Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche_10

Definition äussere Differentation:
Die äussere Differentation ist die Fortsetzung des totalen Differentials auf Differentialformen.
Wir definieren die 1-Formen \(dx^i\)  \(i=1,\ldots,n\) durch
\(dx^i\dede{}{x^j}=\delta^i_j\)
Dann ist
\(dF(X) = \sum_{i=1}^n\dede{F}{x^i}dx^i\)

Für die äussere Differentation auf \(\varphi\) eine k-form gilt:
\(d(\varphi \wedge \psi) = \)\((d\varphi)\wedge\psi + (-1)^k\varphi \wedge (d\psi)\)
\(d^2\varphi = 0\)
daraus folgt dann inbesondere für \(F_i\) Null-formen (Funktionen)
\(d(F_0dF_1\wedge \cdots\wedge dF_k) = dF_0 \wedge dF_1 \wedge \cdots \wedge dF_k\)

Q: Definition einer [...]:
[...]
A: geschlossenen Differentialform; \(d\varphi = 0\)

Definition exakte Form:
\(\varphi\) ist exakt wenn ein \(\psi\) (mit um 1 kleinerem grad) existiert sd \(\varphi = d\psi\) 
Exakte formen sind immer geschlossen. (Wegen  \(dd\varphi = 0\))

Lemma von Poincaré:
In jedem kontrahierbaren Gebiet ist jede geschlossene Form exakt
z.B. ist die infinitessimale Arbeit genau dann geschlossen wenn die Rotation des Kraftfeldes verschwindet.
In diesem Fall ist das Kraftfeld konservativ.

Zweiform geschrieben als äusseres Differential:
\(\omega = - \sum_{\alpha=1}^fdp_\alpha \wedge dq^\alpha\)
Insbesondere ist \(\omega\) geschlossen.
Aussedem ist \(\omega\) nicht entartet dh.
\((\forall Y: \omega(X,Y) = 0) \implies X= 0\)
Eine geschlossene, nicht entartete Zweiform nennt man symplektisch.

Satz von Darboux:
Jede symplektische 2-form kann lokal in Normalform gebracht werden.
dh. Es gibt Koordinaten sd \(\omega\) die folgende Form hat.
\(\omega = - \sum_{\alpha=1}^fdp_\alpha \wedge dq^\alpha\)
Die dazugehörigen Karten bilden einen kanonischen Atlas des Phasenraums.
Kooridnatentransformationen dazu sind kanonisch.

Q: Definition [...]:
Fluss für den die [...]
[...].
A: kanonischer Fluss; Jacobi-Matrix \(A_{ik}(x,\lambda) = \dede{y_i}{x_k}(x,\lambda)\); symplektisch ist für alle \((x,\lambda)\)

Die DGL, die kanonische Flüsse charakterisiert hat die Form:
\(\sum_k\varepsilon_{il}\dd{y_k}{\lambda} = \dede{F}{y_i}\)
Dies ist die Form einer kanonischen Gleichung, wobei \(\lambda\) die Rolle der Zeit einnimmt.
F nennen wir die erzeugende Funktion des kanonischen Flusses. Insbesondere ist die Dynamik eines autonomen Hamiltonschen System  durch einen
kanonischen Fluss \(\phi^t\) gegeben. dh.
\(x(t) = \phi^t(x_0)\)

Satz von Liouville:
Das Phasenvolumen 
\(\mu(\Omega) = \int_\Omega dx_1\ldots dx_2f\)
jeder Teilmenge \(\Omega \in \Gamma\) ist invariant unter Zeitentwicklung (actually jedem kanonischen Fluss).
dh.
\(\mu(\phi^t(\Omega)) = \mu(\Omega)\)

Wiederkehrsatz von Poincaré:
Für \(\phi^t\) einen volumenerhaltenden Fluss auf dem Phasenraum \(\Gamma\)  und \(G \subset \Gamma\) ein Gebiet mit endlichem Volumen.
Und \(G\) invariant unter \(\phi^t\). (\(\forall t: \phi^t(G) \subset G\))
Betrachten wir \(\Omega \subset G\). Wir nennen \(x \in G\) einen Wiederkehrpunkt bez \(\Omega\) falls seine Bahn die Menge \(\Omega\) immer wieder besucht.
Es gilt:
Fast alle \(x \in \Omega\) sind Wiederkehrpunkte.

Q: Beispiel für den Wiederkehrsatz: Ausströmen eines Gases ins Vakuum
System:
\(N\) Teilchen mit \(H(x) = \sum_{i=1}^N(\frac{p_i^2}{2m} + W(x_i)) + \sum_{i<k}^{1\ldots N}V(\norm{x_i-x_k})\)
Mit \(W(x)\) das Potential der Wand.
Das Gebiet \(G = \{x| H(x) \leq E\}\)
ist aufgrund der Energierhaltung invariant unter dem von \(H\) erzeugten Fluss. Zudem ist \(\mu(G) < \infty\).
Per Wiederkehrsatz sind fast alle Punkte in G Wiederkehrpunkte.
Wir lernen also, [...]
A: dass Entropie in AllgMech nicht wohldefiniert ist da AllgMech Zeitumkehrinvariant ist.

Erhaltungsgrössen mit Poissonklammern:
Da \(\dd{}{t}F(x(t)) = \{F,H\}\)  ist \(F\) genau dann erhalten wenn die Poissonklammer verschwindet.
Insbesondere ist \(H\) erhalten falls es nicht explizit von \(t\) abhängt (es autonom ist).
Betrachte, dass obige Gl nur gilt wenn \(F\) nicht selbst explizit \(t\) abhängig ist. Sonst müssen wir noch \(\dede{F}{t}\) hinzufügen:
\(\dd{}{t}F(x(t),t) = \{F,H\} + \dede{F}{t}\)

Q: Neue Erhaltungsgrössen via Possonklammern:
Seien \(F,G\) erhalten:
[...]
Dann ist [...]
dh [...]
A: \(\{F,H\}= \{G,H\} = 0\); wegen der Jacobi-Identität auch \(\{F,G\}\) erhalten.; \(\{\{F,G\},H\} =0\)

Q: [...]
da [...]
folgt, dass \(F\) genau dann erhalten ist, falls [...]
A: Umkehrung Noether's Theorem:; \(\dd{}{t} F(\phi^t(x))|_{t=0} = \{F,H\} = -\{H,F\} = -\dd{}{\lambda}H(\psi^\lambda(x))|_{\lambda = 0}\); \(H\) unter dem von \(F\) erzeugetn kanonischen Fluss invariant ist.

Umkehrung Noether Theorem am Beispiel des Drehimpulses.
- Betrachte \(F(x,p) = e \cdot(x\wedge p)\)
- Wir erhalten DGLs zum durch \(F\) erzeugten kanonischen Fluss:
  - \(\dd{x}{\lambda} = \dede{F}{p} = e \wedge x\)
  - \(\dd{p}{\lambda}=-\dede{F}{x} = e\wedge p\)
- Wir sehen, dass der dazugehörige Fluss die folgende Form hat:
  - \(\psi^\lambda:(x,p)\mapsto(R(\lambda)x,R(\lambda)p)\)
- Die Komponenten des Drehimpluses sind also die erzeugenden Funktionen der Drehungen!
- Per \(\dd{}{t}F(\phi^t(x))|_{t=0} = -\dd{}{\lambda}H(\psi^\lambda(x))|_{\lambda=0}\)  (Umkehrung Noether Theorem) gilt nun.
- \(\dd{}{t}e\cdot(x\wedge p)|_{t=0}=-\dd{}{\lambda}H(R(\lambda)x,R(\lambda)p)|_{\lambda=0}\)
  - \(e\cdot(x\wedge p)\)  ist also genau dann erhalten, wenn \(H\) unter der rotation um \(e\) invariant ist!

Hamiltonsches Prinzip im Phasenraum
\(\delta \int_{(1)}^{(2)}(\sum_\alpha p_\alpha \dot{q}^\alpha -H) = 0\)
A priori ist aber nicht offensichtlich, warum dies gilt. Denn im Phasenraum sind \(q^\alpha\) und \(p_\beta\) unabhängig obwohl \(q^\alpha\) beim ursprünglichen Variationsprinzip \(\dot{q}^\alpha\) vorgegeben hat.
(Es lässt sich aber durch partielle integration zeigen, dass es trotzdem der Fall ist)

Hamiltonfunktion unter kanonischer (zeitabhängiger) Transformation:
\(\delta\int_{(1)}^{(2)}(\sum_\alpha p_\alpha \dot{q}^\alpha - H)dt = 0\)
entspricht
\(\delta\int_{(1)}^{(2)}(\sum_\alpha P_\alpha \dot{Q}^\alpha - K)dt = 0\)
Equivalent dazu:
\(\sum_\alpha p_\alpha(t)d\dot{q}^\alpha - Hdt = \sum_\alpha P_\alpha(t)d\dot{Q}^\alpha(t) - Kdt + dS_0\)
Was dazu führt, dass wir für ein frei gewähltes \(S\) kanonische Transformationen finden können durch:
\(p_\alpha = \dede{S}{q^\alpha}(q,P,t)\)
\(Q^\alpha = \dede{S}{P_\alpha}(q,P,t)\)
\(K = H(q,p,t) + \dede{S}{t}(q,P,t)\)
S heisst die erzeugende Funktion der kanonischen Transformation.

Beispiel zur Erzeugung kanonischer Transformationen:
Betrachte die erzeugende Funktion \(S(q,P)=\frac{1}{2}q^2P^2\)
Durch
\(p_\alpha = \dede{S}{q^\alpha}(q,P,t)\)
\(Q^\alpha = \dede{S}{P_\alpha}(q,P,t)\)
\(K = H(q,p,t) + \dede{S}{t}(q,P,t)\)
Folgt dann:
\(Q = q^2P\)
\(p = qP^2\)
Wir lösen auf und erhalten die kanonische Transformation:
\(q= \sqrt{\frac{Q}{P} }\)
\(p=\sqrt{QP^3}\)
Beachte das die erzeugende Funktion \(S\) nicht dasselbe wie die erzeugende Funktion eines kanonischen Flusses ist.