Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_05

Q: Bedingungen für den Satz von Fubini:
Seien \[X \subset \mathbb{R}^n\] und \[Y \subset \mathbb{R}^m\] zwei [...] und sei \[f:X\times Y\rightarrow\mathbb{R}\] eine [...].
A: abgeschlossene Quader; Riemann-integrierbare Funktion

Q: Satz von Fubini:
Seien \(X\),\(Y\) und \(f\) wie in den Bedingungen für den Satz. Dann existiert das Parameterintegral [...] für fast alle [...] und es gilt: [...]
A: \[x\in X\mapsto\int_Y f(x,y)dvol(y)\]; \(x\in X\); \[\int_{X\times Y}f(x,y)dvol((x,y)) =\int_X \left[\int_Y f(x,y)dvol(y)\right] dvol(x).\]

Q: Fubini für Bereiche zwischen Graphen:
Sei \(D\subseteq\mathbb{R}^{n-1}\) eine [...] Menge, seien \(\varphi_-,\varphi_+:D\rightarrow\mathbb{R}\) [...] mit \(\varphi_-\leq\varphi_+\) und sei \(B\subseteq\mathbb{R}^n\) die Jordan-messbare Teilmenge \[B= { (x,y)\in D\times\mathbb{R}\ |\ \varphi_-(x)\leq y\leq\varphi_+(x)}.\]
Für eine Riemann-integrierbare Funktion \(f\) auf \(B\) gilt:
\[\int_B f(x,y)dvol((x,y)) = [...].\]
A: Jordan-messbare; beschränkt und stetig; \int_D\int_{\varphi_-(x)}^{\varphi_+(x)}f(x,y)dydvol(x)

Q: Prinzip von Cavalieri:
Sei \(B\subseteq[a,b]\times\mathbb{R}^{n-1}\) [...] und definiere die Jordan-messbare Menge \[B_x=\{y\in\mathbb{R}^{n-1}\ |\ (x,y)\in B\}. \] Dann ist
\[vol(B)=[...]\]
Dies folgt direkt aus dem Satz von Fubini mit \(f=[...]\)
A: beschränkt und Jordan-messbar; \int_a^b vol(B_x)dx; \mathbb{1}_B