Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.06

Q: Definition:
Für jede natürliche Zahl \(r\) besteht eine \(r\)-te symmetrische, bzw. alternierende, Potenz von \(V\) über \(K\) aus einer \(K\)-Vektorraum \(\tilde{V}\) und einer symmetrischen, bzw. alternierenden, multilinearen Abbildung \(\kappa : V^r \rightarrow \tilde{V}\) mit der [...]:
Für jeden \(K\)-Vektorraum \(W\) und jede symmetrische, bzw alternierende, multilineare Abbildung \(\varphi : V^r \rightarrow W\) existiert genau [...] \(\overline{\varphi} : \tilde{V} \rightarrow W\) mit \(\overline{\varphi} \circ \kappa = \varphi\) das heisst, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
A: universellen Eigenschaft; eine lineare Abbildung

Q: Eine symmetrische, bzw. alternierende, Potenz ist eindeutig bis auf [...], mit anderen Worten: Ist sowohl \( (\tilde{V}, \kappa ) \) wie \( (\tilde{V}', \kappa ') \) eine solche Potenz von \(V\), so existiert ein [...] \(i : \tilde{V} \tilde{\rightarrow} \tilde{V}' \) mit \(i \circ \kappa = \kappa ' \), das heisst, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
A: eindeutige Isomorphie; eindeutiger Isomorphismus

Q: Eine symmetrische, bzw. alternierende, Potenz existiert [...].
A: immer

Q: Wir schreiben auch:
- [...]: \[V^r \rightarrow S^r_KV, \space (v_1, \dotsc , v_r) \mapsto v_1 \dots v_r\]
- [...]: \[V^r \rightarrow \Lambda^r_KV, \space (v_1, \dotsc, v_r) \mapsto v_1 \wedge \dotsc , \wedge v_r\]
A: symmetrische; alternierende

Q: Die Multilinearität und Symmetrie der symmetrischen / alternierenden Abbildungen induzieren gewisse Rechenregeln (hier für \(r = 2\) ) für \(\forall v,w,w' \in V \space \forall \lambda \in K:\)
[...]
[...]
A: \[v \cdot (w \space|\space w') = v \cdot w \space|\space v \cdot w \quad \quad v \cdot \lambda w = \lambda(v \cdot w) \quad \quad w \cdot v = v \cdot w\]; \[v \wedge (w + w') = v \wedge w + v \wedge w' \quad \quad v \wedge \lambda w = \lambda (v \wedge w) \quad \quad v \wedge v = 0\]

Q: Es gilt
\(V^{\otimes 0} = S^0V = \Lambda ^0V =\) [...]
\(V^{\otimes 1} = S^1V = \Lambda ^1V = \) [...]
A: \(K\); \(V\)

Q: Sei \(B\) eine Basis von \(V\), versehen mit einer [...]. Dann bilden die Elemente
- \(b_1 \dots b_r \quad \quad\) für alle \(b_i \in B\) mit \(b_1 \preceq \dotsc \preceq b_r\) eine Basis von \(S^r_KV\)
- \(b_1 \wedge \dotsc \wedge b_r\) für alle \(b_i \in B\) mit \(b_1 \preceq \dotsc \preceq b_r\) eine Basis von \(\Lambda^r_KV\)
Insbesondere gilt
\[dim_KS^r_KV = \binom{dim_K(V) + r - 1}{r}\]
\[dim_K\Lambda^r_KV = \binom{dim_K(V)}{r}\]
A: Totalordnung \(\preceq\) bzw. \(\prec\)

Q: Für alle \(r > dim_K(V)\) gilt \( \Lambda^r_KV = \) [...]
Für \(r = dim_K(V)\) gilt \(dim_K\Lambda^r_KV =\) [...]
A: \(0\); \(1\)

Q: (Adjunktionsformel)
Es existieren eindeutige Isomorphismen
[...]
[...]
A: \[Hom_K(S^r_KV,W) \tilde{\longrightarrow} Sym^r_K(V,W), \quad f \mapsto ((v_1, \dotsc, v_r) \mapsto f(v_1 \cdots v_r))\]; \[Hom_K(\Lambda^r_KV,W) \tilde{\longrightarrow} Alt^r_K(V,W), \quad f\mapsto ((v_1,\dotsc, v_r) \mapsto f(v_1 \wedge \dotsc \wedge v_r))\]

Q: (Funktorialität)
Zu jeder linearen Abbildung \(f : V \rightarrow V'\) existieren [...] Abbildungen
\(S^rf : S^r_KV \rightarrow S^r_KV' \quad \) mit [...]
\(\Lambda^rf : \Lambda^r_KV \rightarrow \Lambda^r_KV' \quad\) mit [...]
A: eindeutige lineare; \(\quad \quad v_1 \cdots v_r \mapsto f(v_1) \cdots f(v_r)\); \(\quad v_1 \wedge \dotsc \wedge v_r \mapsto f(v_1) \wedge \dotsc \wedge f(v_r)\)

Für alle linearen Abbildungen \(V \overset{f}\longrightarrow V' \overset{g}\longrightarrow V''\) gilt
- \(S^rid_V = \) \(id_{S^rV}\) und \(\Lambda^rid_V = \) \(id_{\Lambda^rV}\)
- Ist \(f = 0\), so ist auch \(S^rf = 0\) und \(\Lambda^rf = 0\)
- \(S^rg \circ S^rf = \) \(S^r(g \circ f)\) und \(\Lambda^rg \circ \Lambda^rf = \) \(\Lambda^r(g \circ f)\)
- Ist \(f\) ein Isomorphismus mit Inversem \(g\), so ist \(S^rf\) bzw. \(\Lambda^rf\) ein Isomorphismus mit Inversem \(S^rg\) bzw. \(\Lambda^rg\).

Q: Für jeden Endomorphismus \(f\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) der Dimension \(n < \infty\) ist die Abbildung
\[\Lambda^nf : \Lambda^n_KV \rightarrow \Lambda^n_KV\]
gleich der Multiplikation mit [...].
A: \(det(f)\)
Back Extra: (Die Determinante kann alternativ und basisfrei konstruiert werden.)