Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_04

Def. 11.28 (Extrema). Sei \(f\) eine reellwertige Funktion auf einer Menge \(X\). Dann sagen wir, dass \(f\) in \(x_{max} \in X\) ein Maximum annimmt, falls \(f(x) \leq f(x_{max})\) für alle \(x \in X \) gilt. 
Die Funktion \(f\) nimmt ein striktes Maximum in \(x_{max} \in X\) an,  falls  \(f(x) < f(x_{max})\) für alle \(x \in X \backslash \{x_{max}\}\) gilt. 
In beiden Fällen bezeichnen wir \(f(x_{max})\) als das Maximum von \(f\).
Analoge Begriffe definiert man für das Minimum. In beiden Fällen sprechen wir von
(globalen) Extremwerten.
   Sei nun \(X \) ein metrischer Raum. Dann sagen wir, dass \(f \) in \(x_{max} \in X \) ein lokales Maximum annimmt, falls  es ein \(\delta > 0\) gibt, so dass \(f(x) \leq f(x_{max})\) für alle \(x \in B_{\delta}(x_{max})\).
Weiter nimmt \(f\) in \(x_{max}\in X\) ein striktes lokales Maximum an, falls   es ein \(\delta > 0\) gibt, so dass \(f(x) < f(x_{max})\) für alle \(x \in B_{\delta}(x_{max})\backslash \{x_{max}\}\) .
In beiden Fällen bezeichnen wir \(f(x_{max})\) als lokales Maximum.
Analoge Begriffe definiert man für das lokale Minimum. In beiden Fällen sprechen wir von
lokalen Extremwerten.

Q: Def. Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und sei \(f : U \to \mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion. Ein Punkt \(x \in U \) heisst kritischer Punkt von \(f\), falls [...]. Ist allgemeiner \(f \) eine differenzierbare Abbildung von \(U\) nach \(\mathbb{R}^m\), so ist \(x \in U \) ein kritischer Punkt, falls [...]
Weiter nennt man \(x \in U \) einen regulären Punkt der Abbilung \(f: U \to \mathbb{R}^m\), falls [...]. Das Bild einer kritsichen Punktes unter f, nennt sich kritischer Wert; Punkte in \(\mathbb{R}^m\) im Komplement der kritischen Werte von \(f \) heissen reguläre Werte.
A: \(D_xf = 0\); \(D_xf\) Rang kleiner als min\((m,n)\) hat.; \(x\) kein kritischer Punkt von \(f \) ist

Def. Sei \(A \in Mat_{n,n}(\mathbb{R})\) eine symmetrische Matrix (also \(A^t = A\)). Dann nennt man die Abbildung
\(Q_A : v \in \mathbb{R}^n \mapsto v^tAv\)
die zu \(A \) assoziierte quadratische Form in \(n \) Variablen. Die quadratische Form \(Q_A\) oder auch die Matrix \(A\) heisst
- positiv definit, falls   \(Q_A(v) > 0\) für alle \(v \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}\) ,
- negativ definit, falls  \(Q_A(v) < 0\) für alle \(v \in \mathbb{R}^n \backslash \{0\}\) ,
- indefinit, falls  \(w_-,w_+ \in \mathbb{R}^n\) existieren mit \(Q_A(w_+) >0\) und \(Q_A(w_-) <0\) , und
- nicht-degeneriert, falls  \(det(A) \neq\) 0 .

Q: Kor. 11.32 Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, \(f : U \to \mathbb{R}\) zweimal stetig differenzierbar , \(x_0 \in U\) ein kritischer Punkt und \(Q(h) = \sum_{i,j = 1}^n \partial_i \partial_jf(x_0) h_ih_j\) die quadratische Form assoziiert zur Hesse-Matrix \(H(x)\) von \(f\) bei \(x_0\). Dann gilt
- Ist \(Q\) positiv definit, [...]
- Ist \(Q\) negativ definit, [...]
- Ist \(Q\) indefinit, [...]
A: so nimmt \(f\) bei \(x_0\) ein striktes lokales Minimum an.; so nimmt \(f\) bei \(x_0\) ein striktes lokales Maximum an.; so hat \(f\) bei \(x_0\) kein lokales Extremum. In diesem Fall spricht man auch von einem Sattelpunkt.

Q: Satz 11.33 (Charakterisierung von Defnitheit) Sei \(A = (a_{ij})_{ij} \in Mat_{n,n}(\mathbb{R})\) eine symmetrische Matrix. Dann gilt
- \(A \) ist genau dann positiv defnit, wenn alle der folgenden Determinanten positiv sind:
[...]
- \(A\) ist genau dann negativ definit, wenn [...]
- Falls \(A\) nicht-degeneriert ist und weder positiv noch negativ definit ist, dann ist \(A\) [...]
A: \(a_{11}\), det\(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\), det \(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\), ... , det(\(A)\).; \(−A\) positiv definit ist, was genau wechselnden Vorzeichen der Determinanten beginnend mit negativen Vorzeichen entspricht.; indefinit.

Q: Proposition 11.29 (Notwendige Bedingung für lokale Extrema). Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, sei \(f : U \to R\) eine Funktion und sei \(x_0 \in U\) ein Punkt. Falls \(f\) in \(x_0\) ein lokales Extremum annimmt und \(f\) in \(x_0\) differenzierbar ist, so gilt [...].
A: \(D_{x_0}f = 0\)