasenraum

Q: Phasenraum \(\varepsilon\):
[...]
A: \(\varepsilon = \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \\ & & &\ddots \\ & & & & 0 & -1 \\ & & & & 1 & 0\end{bmatrix}\)

Q: Kanonische [...] Gleichungen [...]:
[...]
A: Hamilton; im Phasenraum; \(\sum_{k=1}^{2f}\varepsilon_{ik}\dot{x}_k = \dede{H}{x_i}\)

Verhalten von Funktionen auf dem Phasenraum entlang einer physikalischen Bahn \((q(t),p(t))\)
\(\dd{}{t} F(q(t),p(t)) = \sum_{\alpha = 1}^f(\dede{F}{q^\alpha} \dot{q}^\alpha + \dede{F}{p_\alpha}\dot{p}^\alpha) \)
oder in Phasenkoordinaten:
\(\dd{}{t}F(x(t)) = \sum_k \dede{F}{x_k}\dot{x}_k = \sum_{i,k}\dede{H}{x_i}\varepsilon_{ik}\dede{F}{x_k}\)
Wir benutzen hier
\(\dot{x}_k = \sum_{i=1}^{2f}\varepsilon_{ik}\dede{H}{x_i}\) weil \(\sum_{i=1}^{2f}\varepsilon_{il}\varepsilon_{ik} = \delta_{lk}\)

Q: Definition: [...]
[...]
A: Possionklammern; \(\{F,G\} \equiv \sum_{\alpha =1 }^f( \dede{F}{q^\alpha}\dede{G}{p_\alpha} - \dede{F}{p_\alpha}\dede{G}{q^\alpha} ) = - \sum_{i,k} \dede{F}{x_i} \varepsilon_{ik}\dede{G}{x_k}\)

Q: Zeitableitung einer Funktion auf dem Phasenraum mit Poissonklammern
[...]
A: \(\dede{}{t}F(q(t),p(t)) = \{F,H\}(q(t),p(t))\)

Einige einfache Poissonklammern:
\(\{q^\alpha,q^\beta\} = 0\)
\(\{q^\alpha,p_\beta\} = \delta^\alpha_\beta\)
\(\{p_\alpha,p_\beta\} = 0\)

Poissonalgebra Struktur von den \(C^\infty\) fkt auf dem Phasenraum
\((\lambda F + \mu G)(x) = \lambda F(x) + \mu G(x)\)
\((F \cdot G)(x) = F(x) \cdot G(x)\)
\(\{F,G\} = - \{G,F\}\)
\(\{\lambda F_1 + \mu F_x, G\} = \lambda \{F_1,G\} + \mu\{F_2,G\}\)
\(\{F, G_1 \cdot G_2\}= \{F, G_1\}\cdot G_2 + G_1 \cdot \{F,G_2\}\)
Die letzte Eigenschaft ist eine Derivation der Algebra und ist analog zur Produktregel beim Ableiten.
Zusätzlich gilt noch folgende Jacobi-Identität:
\(\{\{F_1,F_2\},F_3\} + \{\{F_2,F_3\},F_1\} + \{\{F_3,F_1\},F_2\} = 0\)
und die Verträglichkeit mit Zeitentwicklung:
\(\{F\circ\phi^t, G\circ \phi^t\} = \{ F, G\} \circ \phi^t\)

Q: Definition kanonische Transformation:
A: Transformationen  \(x_i = x_i(\bar{x}_1, \ldots,\bar{x}_{2f})\), welche die kanonischen Gleichungen forminvariant lassen.

Q: Definition Jacobi-Matrix:
A: \(A_{ij}(\bar{x}) = \dede{x_i}{\bar{x}_j}\)

Q: Charakterisierung kanonischer Transformationen:
A: Was ist:
\(A^T(\bar{x})\varepsilon A(\bar{x}) = \varepsilon , \forall \bar{x}\)
mit \(A(\bar{x})\) die Jacobi-Matrix

Kanonische transformation der Poissonklammern:
\(\{F,G\} = \{\bar{F},\bar{G}\}\)
Umgekehrt ist auch jede, die Poissonklammern erhaltende Transformation, kanonisch

Definition symplektische Gruppe:
\(A: \mathbb{R}^{2f} \to \mathbb{R}^{2f}\) linear 
mit \(A^T\varepsilon A = \varepsilon\) 
heisst symplektisch und bildet die symplektische Gruppe \(Sp(2f)\)
Insbesondere gilt \(det(A)^2 = 1\)
Back Extra: Bemerkung: Die Gruppe der kanonischen Transformationen ist wesentlich grösser.

Q: Definition [...] zu \(F\)
[...]
[...]
A: Hamiltonsches Vektorfeld; \(X_F = \sum_\alpha \dede{F}{q^\alpha}\dede{}{p_\alpha}-\dede{F}{p_\alpha}\dede{}{q^\alpha}\); \(X_F(G)= \{F,G\}\)

Definition: Zweiform auf dem Phasenraum
\(\omega(X_F(q,p),X_G(q,p)) = \{F,G\}(q,p)\)
Diese Zweiform ist bilinear und antisymmetrisch.

Typen von Differentialformen:
- 0-Form: Funktion
  -  \(\R \to \R\)
- 1-Form: Linearform auf dem Raum Vektorfelder \(V\)
  - \(V \to \R\)
  - Bsp: Infinitesimale Arbeit \(F_1dx^1 + F_2dx^2 + F_3dx^3\)
- 2-Form: Alternierende Bilienarform auf \(V\times V\) 
  - \(V \times V \to \R\)
  - Bsp: Infinitesimaler magnetischer Fluss \(B_1dx^2\wedge dx^3 + B_2 dx^3 \wedge dx^1 + B_3 dx^1 \wedge dx^2\)
- l-Form: multi-lineare total antisymmetrische Funktion
  - \(V \times \ldots \times V \to \R\)
  - \(\varphi(X_1, \ldots, X_k) \in \R\) mit \(X_i\) Vektorfelder

Definition wedge-Produkt:
Ordnet einer k-Form \(\varphi \) und einer l-Form \(\psi\) eine \((k+l)\)-Form zu mit
\(\varphi \wedge\psi = (-1)^{kl}\psi\wedge\varphi\)
Diese Zuordnung ist assoziativ und distributiv

Q: Für k 1-Formen \(\varphi_1,\ldots,\varphi_k\) gilt
[...]
[...]
d.h. es gleicht [...]
A: \((\varphi_1 \wedge \dots \wedge \varphi_k)(X_1, \dots, X_k) =\); \(\left| \begin{matrix}\varphi_1(X_1) & & \varphi_1(X_k) \\ \\ \varphi_k(X_1) & & \varphi_k(X_k)\end{matrix} \right|\); der Determinante der Evaluationsmatrix