Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.10

Q: Definition orthogonaler Isomorphismus / Isometrie
A: Ein Isomorphismus \(f: V \stackrel{\sim}{\rightarrow} W\) zwischen zwei euklidischen Vektorräumen \((V, \langle \:, \: \rangle_V)\) und \((W, \langle \:, \: \rangle_W)\) mit der Eigenschaft
\[\forall v, v' \in V: \langle f(v), f(v') \rangle_W = \langle v, v' \rangle_V\]
heisst orthogonal oder Isometrie.

Q: Bedeutung: Eine Isometrie erhält [...].
A: alle Abstände und Winkel

Q: Proposition: Zwischen beliebigen euklidischen Vektorräumen mit derselben endlichen (!) Dimension existiert [...]. Jede [...] ist eine Isometrie. [...] ist eine Isometrie.
A: eine Isometrie; Komposition von Isometrien; Der identische Endomorphismus

Q: Definition orthogonale Matrix
A: Eine reelle \(n \times n\)-Matrix \(A\), für welche die Abbildung \(L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) für das jeweilige Standardskalarprodukt eine Isometrie ist, heisst orthogonal.

Q: Definition orthogonale Gruppe
A: Die Menge \(O(n) = O_n(\mathbb{R})\) aller orthogonalen \(n \times n\)-Matrizen heisst die orthogonale Gruppe vom Grad \(n\).

Q: Proposition: Die Menge \(O(n)\) ist [...].
A: eine Gruppe bezüglich Matrixmultiplikation

Q: Bemerkung: Die \(O(n)\) ist eine [...] Teilmenge von \(\text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{R}) \cong \mathbb{R}^{n^2}\). Denn \(Q^TQ = I_n\) ist eine abgeschlossene Bedingung und \(O(n)\) ist beschränkt, da alle Koeffizienten der Matrizen im Betrag < 1 sind.
A: kompakte

Q: Satz: (Variante der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum der Dimension \(\geqslant n\). Für alle \(v_1, \ldots, v_n \in V\) existiert [...], so dass gilt:
\[ \forall 1 \leqslant j \leqslant n: v_j = [...] \]
A: ein (nicht eindeutiges) Orthonormalsystem \((b_1, \ldots, b_n)\) in \(V\); \sum_{i=1}^j a_{ij}b_i \; \; \text{für geeignete} \; \; a_{ij} \in \mathbb{R}.
Back Extra: Im Unterschied zur herkömmlichen Gram-Schmidt-Orthogonalisierung müssen die Koeffienten \(a_{jj} \in \mathbb{R}\) nicht mehr > 0 sein.

Q: Satz: (QR-Zerlegung) Für jede reelle \(n \times n\)-Matrix \(A\) existiert [...] , so dass [...].
A: eine orthogonale Matrix \(Q\) und eine reelle obere Dreiecksmatrix \(R\); \(A = QR\)

Q: Lemma: Für jede orthogonale Matrix \(Q\) gilt \(\text{det}(Q)\) = [...].
A: \(\pm 1\)

Proposition: Für jede reelle \(n \times n\)-Matrix \(Q\) sind äquivalent:
- \(Q\) ist orthogonal.
- Die Spalten von \(Q\) bilden  eine Orthonormalbasis von \(\mathbb{R}^n\) mit dem Standardskalarprodukt.
- \(Q^TQ\) = \(I_n\).
- \(QQ^T\) = \(I_n\).
- \(Q^T = Q^{-1}\)