Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 10 Metrische Räume / Kap10_04

Definition 10.46 Sei \(X\) ein metrischer Raum. Wir sagen, dass X folgenkompakt ist, falls jede Folge in \(X\) eine komvergente Teilfolge mit GW in X besitzt. Ein Teilraum \(K \subseteq X\) ist folgenkompakt, falls er als eigenständiger metrischer Raum folgenkompakt ist.

Q: Definition 10.46 Eine Teilmenge \(B \subseteq X\) ist [...], falls es [...].
A: beschränkt; ein Punkt \(x_0 \in X\) und einen Radius \(R \gt 0\) gibt, so dass \(B\) im Ball \(B_R(x_0)\) enthalten ist

Q: Lemma 10.47 Eine [...] Teilmenge eines nicht-leeren metrischen Raumes ist [...].
A: folgenkompakte; abgeschlossen und beschränkt

Definition 10.48 Sei \(X\) ein metrischer Raum.
- Eine offene Überdeckung \(\mathcal{O}\) von \(X\) ist eine Kollektion offener Teilmengen von \(X\), für die \(X = \bigcup_{O \in \mathcal{O} } O\) gilt. Eine (endliche) Teilüberdeckung einer offenen Überdeckung \(\mathcal{O}\) ist eine (endliche) Teilmenge \(\mathcal{O}' \subseteq \mathcal{O}\), welche selbst eine offene Überdeckung bildet.
- Der Raum \(X\) ist Überdeckungskompakt, falls für jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung existiert.
- Wir sagen, dass \(X\) das Schachtelungsprinzip erfüllt, falls für jede Kollektion \(\mathcal{A}\) abgeschlossener Teilmengen von \(X\) mit \(A_1 \cap \ldots \cap A_n \neq \emptyset \) für alle \(n \in \mathbb{N}\) und A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{A} auch \(\bigcap_{A \in \mathcal{A} } \neq \emptyset\) gilt.

Q: Definition 10.51 Sei \(X\) ein metrischer Raum und \(\mathcal{O}\) eine offene Überdeckung von \(X\). Wir sagen, dass eine Zahl \(r \gt 0\) eine [...] ist, falls es für [...] gibt mit [...].
A: Lebesque-Zahl für \(\mathcal{O}\); jedes \(x \in X\) eine offene Menge \(O \in \mathcal{O}\); \(B_r(x) \subseteq O\)

Definition 10.52 Sei \(X\) ein metrischer Raum. Wir sagen, dass \(X\) total beschränkt ist, falls es für jedes \(\varepsilon \gt 0\) endlich viele \(x_1, \ldots, x_n \in X\) gibt \(X = \bigcup_{j=1}^n B_{\varepsilon}(x_j)\). Beispielsweise ist [0,1] total beschränkt und \(\mathbb{R}\) nicht total beschränkt

Satz 10.53 Sei \(X\) ein metrischer Raum. Dann sind folgende acht Eigenschaften äquivalent. Wenn diese erfüllt sind, so nennen wir \(X\) einen kompakten mertischen Raum:
1. Jede unendliche Teilmengen von \(X\) besitzt einen Häufungspunkt.
2. \(X\) ist folgenkompakt (d.h. jede Folge in \(X\) hat eine in \(X\) konvergente Teilfolge.
3. Jede stetige, reellewertige Funktion auf \(X\) ist beschränkt.
4. Jede stetige, reellwertige Funktion auf \(X\) nimmt ein Maximum und ein Minimum an.
5. Jede offene Überdeckung von \(X\) besitzt eine Lebesgue-Zahl und \(X\) ist total beschränkt.
6. \(X\) ist überdeckungskompakt.
7. \(X\) erfüllt das Schachtelungsprinzip.
8. \(X\) ist total beschränkt und vollständig.

Q: Proposition 10.54 Sei \(X\) ein [...]. Dann hat jede [...] eine [...].
A: folgenkompakter metrischer Raum; offene Überdeckung; Lebesgue-Zahl

Q: Satz 10.57 (Heine-Borel) Eine Teilmenge \(K \subseteq \mathbb{R}^d\) ist [...], wenn [...]. Insbesondere besitzt [...].
A: genau dann kompakt; sie abgeschlossen und beschränkt ist; jede beschränkte Folge in \(\mathbb{R}^d\) eine konvergente Teilfolge

Q: Satz 10.59 Seien \(X, Y\) metrische Räume und sei \(f: X \rightarrow Y\) eine [...]. Falls [...] ist, so ist [...].
A: stetige Abbildung; \(X\) kompakt; auch \(f(X)\) kompakt

Q: Definition 10.62 Die [...] einer Matrix \(A \in \text{Mat}_{m,n}(\mathbb{R}\) ist durch [...] definiert.
A: Operatornorm; \[\|A\|_{op} = \sup_{x \in \mathbb{R}^n : \|x\|_2 \leq 1} \| Ax \|_2 \]

Q: Lemma 10.63 Seien \(m, n \in \mathbb{N}\). Dann definiert die Operatornorm \(\| \cdot \|_{op}\) in der Tat eine [...] und erfüllt [...] für alle \(x \in \mathbb{R}^n\). Des weiteren gilt [...].
A: Norm auf \(\text{Mat}_{m,n}(\mathbb{R})\); \[\|Ax\|_2 \leq \|A\|_{op} \|x\|_2\]; \[\|AB\|_{op} \leq \|A\|_{op} \|B\|_{op}\]

Q: Proposition 10.64 Seien \(X, Y\) zwei metrische Räume und \(f: X \rightarrow Y\) [...]. [...], so ist [...].
A: eine stetige Funktion; Falls \(X\) kompakt ist; \(f\) gleichmässig stetig

Definition 10.65 Sei \(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) eine beschränkte, reellwertige Funktion auf einem metrischen Raum \(X\). Für \(x \in X\) ist die Oszilllation oder Schwankung von \(f\) bei \(x\) durch \[\omega(f, x) = \lim_{\delta \searrow 0} \omega(f, x, \delta)\] definiert, wobei für \(\delta \gt 0\) \[\omega(f, x, \delta) = \sup f(B_{\delta}(x)) - \inf f(B_{\delta}(x))\].

Proposition 10.66 Sei \(X\) ein kompakter metrischer Raum und sei \(f: X \rightarrow \mathbb{R}\) eine beschränkte Funktion. Angenommen es gibt \(\eta \geq 0\), so dass \( \omega(f, x) \leq \eta\) für alle \(x \in X\). Dann existiert für jedes \(\varepsilon \gt 0 \text{ ein } \delta \gt 0\), so dass \[\forall x \in  : \omega(f, x, \delta) \lt \eta + \varepsilon\] gilt.