Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.7

Definition: Ein Isomorphismus \(f: V \tilde{\rightarrow} W \) zwischen zwei unitären Vektorräumen mit der Eigenschaft
\[\forall v, v' \in V: \langle f(v), f(v') \rangle = \langle v, v' \rangle\] 
heisst unitär oder eine Isometrie.

Proposition: Zwischen beliebigen unitären Vektorräumen derselben endlichen Dimension existiert eine Isometrie. Jede Komposition und Inverse von Isometrien ist eine Isometrie. Der identische Endomorphismus ist eine Isometrie.

Definition: Eine komplexe \(n \times n \) -Matrix \(A\), für welche die Abbildung \[L_{A} : \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C}^{n}\]  für das jeweilige Standard-Skalarprodukt eine Isometrie ist, heisst unitär. Die Menge \(U(n) \) aller unitären \(n \times n \) -Matrizen heisst die unitäre Gruppe vom Grad \(n\) .

Proposition: Für jede komplexe \(n \times n \)-Matrix \(Q\) sind äquivalent:
(a) \(Q\) ist unitär.
(b) Die Spalten von \(Q\) bilden eine Orthonormalbasis von \(\mathbb{C}^{n}\) mit dem Standard-Skalarprodukt.
(c) \(Q^{*}Q=I_{n}\) 
(d) \(QQ^{*}=I_{n}\)

Q: Proposition: Die Menge \(U(n)\) ist eine [...] bezüglich [...].
A: Gruppe; Matrixmultiplikation
Back Extra: Bemerkung: \(U(n)\) ist eine kompakte Teilmenge von \(\text{Mat}_{n \times n} \cong \mathbb{C}^{n^{2}}\)

Q: Satz: (Variante der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung)
Sei V ein unitärer Vektorraum der Dimension \(\geqslant n \). Für alle \(v_{1},...,v_{n} \in V \) existiert [...] in \(V\), so dass für alle \( 1 \leqslant \ell \leqslant n\) gilt
[...]
für geeignete \(a_{k\ell} \in \mathbb{C}\).
A: ein Orthonormalsystem \( (b_{1},...,b_{n}) \); \[v_{\ell} = \sum\limits_{k=1}^{\ell} a_{k\ell}b_{k}\]

Q: Satz: (\(QR\)-Zerlegung) Für jede komplexe \(n \times n\)-Matrix A existiert eine [...] Matrix \(Q\) und eine [...]matrix \(R\), so dass [...] ist.
A: unitäre; komplexe obere Dreiecks; \(A=QR\)