Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.8

Q: Definition orthogonales Komplement
A: Das orthogonale Komplement einer Teilmenge \(S \subset V\) ist die Teilmenge
\[S^{\perp} := \{v \in V \: \vert \: v \perp S\} \]

Q: Proposition: Das orthogonale Komplement einer Teilmenge \(S \subset V \backslash \{0\} \) ist [...].
A: ein Unterraum

Beispiel: Es gilt  \( \{0\}^{\perp} \)  =  \(\emptyset^{\perp} \)  =  \(V\)  und  \(V^{\perp} \)  =  \( \{0\} \) .

Proposition:
- Für jede Teilmenge \(S \subset V\) gilt \(S \subset\) \( (S^{\perp})^{\perp} \) .
- Für je zwei Teilmengen \(S \subset T \subset V\) gilt  \( S^{\perp} \supset T^{\perp} \) .
- Für jeden Unterraum \(U \subset V\) gilt \(U \cap U^{\perp}\) =  \( \{0\} \) .
- Für jede Teilmenge \(S \subset V\) gilt \(S^{\perp}\) =  \( \langle S \rangle^{\perp} \) .

Q: Proposition: Sei \( (b_1, \ldots, b_n) \) eine Orthonormalbasis eines Unterraums \(U\) von \(V\), und sei \(v \in V\). Für jeden Vektor \(u \in U\) sind äquivalent:
- \(u\) = [...].
- [...].
- \(\Vert v - u \Vert\) = [...].
A: \( \sum_{i=1}^n \langle b_i, v \rangle \cdot b_i \); \(v - u \in U^{\perp} \); \(\text {min}\{ \Vert v - u' \Vert : u' \in U \} \)

Q: Folge: Für jeden endlich-dimensionalen Unterraum \(U \subset V\) gilt \(V\) = [...] und somit [...]. Dies gilt insbesondere dann, wenn bereits \(\text{dim}(V) < \infty\) ist.
A: \(U \oplus U^{\perp}\); \(U^{\perp} \stackrel{\sim}{\rightarrow} V/U\)
Back Extra: Vorsicht: Für einen unendlich-dimensionalen Unterraum \(U\) kann \(U \oplus U^{\perp}\) ein echter Unterraum von \(V\) sein.

Q: Definition orthogonale Projektion
A: Die Abbildung \(\pi_U: V \rightarrow U\), die \(v \in V\) auf das \(u \in U\) mit \(u = \sum_{i=1}^n \langle b_i, v \rangle \cdot b_i\) für \(v \in V\) und \(\forall i: b_i \in B \), wobei \(B\) eine Orthonormalbasis von \(U\) ist, abbildet, heisst die orthogonale Projektion von \(V\) auf \(U\).

Proposition: Sei \(U \subset V\) ein Unterraum mit \(V = U \oplus U^{\perp}\). Dann gilt:
- Jede Orthonormalbasis von \(U\) zusammen mit jeder Orthonormalbasis von \(U^{\perp}\) bildet eine Orthonormalbasis von \(V\).
-  \(\text{dim}(V) \) =  \(\text{dim}(U) + \text{dim}(U^{\perp})\).
-  \(U\)  =  \((U^{\perp})^{\perp}\).
-  \(U = V\) genau dann, wenn  \(U^{\perp} = 0\) ist.