Title: ETH_Sem3 / AllgMech / Woche5

Q: Inhomogenes System:
[...]
Lösung via [...]
[...]
A: \(\dot{z} = A(t)z + b(t)\); Duhamel-Formel; \(z(t)= P(t,s)z(s) + \int_s^t d\tau P(t, \tau)b(\tau)\)

Stossanregung zum Zeitpunkt \(t_0\):
\(b(t) = \delta(t-t_0)b\)
Stossantwort:
\(z(t) = \theta(t-t_0)P(t,t_0)b\)
\(\theta(t) = \begin{cases}1& t \geq 0 \\ 0 & t<0 \end{cases}\)

Q: [...]
[...]
A: Duhamel-Formel für autonome Systeme:; \(z(t) = e^{At}z(0) + \int_0^t d\tau \,e^{A(t-\tau)}b(\tau)\)

Q: Definition [...]:
[...]
A: strikt stabil; \(\forall \lambda \in \sigma(A):Re \, \lambda < 0\)

Q: Definition:[...]einer Matrix \(A\)
[...]
A: Spektrum; \(\sigma(A) = \{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}\) die Eigenwerte von \(A\)

Für diagonalisierbare \(A\) gilt:
\((i\omega -A)^{-1}\) = \(\sum_{\lambda \in \sigma(A)} \frac{P_\lambda}{i\omega - \lambda}\)
wenn nun \(i\omega\) nahe von einem \(\lambda \equiv -\beta + i \omega_0\) liegt, so gilt
\(z(t) \cong \frac{e^{i\omega t} }{i\omega - \lambda} P_\lambda b = \frac{1}{r} e^{i(\omega t - \delta)} P_\lambda b\)
mit \(\delta = \arctan(\frac{\omega-\omega_0}{\beta})\) der Phase
und \(\frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{(\omega-\omega_0)^2 + \beta^2} }\)der Amplitude

Amplitude \(1/r\)
Phase \(\delta\)
Eigenfrequenz \(\omega_0\)
Dämpfung \(\beta\)

Q: Bewegungsgleichung [...]
[...]
[...]
A: Schaukeln im Stehen:; \(\frac{d}{dt}(ml^2\dot{\theta}) = -mgl\sin(\theta)\); \(\frac{d^2}{dt^2}(l\theta) = \frac{g - \ddot{l} }{l}(l\theta)\)

Q: Auswirkung Periodizität auf Propagator:
[...]
A: \(P(nT) = P(T)^n\) mit \(n = 1,2,3,\ldots\)

Q: Niedrigste Ordnung Approximation  an \(det(P + \delta P)\)
[...]
A: \(\det(P + \delta P) = \det(1 + \delta PP^{-1})\det(P) = \det(P) + tr(\delta PP^{-1})det(P)\)

Umgekehrtes Pendel:

Definition: Rückkopplung
Kraft ist von den Koordinaten (und ihren Ableitungen) abhängig
Definition: Stabilisierbarkeit
\(\exists r \in \mathbb{R}^n\) mit \(A+br^T\)stabil

Q: [...][...]
Grund, dass nur Potenzen bis \(n-1\) relevant sind:
[...]
A: Charakterisierung Stabilisierbarkeit:; \(b, Ab, \ldots, A^{n-1}b\) spannen \(\mathbb{R}^n\) auf; Cayley Hamilton

Beispiel nicht (linear) stabilisierbares Problem:

Q: Def: [...]
[...]
A: Brachistochronenproblem; Welches ist die schnellste Strecke für ein reibungsfreies Teilchen im homogenen Schwerefeld von A nach B

Schritte zur Lösung des Brachistochronenproblems:
1. Energieerhaltung \(\implies\) \(v = \sqrt{2gz}\)
2. \(ds^2 = dx^2 + dz^2 = (1+f'(z)^2)dz^2\) \(\implies\) \(T(f) = \int_0^a dz \sqrt{\frac{1 + f'(z)^2}{2gz} }\) 
3. \(h \in C^\infty\) beliebig mit \(h(0) = h(a) = 0\)
4. Betrachte \(f + \alpha h\) \(\alpha \in \mathbb{R}\) 
5. Mit  \(f\) die Lösung \(\implies\) \(T(f) \leq T(f + \alpha h)\) (da minimal)
6. Insb \(0 = \frac{d}{d\alpha}T(f+\alpha h)\vert_{\alpha =0}\)
7. Vertausche integral in \(T\) und Ableitung \((^o:\vert\supset\)
8. \(0 = \int_0^adz \frac{f'(z)}{\sqrt{2gz(1+f'(z))^2} }h'(z)\)
9. Achtung \(h'\) ist nicht beliebig!
10. Partielle integration (Randtherme per voraus aufgehoben)
11. Da \(h\) beliebig muss Integrand null sein
12. Substituiere \(z = \frac{1}{c^2}\sin^2\frac{\varphi}{2}\)
13. Integral lösen
14. Profit!