Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.07

Q: Bilineare Abbildungen \(\otimes, \cdot, \wedge\)
A: Für alle \(r, s \geqslant 0\) existieren eindeutige bilineare Abbildungen
\[\otimes: V^{\otimes r} \times V^{\otimes s} \to V^{\otimes (r+s)} \text{ mit } (v_1 \otimes \ldots \otimes v_r) \otimes (v_{r+1} \otimes \ldots \otimes v_{r+s}) = v_1 \otimes \ldots \otimes v_{r+s}\]
\[\cdot: S^{r}V \times S^{s}V \to S^{r+s}V \text{ mit } (v_1 \cdots v_r) \cdot (v_{r+1} \cdots v_{r+s}) = v_1 \cdots v_{r+s}\]
\[\wedge: \Lambda^{r}V \times \Lambda^{s}V \to \Lambda^{r+s}V \text{ mit } (v_1 \wedge \ldots \wedge v_r) \wedge (v_{r+1} \wedge \ldots \wedge v_{r+s}) = v_1 \wedge \ldots \wedge v_{r+s}\]

Q: Tensoralgebra, symmetrische Algebra, äussere Algebra (Definition)
A: \[ TV := \boxplus_{r \geqslant 0}V^{\otimes r}, (\xi_r)_{r \geqslant 0} \otimes (\eta_s)_{s \geqslant 0} := \big(\sum_{r=0}^{t} \xi_r \otimes \eta_{t-r} \big)_{t \geqslant 0} \]
\[SV := \boxplus_{r \geqslant 0}S^{r}V, (\xi_r)_{r \geqslant 0} \cdot (\eta_s)_{s \geqslant 0} := \big( \sum_{r=0}^{t} \xi_r \cdot \eta_{t-r}\big)_{t \geqslant 0}\]
\[\Lambda V := \boxplus_{r \geqslant 0} \Lambda^{r}V, (\xi_r)_{r \geqslant 0} \wedge (\eta_s)_{s \geqslant 0} := \big( \sum_{r=0}^{t} \xi_r \wedge \eta_{t-r}\big)_{t \geqslant 0}\]

Q: Mit der Addition des unterliegenden Vektorraums und der angegebenen Multiplikation sowie dem Einselement von \(K = V^{\otimes 0} = S^{0}V = \Lambda^{0}V\) ist \(\otimes, \cdot, \Lambda\) jeweils ein [...].
A: assoziativer unitärer graduierter Ring

Q: Füt \(\text{dim}_KV = 0\) gilt [...] für alle \(r > 0\), und daher [...].
A: \(V^{\otimes r} = S^{r}V = \Lambda^{r}V = 0\); \(TV = SV = \Lambda V = K\)

Q: Sei \(\text{dim}_KV = 1\) mit Basis \(b\). Für alle \(r \geqslant 0\) gilt dann [...] mit Basis \(b^{\otimes r}\) und \(\text{dim}_K(S^{r}V) = 1\) mit Basis \(b^{r}\), und es existieren eindeutige Isomorphismen
\[K[X] \tilde{\to} TV \tilde{\to} SV, \sum_{i \geqslant 0}' a_i X^{i} \mapsto \sum_{i \geqslant 0}' a_i b^{\otimes i} \mapsto \sum_{i \geqslant 0}' a_i b^{i}\]
bzw.
\[K \boxplus Kb \tilde{\to} \Lambda V \text{ mit } b \wedge b = 0\]
A: \(\text{dim}_K(V^{\otimes r}) = 1\)

Q: - Für \(V \neq 0\) ist \(\text{dim}_K(TV) =\) [...]
- Für \(\text{dim}_K(V) < \infty \) ist \(\text{dim}_K(\Lambda V) =\) [...], andernfalls ist \(\text{dim}_K(\Lambda V) = \) [...].
A: \( \text{dim}_K(SV) = \infty\); \(2^{\text{dim}_K(V)}\); \(\infty\)

- Der Ring \(SV\) ist immer kommutativ.
- Für \(\text{dim}_KV \leqslant 1\) sind \(TV\) und \(\Lambda V\) kommutativ.
- Ist \(1 + 1 = 0\) in \(K\), so ist \(\Lambda V\) kommutativ.
- In allen übrigen Fällen ist \(TV\) bzw. \(Lamba V\) nicht kommukativ.

Q: Für alle \(r, s \geqslant 0\) und alle \(\xi \in \Lambda^r V\) und \(\eta \in \Lambda^s V\) gilt
[...]
Insbesondere kommutiert für gerades \(r\) jedes Element von \(\Lambda ^r V \) mit ganz \(\Lambda V\).
A: \[\eta \wedge \xi = (-1)^{rs} \cdot \xi \wedge \eta\]

Q: Ist \(\text{dim}_K(V) < \infty\), so existieren für alle \(r \geqslant 0\) natürliche Isomorphismen
[...]Dabei ist der zweite Isomorphismus ein Spezialfall der [...], und der erste ist charakterisiert durch die Formel
\[\varphi_r (l_1 \wedge \ldots \wedge l_r)(v_1, \ldots, v_r) = \sum_{\sigma \in S_r} sgn(\sigma) \cdot l_1(v_{\sigma 1}) \cdots l_r(v_{\sigma r})\]
A: \[\Lambda^r(V^{\vee}) \xrightarrow[\text{~}]{\varphi_r} \text{Alt}^r(V,K) \xrightarrow[\text{~}]{} (\Lambda^r V)^{\vee}\]; Adjunktionsformel

Q: Für alle \(r, s \geqslant 0\) kommutiert das folgende Diagramm
wobei die untere Abbildung \(\wedge\) definiert ist durch die Formel
\[(\varphi \wedge \psi) (v_1, \ldots, v_{r+s}) := \sum_{\sigma} sgn(\sigma) \cdot \varphi(v_{\sigma 1}, \ldots v_{\sigma r}) \cdot \psi(v_{\sigma (r+1)}, \ldots, v_{\sigma (r+s)})\]
und sich die Summe über alle \(\sigma \in S_{r+s}\) mit [...] erstreckt.
A: \(\sigma 1 < \ldots < \sigma r\) und \(\sigma (r+1) < \ldots < \sigma (r+s)\)