Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 10 Metrische Räume / Kap10_01

Q: Definition: Ein metrischer Raum \(X\) ist eine Menge \(X\) gemeinsam mit einer Abbildung \(d: X \times X \to \mathbb{R}_{\geq 0}\), die die Metrik auf \(X\) genannt wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:
A: - (Definitheit) Für alle \(x_1,x_2 \in X\) gilt \(d(x_1,x_2) = 0 \iff x_1 = x_2\).
- (Symmetrie) Für alle \(x_1,x_2 \in X\) gilt \(d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1)\).
- (Dreiecksungleichung) Für alle \(x_1,x_2,x_3 \in X\) gilt \(d(x_1,x_3) \leq d(x_1,x_2) + d(x_2,x_3)\)

Q: Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge \(O \subset X\) heisst offen, falls [...]. Eine Teilmenge \(A \subset X\) heisst abgeschlossen, falls [...] ist.
A: es zu jedem Punkt in \(O\) einen offenen Ball um diesen Punkt gibt, der in \(O\) liegt; ihr Komplement \(X \setminus A\) offen

Lemma 10.6 (Topologie):
- Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen.
- Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.
- Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
- Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.

Lemma 10.7 (Charakterisierung offener und abgeschlossener Mengen durch Konvergenz). Sei \(X\) ein metrischer Raum.
- Eine Teilmenge \(O \subset X\) ist genau dann offen, wenn für jede konvergente Folge in \(X\) mit Grenzwert in \(O\) fast alle Folgenglieder in \(O\) liegen.
- Eine Teilmenge \(A \subset X\) ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge \((x_n)_n\) in \(X\) mit \(x_n \in A\) für alle \(n \in N\) auch der Grenzwert in \(A\) liegt.

Q: Sei \(V\) ein Vektorraum über \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) oder \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) und seien \(\|{\cdot}\|_1\) und \(\|{\cdot}\|_2\) zwei Normen auf \(V\). Wir nennen \(\|{\cdot}\|_1\) und \(\|{\cdot}\|_2\)  äquivalent, falls [...].
A: Konstanten \(C,C' > 0\) existieren mit
\[C\|{v}\|_1 \leq \|{v}\|_2 \leq C'\|{v}\|_1 \]
für alle \(v \in V\)

Lemma 10.11 (Relativ offene oder abgeschlossene Teilmengen): Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(Y \subseteq X\) ein Teilraum. Eine Teilmenge von \(Y\) ist offen genau dann, wenn sie die Form \(O \cap Y\) hat, wobei \(O \subseteq Y\) eine offene Teilmenge in \(X\)  ist. Ebenso ist eine Teilmenge Y abgeschlossen genau dann wenn sie die Form \(A \cap Y\) hat, wobei \(A \subseteq X\) eine abgeschlossene Teilmenge ist.

Lemma 10.13: (Supremum von abg und offenen Teilmengen). Für eine abg nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) gilt  \(\sup A = \max A \in A\). Für eine offene nicht-leere von oben beschränkte Teilmenge \(O \subseteq \mathbb{R}\) gilt \(\sup O \notin O\). Dies gilt analog für von unten beschränkte Teilmengen und das Infimum.

Definition 10.14 Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(Y \subseteq X\) eine Teilmenge. Ein Punkt \(x \in Y\) heisst innerer Punkt von Y, falls es ein \(\varepsilon \gt 0\) mit \(B_{\varepsilon}(x) \subseteq Y\) gibt. Die Menge aller inneren Punkte: \[Y^{\circ} = \{x \in Y | \exists \varepsilon \gt 0: B_{\varepsilon}(x) \subseteq Y \}\] wird das Innere von Y genannt. Ein Punkt \(x \in X\) ist ein Randpunkt von Y, falls zu jedem \(\varepsilon \gt 0\) beide Durchschnitte \(B_{\varepsilon}(x) \cap Y\) und \(B_{\varepsilon}(x) \cap (X \setminus Y)\) nichtleer  sind. Die Menge der Randpunkte: \[\partial Y = \{x \in X | B_{\varepsilon}(x) \cap Y \neq \emptyset \neq B_{\varepsilon}(x) \cap (X \setminus Y) \text{ für alle } \varepsilon \gt 0 \}\] wird als der Rand von Y bezeichnet. Der Abschluss einer Menge wird durch \(\overline{Y} = Y \cup \partial Y\) definiert.

Definition 10.16: Sei \((X,d)\) ein metrischer Raum. Ein Punkt \(x_0 \in X\) ist ein Häufungspunkt einer Folge \((x_n)_n\) in \(X\), falls es eine konvergente Teilfolge \((x_{n_k})\) gibt mit \(\lim_{k \to \infty}x_{n_k} = x_0\). Ein Punkt \(x_0 \in X\) ist ein Häufungspunkt einer Teilmenge \(D \subset X\), falls für jedes \(\varepsilon > 0\) der Durchschnitt \(D \cap (B_{\varepsilon}(x_0) \setminus \set{x_0})\) nicht-leer ist. Eine Teilmenge \(D \subset X\) heisst dicht, falls für jedes \(x_0 \in X\) und jedes \(\varepsilon > 0\) der Durchschnitt \( D \cap B_{\varepsilon}(x_0)\) nicht-leer ist.

Definition 10.19 Sei \(X\) ein nicht-leerer metrischer Raum. Wir nennen \(X\) zusammenhängend, falls es keine zwei offene nicht-leere Teilmengen \(O_1, O_2 \subseteq X\) gibt mit  \(X = O_1 \sqcup O_2\). Wir sagen, dass eine Teilmenge \(G \subseteq X\) abgeschloffen ist, falls \(G\) zugleich offen und abgeschlossen ist.

Q: Proposition 10.20 Eine nichtleere Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) ist [...], wenn [...].
A: genau dann zusammenhängend; \(X\) ein Intervall ist

Q: Lemma 10.21 Sei \(X\) ein metrischer Raum und seien \(Y_1, Y_2\) zwei zusammenhängende Teilräume. Falls [...] ist, dann [...].
Bew. Idee?
A: der Schnitt \(Y_1 \cap Y_2\) nicht-leer; ist die Vereinigung \(Y_1 \cup Y_2\) zusammenhängend
Back Extra: Sei \(A \subseteq Y_1 \cup Y_2\) nicht-leer und abgeschloffen. Dann ist \(A \cap Y_{1,2}\) abgeschloffen und einer der beiden Schnitte ist nicht-leer. Da somit \(Y_1 \cap Y_2 \neq \emptyset\) folgt \(A = Y_1 \cup Y_2\).