Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.8

Q: Proposition: Seien \(V\) und \(W\) unitäre Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung, sowie \(f^{\ast}\) die Adjungierte zu \(f\). Seien \(B\) eine geordnete Orthonormalbasis von \(V\) und \(B'\) eine geordnete Orthonormalbasis von \(W\). Dann gilt:
\[ [...] = [...] \]
A: {}_B[f^{\ast}]_{B'}; {}_{B'}[f]_B^{\ast}.

Q: Proposition: Für jede [...] ist die Adjungierte der linearen Abbildung [...] die lineare Abbildung [...].
A: komplexe \(m \times n\)-Matrix \(A\); \(L_A: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m\); \(L_{A^{\ast} }: \mathbb{C}^m \rightarrow \mathbb{C}^n\)

Q: Beispiel: Die Abbildung \(L_A: \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^n\) ist [...] genau dann, wenn [...] ist.
A: selbstadjungiert; \(A\) selbstadjungiert, also hermitesch,

Proposition: Für alle linearen Abbildungen \(f, g\) unitärer Vektorräume gilt, soweit sinnvoll:
(a) \((g \circ f)^{\ast}\) \(=\)  \(f^{\ast} \circ g^{\ast}\) ,
(b) \((f + g)^{\ast}\) \(=\)  \(f^{\ast} + g^{\ast}\),
(c) \((cf)^{\ast}\) \(=\)  \(\overline{c}f^{\ast} \) für alle \(c \in \mathbb{C}\).