Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.11

Q: "Satz": Für jede reelle \(n \times n\)-Matrix \(A\) und jede Teilmenge \(X \subset \mathbb{R}^n\) gilt
\[ \text{vol}_n(L_A(X)) = [...] \]
sofern beide Seiten wohldefiniert sind.
A: \vert \text{det}(A) \vert \cdot \text{vol}_n(X),

Q: "Folge": Das Volumen des von beliebigen \(v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{R}^n\) aufgespannten Parallelotops (oder Parallelepipeds oder Raumspats) ist
\[ [...] = [...].\]
A: \text{vol}_n \left( \left\{ \left. \sum_{i=1}^n t_iv_i \: \right\vert \: \forall i: 0 \leqslant t_i \leqslant 1 \right\} \right); \vert \; \text{det}(v_1, \ldots, v_n) \vert

Q: "Proposition-Definition": Sei \((V, \langle \:, \: \rangle)\) ein euklidischer Vektorraum der Dimension \(n\) und sei \(f: \mathbb{R}^n \stackrel{\sim}{\rightarrow} V\) eine Isometrie (für das Standardskalarprodukt auf \(\mathbb{R}^n\)). Dann ist für jede Teilmenge \(X \subset V\) das Volumen
\[\text{vol}_n(X) := [...] \]
unabhängig von [...], sofern es existiert.
A: \text{vol}_n(f^{-1}(X)); \(f\)

Q: Definition Gram'sche Determinante
A: Sei \((V, \langle \:, \: \rangle)\) ein beliebiger euklidischer Vektorraum. Die Gram'sche Determinante von \(v_1, \ldots, v_m \in V\) ist gegeben durch:
\[ G := \text{det}((\langle v_i, v_j \rangle)_{i,j=1, \ldots m}) \in \mathbb{R}. \]

"Satz": Sei \((V, \langle \:, \: \rangle)\) ein beliebiger euklidischer Vektorraum und \(v_1, \ldots, v_m \in V\). Sei \(G = det(\langle v_i, v_j \rangle)_{i,j=1, \ldots, m}\) die Gram-sche Determinante. Dann gilt:
- Es gilt stets \(G\) \(\geqslant\) 0.
- Es ist \(G > 0\) genau dann, wenn  \(v_1, \ldots, v_m\) linear unabhängig sind.
- Es gilt: \(  \text{vol}_m \left( \left\{ \left. \sum_{i=1}^m t_iv_i \: \right\vert \: \forall i : 0 \leqslant t_i \leqslant 1 \right\} \right)  =  \sqrt{G} . \)

Q: Beispiel: Sei \((V, \langle \:, \: \rangle)\) ein beliebiger euklidischer Vektorraum und \(v_1, \ldots, v_m \in V\).
Für \(m = 1\) ist das \(m\)-dimensionale Volumen die Länge:
\[ \text{vol}_1(\{ tv_1 \: \vert \: 0 \leqslant t \leqslant 1 \}) = [...]\]
Für \(m = 2\) ist es der Flächeninhalt, zum Beispiel gilt für alle \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(v_1 := (1, 0, a)^T\) und \(v_2 := (0, 1, b)^T\):
\[ \text{vol}_2(\{ \begin{pmatrix} s \\ t \\ as + bt \end{pmatrix} \: \vert \: s, t \in [0, 1] \}) = [...] \]
A: \sqrt{\langle v_1, v_1 \rangle} = \vert v_1 \vert.; \sqrt{1 + a^2 + b^2}.