Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.2

Q: Definition Darstellungsmatrix einer Sesquilinearform
A: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n)\) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \(V\).
Die Darstellungsmatrix einer Sesquilinearform \(\gamma\) auf \(V\) bezüglich \(B\) ist die \(n \times n\)-Matrix
\[[\gamma]_B := (\gamma(v_k, v_{\ell}))_{k, \ell = 1, \ldots, n}.\]

Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n)\) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \(V\). Für jede komplexe \(n \times n\)-Matrix \(A\) existiert genau eine Sesquilinearform \(\gamma\) auf \(V\) mit \([\gamma]_B\) = \(A\).

Q: Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n)\) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \(V\). Eine Sesquilinearform auf \(V\) ist [...] genau dann, wenn [...] ist.
A: hermitesch; ihre Darstellungsmatrix bezüglich \(B\) hermitesch

Q: Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n)\) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \(V\).
Die Darstellungsmatrix einer Sesquilinearform \(\gamma\) auf \(V\) bezüglich jeder weiteren geordneten Basis \(B'\) von \(V\) ist
\[ [\gamma]_{B'} = [...]. \]
A: {}_B[\text{id}_V]_{B'}^{\ast} \cdot [\gamma]_B \cdot {}_B[\text{id}_V]_{B'}