Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_03

Q: Def. Divergenz (3-dim.)
Sei \(U \subset \mathbb{R}^3\) eine offene Menge und sei \(f: U \to \mathbb{R}^3\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld.
Wie ist die Divergenz von \(f\) bei \(p \in U\) definiert?
A: \[\text{div}(f)(p) = \lim_{h \to 0} \tfrac{1}{8h^3} \int_{\partial B_h^\infty(p)} f \cdot \text{d}\textbf{n}\]
(Falls der Grenzwert existiert.)

Q: Erste Version Divergenzsatz (3-dim.)
Sei \(f:U \to \mathbb{R}^3\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge \(U\subseteq \mathbb{R}^3\). Dann existiert die Divergenz div(\(f\)) auf ganz \(U\) und ist durch
\[\text{div}(f) = [...]\]
gegeben. Sei weiter \(Q\subseteq \mathbb{R}^2\) ein abgeschlossenes Rechteck und sei \(\varphi:Q \to [z_0,\infty)\) eine stetig differenzierbare Funktion, so dass der abgeschlossene Bereich unter dem Graphen von \(\varphi\)
\[B = [...]\]
in \(U\) liegt. Dann gilt:
\[\int_B \text{div}(f)\, \text{dvol} = [...]\]
A: \partial_1f_1 + \partial_2 f_2 + \partial_3 f_3; \{(x,y,z)^t \in \mathbb{R}^3\, \vert\, (x,y) \in Q,\ z_0 \leq z \leq \varphi(x,y)\}; \int_{\partial B } f \cdot \text{d}\textbf{n}
Back Extra: Dabei ist \(\int_{\partial B } f \cdot \text{d}\textbf{n}\) das Flussintegral bezüglich der Aussennormalen.

Q: Satz von Gauss
Sei \(B\) ein [...] Bereich und \(f\) ein [...] Vektorfeld definiert auf einer offenen Obermenge von \(B\). Dann gilt:
\[ [...]\]
A: kompakter, glatt berandeter; stetig differenzierbares; \int_B \text{div}(f) \,\text{dvol} = \int_{\partial B } f \cdot \text{d}\textbf{n}
Back Extra: Dabei ist \(\int_{\partial B } f \cdot \text{d}\textbf{n}\) das Flussintegral bezüglich der Aussennormalen.