Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_02

Eine  \(\textbf{Fläche } S \subset \mathbb{R}^3\)  ist eine zweidimensionale Teilmannigfaltigkeit. Wir werden an zwei Arten von Flächen interessiert sein:
1. \(S\) ist der Rand eines kompakten, glatt berandeten Bereichs in \(\mathbb{R}^3\)
2. Der Abschluss von \(S\) ist kompakt und ist eine "glatt berandete Teilmenge" einer weiteren Fläche \(M \supseteq \overline{S}\) 
Beispiele dafür sind:
1. Die Sphäre \(\mathbb{S}^2\) 
2. Die obere Hemisphäre von \(\mathbb{S}^2\)

Q: Warum wird kompaktheit für eine Fläche in \(\mathbb{R}^3\) vorausgesetzt?
A: Damit wir eine endliche offene Überdeckung \(U_1, \ldots, U_L \) haben auf welcher wir die Kartenabblidungen definieren können.

Definition Kartenabblidung (Nach Skript)
Sei \(S\) eine Fläche in \(\mathbb{R}^3\) und \(U_1, \ldots, U_L\) eine offene Überdeckung von \(S\)
So sind Kartenabbildungen Diffeomorphismen \(\Phi_\ell: V_\ell \to U_\ell\) mit
\(\Phi_\ell(V_\ell \cap (\mathbb{R}^2 \times \set{0})) = U_\ell \cap S\) für alle \(\ell = 1, \ldots, L\) 
Zudem wollen wir:
 Für jedes \(\ell\) \(\exists\) eine in \(\mathbb{R}^2\) Jordan-messbare Teilmenge \(K_\ell \subset V_\ell \cap (\mathbb{R}^2 \times \set{0})\), so dass
\(S = \bigsqcup_{\ell=1}^L \Phi_\ell(K_\ell)\)
Hier sind \(K_\ell\) die Karten

Q: Was erlaubt uns die Zerlegung einer Fläche \(S\) in Bilder von Karten?
A: Eine vollständige eindeutige Parametrisierung der Fläche

Q: Flächeninhalt einer Fläche \(S \subseteq \mathbb{R}^3\)
A: \(\int_S d A = \sum_{\ell=1}^L \int_{K_\ell} ||\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell|| d s d t\)
mit \(\Phi_\ell\) Kartenabbildungen zu den Karten \(K_\ell\)

Definition Orientierung:
Sei \(\Phi_1: V_1 \to U_1, \ldots, \Phi_L\) eine Parametrisierung und seien \(U'_\ell = U_\ell \cap S\) sowie \(V'_\ell = V_\ell \cap \mathbb{R}^2\) für alle \(\ell \in \set{1,\ldots,L}\) die Schnitte mit \(S\) respektive der Koordinatenebene \(\mathbb{R}^2\).
Wir sagen, dass die Parametrisierung \(\Phi_1,\ldots,\Phi_L\) orientiert ist (oder eine Orientierung von \(S\) definiert), falls für alle \(\ell_1,\ell_2 \in \set{1,\ldots,L}\) gilt

\[\det\Big(D \big(\Phi_{\ell_1}^{-1} \circ \Phi_{\ell_2}|_{\Phi_{\ell_2}^{-1}(U'_{\ell_1})}\big) \Big) > 0.\]

Des Weiteren nennen wir \(S\) orientierbar, falls \(S\) eine orientierte Parametrisierung besitzt.
Back Extra: Intuitiv ist eine Fläche orientierbar wenn man für jeden Punkt ein stetig vom Punkt abhängigen Normalenvektor wählen kann.

Q: Beispiel für eine nicht orientierbare Fläche?
A: Das Möbius-Band oder die Klein-Flasche

Q: Eine Charakterisierung von Orientierbarkeit:
Sei \(S \subset \mathbb{R}^3\) eine Fläche.
Ein stetiges normiertes Normalenfeld ist eine [...]
\(S\) ist [...]
A: stetige Abbildung \(n :S \to \mathbb{R}^3\) mit \(n(p) \perp T_p S\) und \(||n(p)|| =1\) für alle \(p \in S\).; genau dann orientierbar falls ein stetiges Normalenfeld existiert
Back Extra: Insbesondere lässt sich so sehr einfach zeigen, dass die Sphäre orientierbar ist da ein stetiges Normalenfeld durch
\(n:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^3, p \mapsto p\)
gegeben werden kann.

Q: Lemma: Existenz einer Aussennormalen
Sei \(B \subset \mathbb{R}^3\) ein [...]. Dann existiert eine orientierte Parametrisierung \(\Phi_1,\ldots,\Phi_L\) des Randes \(S = \partial B\), so dass[...] eine Aussennormale ist. Das heisst, für alle \(\ell \in \set{1,\ldots,L}\) und \((s,t) \in V_\ell\) gilt
[...]
wenn nur \(\varepsilon>0\) genügend klein ist.
A: glatt berandeter Bereich; \(\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell\); \[\Phi_\ell(s,t) + \varepsilon(\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell)(s,t) \not\in B \]\[\Phi_\ell(s,t) - \varepsilon(\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell)(s,t) \in B\]

Definition Flussintegral:
Sei \(S\subset \mathbb{R}^3\) eine orientierbare Fläche, sei \(\Phi_1:V_1 \to U_1,\ldots,\Phi_L:V_L \to U_L\) eine orientierte Parametrisierung von \(S\) und seien \(K_1\subset V_1 \cap \mathbb{R}^2,\ldots,K_L \subset V_L \cap \mathbb{R}^2\) Karten für diese Parametrisierung. Sei \(U \supset S\) eine offene Menge und sei \(f\) ein stetiges Vektorfeld auf \(U\). Dann gilt
\[\int_S f \cdot dn = \sum_{\ell=1}^L \int_{K_\ell} \langle f \circ \Phi_\ell,\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell \rangle d s d t\]

Q: Lemma 14.34 Wohldefiniertheit. Das Flussintegral über eine [...] hängt, abgesehen [...], nicht von der gewählten orientierten Parame-
trisierung ab
A: orientierbare, zusammenhän-
gende Fläche; vom Vorzeichen

Q: skalares Oberflächenintegral:
\[[...]= [...] = [...]\]
A: \int_S f dA; \sum_{\ell=1}^L \int_{\Phi_\ell(K_\ell)} f d A; \sum_{\ell=1}^L \int_{K_\ell} (f \circ \Phi) ||\partial_s \Phi_\ell \times \partial_t \Phi_\ell|| d s d t