Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.11

Satz: (Kriterien für Positiv-Definitheit)
Für jede hermitesche \(n \times n\)-Matrix \(A = (a_{k\ell})_{k,\ell=1, \ldots, n}\) sind äquivalent:
(a) Die Matrix \(A\) ist positiv definit.
(b) Alle Eigenwerte von \(A\) sind positiv.
(c) Es existiert eine invertierbare Matrix \(B\) mit \(A = B^{\ast}B\).
(d) Es existiert eine invertierbare obere Dreiecksmatrix \(R\) mit \(A = R^{\ast}R\). (Cholesky-Zerlegung)
(e) Es existiert eine invertierbare hermitesche Matrix \(C\) mit \(A = C^{\ast}C = C^2\).
(f) Die Determinante der Matrix \(A_m := (a_{k\ell})_{k,\ell=1, \ldots, m}\) ist positiv für jedes \(1 \leqslant m \leqslant n\). (Hauptminorenkriterium)