Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 4 Vektorräume

Q: Definition Vektorraum
A: Ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\), oder kurz ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum, ist ein Tupel \((V, +, \cdot, 0_V) \) bestehend aus einer Menge \(V\) mit zwei Abbildungen
\(+: V \times V \rightarrow V, (v, v') \mapsto v + v' \)
\( \cdot : \mathbb{K} \times V \rightarrow V, (\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot v\)
und einem ausgezeichneten Element \(0_V \in V\), so dass die folgenden Vektorraumaxiome gelten:
- \((V, +, 0_V)\) ist eine abelsche Gruppe.
- \(\forall \lambda \: \in \mathbb{K} \; \forall v, v' \in V: \lambda \cdot (v + v') = \lambda \cdot v + \lambda \cdot v'\) (Linksdistributivität)
- \(\forall \lambda, \lambda' \in \mathbb{K} \; \forall v \: \in V: (\lambda + \lambda') \cdot v = \lambda \cdot v + \lambda' \cdot v\) (Rechtsdistributivität)
- \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K} \; \forall v \: \in V: \lambda \cdot (\mu \cdot v) = (\lambda \cdot \mu) \cdot v \) (Assoziativität)
- \(\forall v \: \in V: 1_\mathbb{K} \cdot v = v\) (Einselement)
Die Elemente von \(V\) nennt man Vektoren.

Q: Die Vektorraumaxiome
A: - \((V, +, 0_V)\) ist eine abelsche Gruppe.
- \(\forall \lambda \: \in \mathbb{K} \; \forall v, v' \in V: \lambda \cdot (v + v') = \lambda \cdot v + \lambda \cdot v'\) (Linksdistributivität)
- \(\forall \lambda, \lambda' \in \mathbb{K} \; \forall v \: \in V: (\lambda + \lambda') \cdot v = \lambda \cdot v + \lambda' \cdot v\) (Rechtsdistributivität)
- \(\forall \lambda, \mu \in \mathbb{K} \; \forall v \: \in V: \lambda \cdot (\mu \cdot v) = (\lambda \cdot \mu) \cdot v \) (Assoziativität)
- \(\forall v \: \in V: 1_\mathbb{K} \cdot v = v\) (Einselement)

Q: Proposition: Für jeden \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) und alle \(v \in V\) und \(\lambda \in \mathbb{K}\) gilt:
- \(0_\mathbb{K} \cdot v \) = [...]
- \(\lambda \cdot v = 0_V\) genau dann, wenn [...] ist.
- \((-1_\mathbb{K}) \cdot v \) = [...]
A: \( \lambda \cdot 0_V = 0_V \); \( \lambda = 0_\mathbb{K} \: \text{oder} \: v = 0_V \); \(-v \)

Q: Fakt: Für jede Menge \(I\) ist die Menge \(\mathbb{K}^I\) aller Abbildungen \(f: I \mapsto \mathbb{K}\) mit [...] und [...] ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum.
A: komponentenweiser Addition; skalarer Multiplikation sowie der Nullabbildung \(x \mapsto 0\) als Nullelement

Q: Definition Unterraum bzw. Teilraum
A: Ein Unterraum oder Teilraum eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\) ist eine Teilmenge \(U \subset V\) mit den Eigenschaften:
- \(U \neq \emptyset\).
- \(\forall u, u' \in U: u + u' \in U\).
- \(\forall \lambda \in \mathbb{K} \; \forall u \in U: \lambda \cdot u \in U\).

Q: Proposition: Eine Teilmenge \(U \subset V\) ist ein Unterraum genau dann, wenn sie [...] bildet.
A: zusammen mit den Restriktionen der Addition und der skalaren Multiplikation von \(V\) selbst einen \(\mathbb{K}\)-Vektorraum
Back Extra: Beispiel: Der Nullraum \(O = \{0_V\}\) und \(V\) selbst sind Unterräume von V.

Q: Beispiel: Für jede \(m \times n\)-Matrix \(A\) über \(\mathbb{K}\) ist [...] ein Unterraum von \(\mathbb{K}^n\) (Spaltenvektoren).
A: die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems  \( \{x \in \mathbb{K} \: \vert \: Ax = 0 \}\)

Q: Beispiel: Sei \(I\) eine Menge. Man identifiziert eine Funktion \(I \leftarrow \mathbb{K}, i \mapsto a_i\) mit dem System ihrer Werte \((a_i)_{i \in I}\). Dann ist die Menge aller Funktionen mit endlichem Träger
[...]
ein Unterraum von \(\mathbb{K}^I\).
A: \[\mathbb{K}^{(I)} := \{ (a_i)_{i \in I} \in \mathbb{K}^I \vert \: a_i = 0 \; \text{für fast alle} \; i \in I \} \]
Back Extra: Im Fall \(I = \mathbb{Z}^{\geqslant 0}\) ist \(\mathbb{K}^I\) der Raum aller unendlichen Folgen in \(\mathbb{K}\), und \(\mathbb{K}^{(I)} \) der Unterraum aller Folgen, die ab irgendeiner Stelle konstant Null werden.

Q: Proposition: Der Durchschnitt jeder nichtleeren Kollektion von Unterräumen von \(V\) ist [...].
A: ein Unterraum von \(V\)

Q: Proposition: Die Vereinigung zweier Unterräume von \(V\) ist ein Unterraum von \(V\) genau dann, wenn [...].
A: einer der beiden Unterräume in dem anderen enthalten ist

Q: Definition Summe von Unterräumen
A: Die Summe jeder Kollektion von Unterräumen \( \{ V_i \vert \: i \in I \}\) von \(V\) ist die Teilmenge
\[ \sum_{i \in I} V_i := \left\{ \sum_{i \in I}' v_i \left\vert \; \begin{matrix} v_i \in V_i & \text{für alle} & i \in I \\ v_i = 0 & \text{für fast alle} & i \in I \end{matrix} \right. \right\} \subset V \]
Die Summe endlich vieler Unterräume \(V_1, \ldots V_n\) schreibt man auch so:
\[ V_1 + \ldots + V_n := \{ v_1 + \ldots + v_n \vert \: \forall i = 1, \ldots, n: v_i \in V_i \} \]

Q: Proposition: Die Summe \(\sum_{i \in I} V_i\) ist [...]. Genauer gilt:
\[\sum_{i \in I} V_i = \bigcap_U U\]
wobei der Durchschnitt über alle Unterräume \(U \subset V\) genommen wird, welche alle \(V_i\) enthalten.
A: der eindeutige kleinste Unterraum von \(V\), welcher alle \(V_i\) enthält

Q: Definition Linearkombination
A: Gegeben seien eine Menge \(I\) sowie Vektoren \(v_i \in V\) für alle \(i \in I\). Jeder Ausdruck der Form
\[\sum_{i \in I}' a_i \cdot v_i\]
mit \(a_i \in \mathbb{K} \) für alle \(i \in I\), und \(a_i = 0\) für fast alle \(i \in I\), heisst eine Linearkombination der Elemente \(v_i\) für \(i \in I\). Eine Linearkombination heisst trivial, wenn alle Koeffizienten \(a_i\) gleich Null sind, andernfalls heisst sie nicht-trivial.
Linearkombinationen einer beliebigen Teilmenge \(S \subset V\) kann man elegant und sparsam hinschreiben mit der Indexmenge \(I := S\) und \(v_s := s\) für alle \(s \in S\).

Q: Definition Erzeugnis
A: Für jede Teilmenge \(S\) eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\) heisst die Menge
\[\langle S \rangle := \left\{ \sum_{s \in S}' a_s \cdot s \left\vert \: \begin{matrix} a_s \in \mathbb{K} & \text{für alle} \: s \in S, \\ a_s = 0 & \text{für fast alle} \: s \in S \end{matrix} \right. \right\} \subset V \]
das Erzeugnis von S. Das Erzeugnis endlich vieler Vektoren kürzt man auch ab durch
\[\langle v_1, \ldots, v_n \rangle := \langle \{v_1, \ldots, v_n \} \rangle\]

Q: Proposition: Das Erzeugnis \(\langle S \rangle\) ist [...]. Genauer gilt
\[\langle S \rangle = \bigcap_U U\]
wobei der Durchschnitt über alle Unterräume \(U \subset V\) genommen wird, welche \(S\) umfassen.
A: der eindeutige kleinste Unterraum von \(V\), welcher die Teilmenge \(S\) umfasst

Q: Beispiel: Das  Erzeugnis der leeren Menge ist [...].
A: der Nullraum; \( \langle \emptyset \rangle = \{0\} \)

Q: Definition Erzeugendensystem
A: Eine Teilmenge \(S \subset V\) mit \(\langle S \rangle = V\) heisst ein Erzeugendensystem von \(V\).
Eine Teilmenge \(S\) ist also ein Erzeugendensystem von \(V\) genau dann, wenn jeder Vektor in \(V\) eine Darstellung als Linearkombination der Elemente von \(S\) besitzt.

Q: Definition endlich erzeugt
A: Ein Vektorraum, der ein endliches Erzeugendensystem besitzt, heiss endlich erzeugt.

Q: Definition Lineare Unabhängigkeit bzw. Lineare Abhängigkeit
A: Eine Teilmenge \(S \subset V\) heisst linear abhängig, wenn Koeffizienten \(a_s \in \mathbb{K}\) für alle \(s \in S\) existieren, so dass \(a_s = 0\) ist für fast alle, aber nicht für alle \(s \in S\), und
\[\sum_{s \in S}' a_s \cdot s = 0\]
Existieren keine solchen \(a_s\), so heisst \(S\) linear unabhängig.
Eine Teilmenge \(S\) ist also genau dann linear unabhängig, wenn der Nullvektor keine nicht-triviale Darstellung als Linearkombination der Elemente von \(S\) besitzt.

Q: Proposition: Für jede Teilmenge \(S \subset V\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- \(S\) ist [...].
- Kein Element von \(S\) ist [...].
- Jeder Vektor in \(V\) besitzt [...].
A: linear unabhängig; eine Linearkombination der übrigen Elemente von \(S\); höchstens eine Darstellung als Linearkombination der Elemente von \(S\)

Q: Beispiel: Die leere Teilmenge \(\emptyset \subset V\) ist immer [...].
A: linear unabhängig

Q: Definition Basis
A: Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von \(V\) heisst eine Basis von \(V\).
Eine Teilmenge \(S\) ist also eine Basis von \(V\) genau dann, wenn jeder Vektor in \(V\) genau eine Darstellung als Linearkombination der Elemente von \(S\) besitzt.

Q: Bemerkung: Eine endliche Basis \(v_1, \ldots v_k\) eines Vektorraums \(V\) liefert ein [...], das heisst, eine Bijektion
[...].
A: Koordinatensystem auf \(V\); \[\mathbb{K}^n \stackrel{\sim}{\longrightarrow} V, (x_1, \ldots, x_k) \mapsto x_1v_1 + \ldots + x_kv_k\]

Q: Satz: Für jede Teilmenge \(S \subset V\) sind die folgenden Aussagen äquivalent:
- \(S\) ist [...] von \(V\).
- \(S\) ist [...] von \(V\).
- \(S\) ist [...] von \(V\).
A: eine Basis; ein minimales Erzeugendensystem; eine maximale linear unabhängige Teilmenge

Q: Satz: Für jedes Erzeugendensystem \(E\) von \(V\) und jede linear unabhängige Teilmenge \(L \subset E\) existiert [...].
A: eine Basis \(B\) von \(V\) mit \(L \subset B \subset E\)

Folgerung:
- Jedes Erzeugendensystem von \(V\) enthält  eine Basis von \(V\) .
- Jede linear unabhängige Teilmenge von \(V\) lässt sich zu  einer Basis von \(V\)  erweitern.
- Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
- Jeder endlich erzeugte Vektorraum besitzt  eine endliche Basis.

Q: Satz: Steinitzscher Austauschsatz
A: Für jede Basis \(B\) von \(V\) und beliebige linear unabhängige Vektoren \(v_1, \ldots, v_n \in V\) existieren paarweise verschiedene \(b_1, \ldots, b_n \in B\), so dass ( \( B \: \diagdown \{b_1, \ldots, b_n\} \) ) \( \cup \: \{v_1, \ldots, v_n \} \) eine Basis von \(V\) ist.

Q: Satz: Je zwei Basen von \(V\) haben dieselbe [...].
A: Kardinalität

Q: Definition Dimension
A: Die Kardinalität einer Basis von \(V\) heisst die Dimension von \(V\), geschrieben \(\text{dim}_{\mathbb{K} } (V) \) oder dim(\(V\)).

Q: Beispiel: Der Nullraum hat die Basis [...] und folglich die Dimension [...].
A: \(\emptyset\); 0

Q: Satz:
- Es gilt \(n\) := dim(\(V\)) < \(\infty\) genau dann, wenn [...]
In diesem Fall gilt weiter:
- Jedes Erzeugendensystem \(E\) von \(V\) mit \( \vert E \vert = n\) ist [...].
- Jede linear unabhängige Teilmenge \(L\) von \(V\) mit \( \vert L \vert = n\) ist [...].
A: \(V\) endlich erzeugt ist.; eine Basis von \(V\); eine Basis von \(V\)

Q: Beispiel: Für jede natürliche Zahl \(n\) bilden die Vektoren [...]für alle \(i = 1, \ldots, n\) eine Basis von \(\mathbb{K}^n\), genannt die Standardbasis von \(\mathbb{K}^n\).
Insbesondere ist also [...].
A: \(e_i := (\delta_{i, j})_{j = 1, \ldots, n} \); \(\text{dim}_{ \mathbb{K} }(\mathbb{K}^n) = n \)

Q: Beispiel: Für jede Menge \(I\) gilt [...]. Dagegen ist [...] im Sinne unendlicher Kardinalzahlen, wenn \(I\) unendlich ist.
A: \( \text{dim}(\mathbb{K}^{(I)}) = \vert I \vert\); \( \text{dim}(\mathbb{K}^I) > \vert I \vert\)

Q: Satz: Gegebene Spaltenvektoren \(v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{K}^n\) bilden eine Basis von \(\mathbb{K}^n\) genau dann, wenn [...].
A: die \(n \times n\)-Matrix \( (v_1, \ldots, v_n) \) invertierbar ist

Q: Beispiel: Für jedes \(1 \leqslant i \leqslant n\) sei \(v_i = (a_{ij})_j\) mit \(a_{ii} \neq 0\) und \(a_{ij} = 0\) für alle \(j > i\). Dann ist \( (v_1, \ldots, v_n) \) [...] und folglich [...]; also ist \( \{ v_1, \ldots, v_n \} \)[...].
A: eine obere Dreiecksmatrix mit allen Diagonaleinträgen ungleich Null; invertierbar; eine Basis von \(\mathbb{K}^n \)

Q: Beispiel: Die Addition und Multiplikation von reellen und komplexen Zahlen macht \(\mathbb{C}\) zu [...]. Dieser hat die Basis [...] und folglich die Dimension [...],.
A: einem Vektorraum über \(\mathbb{R} \); \( \{1, i \} \); \( \text{dim}_{ \mathbb{R} }(\mathbb{C})  = 2 \)

Q: Beispiel: Die Addition und Multiplikation von reellen und rationalen Zahlen macht \(\mathbb{R}\) zu [...]. Dieser ist [...]; genauer gilt [...].
A: einem Vektorraum über \(\mathbb{Q}\); unendlich-dimensional; \[\text{dim}_{\mathbb{Q} }(\mathbb{R}) = \vert \mathbb{R} \vert \]

Q: Satz: Sei \(V'\) ein Unterraum von \(V\).
- Dann gilt dim(\(V'\)) [...] dim(\(V\)).
- Gilt weiter dim(\(V'\)) = dim(\(V\)) < \(\infty\), so folgt [...].
A: \(\leqslant\); \( V' = V\)

Q: Proposition: Für jeden Unterraum \(U\) des Raums der Spaltenvektoren \( \mathbb{K}^n \) kann man jede der folgenden Beschreibungen effektiv in jede andere umrechnen:
- Als Erzeugnis von [...].
- Durch [...] von \(U\).
- Als [...].
A: Vektoren \(u_1, \ldots, u_k \in \mathbb{K}^n \); eine Basis \(u_1, \ldots, u_l \); Lösungsmenge eines homogenen LGS der Form \(Ax = 0\) für eine Matrix \(A\)

Q: Bemerkung:
- Aus \( U = \langle S \rangle \) und \( U' = \langle S' \rangle \) folgt [...].
- Aus \( U = \{ x \in \mathbb{K}^n \vert \: Ax = 0 \} \) und \( U' = \{ x \in \mathbb{K}^n \vert \: A'x = 0 \} \) folgt [...].
A: \(U + U' = \langle S \cup S' \rangle \); \( U \cap U' = \{ x \in \mathbb{K}^n \vert \: \binom{A}{A'}x = 0 \} \)

Q: Definition Direkte Summe und Komplement
A: Seien \(V_1\) und \(V_2\) Unterräume von \(V\) mit \(V = V_1 + V_2\) und \(V_1 \cap V_2 = \{0\} \). Dann heisst \(V\) die (innere) direkte Summe von \(V_1\) und \(V_2\), und man schreibt:
\[V = V_1 \oplus V_2\] Weiter heisst dann \(V_2\) ein Komplement von \(V_1\) in \(V\), und umgekehrt.

Q: Proposition: Die Eigenschaft \( V = V_1 \oplus V_2\) ist äquivalent zu der Bijektion der Abbildung [...].
A: \[ V_1 \times V_2 \longrightarrow V, (v_1, v_2) \mapsto v_1 + v_2 \]

Q: Satz: Jeder Unterraum eines Vektorraums besitzt [...].
A: ein Komplement

Q: Satz: Ist \(V = V_1 \oplus V_2\), so gilt [...].
A: \[ \text{dim}(V) = \text{dim}(V_1) + \text{dim}(V_2) \]

Q: Beispiel: Sei \(V_1 := \langle \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \rangle \subset \mathbb{K}^2\) für gegebene \(a, b \in \mathbb{K} \). Dann ist...
- ... \(\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle\) ein Komplement von \(V_1\) genau dann, wenn [...] ist.
- ... \(\langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rangle\) ein Komplement von \(V_1\) genau dann, wenn [...] ist.
- ... \(V\) ein Komplement von \(V_1\) genau dann, wenn [...] ist.
A: \(b \neq 0\); \(a \neq 0\); \(a = b = 0\)

Q: Satz: Für beliebige Unterräume \(V_1\) und \(V_2\) von \(V\) gilt
[...].
A: \[ \text{dim}(V_1 + V_2) + \text{dim}(V_1 \cap V_2) = \text{dim}(V_1) + \text{dim}(V_2) \]