Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 12 Differentialgeom / Kap12_01
Tags: Diffeomorphismus

Q: Satz zur impliziten Funktion, 2. Teil
Seien \(r>0\), \(x_0\in\mathbb{R}^n\), \(y_0\in\mathbb{R}^m\) und \(F:B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) \rightarrow \mathbb{R}^m\) mit den entsprechenden Eigenschaften und sei \(f:U_0\rightarrow V_0\) die stetige Lösungsfunktion.
Angenommen \(F\) ist \(d\)-mal stetig differenzierbar.
Dann...
A: ...ist \(f\) ebenso \(d\)-mal stetig differenzierbar.
Die Ableitung von \(f\) bei \(x\in U_0\) ist gegeben durch
\(D_xf=-((\boldsymbol{\partial}_yF)(x,f(x)))^{-1}(\boldsymbol{\partial}_xF)(x,f(x))\)
Wobei \(\boldsymbol{\partial}_xF(x,y) = (\partial_{xj}F_i(x,y))_{ij}\in Mat_{m,n}(\mathbb{R})\) oder \(\boldsymbol{\partial}_xF(x,y) = D_x(F(\cdot,y))\)

Q: Seien \(U,V\subseteq\mathbb{R}^n\) offen.
Was ist ein Diffeomorphismus? Welche Arten gibt es?
A: Eine bijektive, glatte Funktion \(f:U\rightarrow V\) mit glatter Inversen \(f^{-1}:V\rightarrow U\) heisst ein glatter Diffeomorphismus.
Sind \(f\) und \(f^{-1}\) jeweils nur \(d\)-mal stetig differenzierbar ist es ein \(C^d\)-Diffeomorphismus.

Q: Was gilt für eine glatte Funktion bei einem regulären Punkt in Bezug auf eine lokale offene Teilmenge im Bild?
A: Sie ist dort einen Diffeomorphismus.

Q: Kriterium für Diffeomorphie
Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und \(f:U\rightarrow \mathbb{R}^n\).
Welche Bedingungen an \(f\) und \(U\) müssen erfüllt sein, so dass \(f:U\rightarrow V\) ein \(C^d\)-Diffeomorphismus ist?
A: \(f\) muss \(d\)-mal stetig differenzierbar und injektiv sein und für jeden Punkt \(x\in U\) muss \(D_xf\) invertierbar sein.

Q: Wie ist die Polarkoordinatenabbildung definiert und in welcher Gruppe von Funktionen gehört sie?
A: \(f:(0,\infty)\times (-\pi,\pi) \rightarrow \mathbb{R}^2\backslash ((-\infty, 0] \times \{0\})\)
\((r,\varphi) \mapsto \begin{pmatrix}r\cos\varphi \\ r\sin\varphi\end{pmatrix}\)
Ist ein Diffeomorphismus

Q: Wie ist die Zylinderkoordinatenabbildung definiert und in welcher Gruppe von Funktionen gehört sie?
A: \(f:(0,\infty)\times (-\pi,\pi) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3\backslash ((-\infty, 0] \times \{0\} \times \mathbb{R})\)
\((r,\varphi,z) \mapsto \begin{pmatrix}r\cos\varphi \\ r\sin\varphi \\ z\end{pmatrix}\)
Ist ein Diffeomorphismus

Q: Wie ist die Kugelkoordinatenabbildung definiert und in welche Gruppe von Funktionen gehört sie?
A: \(f:(0,\infty)\times (0,\pi)\times (-\pi,\pi) \rightarrow \mathbb{R}^3\backslash ((-\infty, 0] \times \{0\}\times \mathbb{R})\)
\((r,\theta,\varphi) \mapsto \begin{pmatrix}r\sin\theta\cos\varphi \\ r\sin\theta\sin\varphi \\ r\cos\theta\end{pmatrix}\)
Ist ein Diffeomorphismus

Q: Satz zur impliziten Funktion, 1. Teil
Sei \(r>0\) ein Radius und seien \(x_0\in\mathbb{R}^n\), \(y_0\in\mathbb{R}^m\) Punkte.
Wir betrachten die offene Teilmenge in \(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m\) \[B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m\mid \parallel x-x_0\parallel_2 < r \wedge \parallel y-y_0\parallel _2 < r\}\]
Sei \(F:B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) \rightarrow \mathbb{R}^m\) eine stetige Funktion, die die entsprechenden Bedingungen erfüllt. Dann...
A: ...existiert eine stetige Funktion \(f\) mit möglicherweise kleinerem Definitionsbereich, so dass \(F(x,y)=0\) gdw. \(y=f(x)\). Insbesondere ist \(f(x_0)=\) \(y_0\).
Genauer: Dann existiert ein offener Ball \(U_0 = B_\alpha (x_0)\) und ein offener Ball \(V_0 = B_\beta (y_0)\) mit \(\alpha ,\beta\in\) \((0,r)\) und eine stetige Funktion \(f:U_0\rightarrow V_0\), so dass für alle \((x,y)\in U_0\times V_0\) die Gleichung \(F(x,y)=0\) genau dann gilt, wenn \(y=f(x)\) gilt.

Q: Satz zur inversen Abbildung
Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und \(f:U\rightarrow \mathbb{R}^n\). Wann existiert bei \(x_0\) lokal die Inversfunktion?
Was wissen wir über die Diffbarkeit der Inversen? Was gilt für die Jacobi-Matrix der Inversen?
A: Wenn \(f\) eine \(d\)-mal stetig differenzierbare Funktion und \(x_0\in U\) ein regulärer Punkt von \(f\) ist.
Weiters gilt, \(f^{-1}\) ist ebenso \(d\)-mal stetig differenzierbar und \(D_y(f^{-1}) = (D_xf)^{-1}\)
für alle \(x\in U_0\) und \(y=f(x)\in V_0\)

Satz zur impliziten Funktion, 1. Teil
Sei \(r>0\) ein Radius und seien \(x_0\in\mathbb{R}^n\), \(y_0\in\mathbb{R}^m\) Punkte.
Wir betrachten die offene Teilmenge in \(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m\) \[B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^m\mid \parallel x-x_0\parallel_2 < r \wedge \parallel y-y_0\parallel _2 < r\}\]
Sei \(F:B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) \rightarrow \mathbb{R}^m\). Welche Bedingungen muss \(F\) erfüllen, damit eine lokale Lösungsfunktion existiert:
- \(F\) ist stetig.
- \(F(x_0,y_0) =\) \(0\).
- Die partiellen Ableitungen \(\partial_{y_k}F:B_r^{\mathbb{R}^n}(x_0)\times B_r^{\mathbb{R}^m}(y_0) \rightarrow \mathbb{R}^m\) existieren für alle \(k\in \{1,...,m\}\) und sind stetig.
- Die totale Ableitung \(A\) bei \(y_0\) der Abbildung \(y\in B_r(y_0)\mapsto F(x_0,y)\) ist invertierbar, das heisst, die Matrix \(A =\) \( (\partial_{y_k}F_j(x_0,y_0))_{j,k}\) hat nicht verschwindende Determinante.