Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.9

Q: Satz: (Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) Für jedes linear unabhängige Tupel \(T = (v_1, \ldots, v_n)\) in \(V\) existiert genau ein Orthonormalsystem \(B = (b_1, \ldots, b_n)\), so dass gilt:
\[ \forall 1 \leqslant j \leqslant n: v_j = [...] \]
Ist \(T\) ausserdem eine Basis von \(V\), so ist \(B\) eine Orthonormalbasis von \(V\).
A: \sum_{i=1}^j a_{ij}b_i \; \; \text{mit} \; \; a_{ij} \in \mathbb{R} \; \; \text{und} \; \; a_{jj} > 0.
Back Extra: Variante: Dasselbe funtkioniert auch mit einer unendlichen Folge linear unabhängiger Vektoren \(T = (v_1, v_2, \ldots)\) und einem unendlichen Orthonormalsystem \(B = (b_1, b_2, \ldots)\).

Q: Bemerkung: Seien \(T = (v_1, \ldots, v_n) \) und \(B = (b_1, \ldots, b_n) \) jeweils eine Basis von \(V\). Die Bedingung
\[ \forall 1 \leqslant j \leqslant n: v_j = \sum_{i=1}^j a_{ij}b_i \; \; \text{mit} \; \; a_{ij} \in \mathbb{R} \; \; \text{und} \; \; a_{jj} > 0. \]
ist äquivalent dazu, dass [...] ist, oder auch zu:
[...]
A: die Basiswechselmatrix \({}_B[\text{id}_V]_T\) eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen > 0; \[ \forall 1 \leqslant j \leqslant n: b_j = \sum_{i=1}^j a'_{ij}v_i \; \; \text{mit} \; \; a'_{ij} \in \mathbb{R} \; \; \text{und} \; \; a'_{jj} > 0. \]

Q: Konstruktion: (Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) Sind \(b_1, \ldots, b_{n-1}\) bereits konstruiert, so setze
\[ \stackrel{\sim}{v}_n := [...] \; \; \text{und} \; \; b_n :=  [...]. \]
A: v_n - \sum_{i=1}^{n-1} \langle b_i, v_n \rangle \cdot b_i; \frac{\stackrel{\sim}{v}_n }{\Vert \stackrel{\sim}{v}_n \Vert }

Q: Folge: Jeder endlich-dimensionale euklidische Vektorraum hat [...].
A: eine Orthonormalbasis

Q: Folge: Ist \(\text{dim}(V) < \infty\), so lässt sich [...] zu [...] erweitern.
A: jede Orthonormalbasis jedes Unterraums \(U\); einer Orthonormalbasis von \(V\)

Q: Satz: (Cholesky-Zerlegung) Für jede [...] Matrix \(A\) existiert [...], so dass \(A\) = [...] ist.
A: positiv definite reelle symmetrische; genau eine reelle obere Dreiecksmatrix \(R\) mit allen Diagonaleinträgen > 0; \(R^TR\)