Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / SW_08_Kap5
Tags: Folgen Konvergenz und 5.3 5.4 Stetigkeit 6.1 reelle

Definition 5.21 (Konvergenz)

Q: Eine Folge ist Konvergent falls, ___
A: sie einen Grenzwert besitzt.

Q: Eine Folge ist divergent, falls_____
A: sie keinen Grenzwert besitzt

Konvergenz in Prädikatenlogik

Q: Lemma 5.22. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Jede konvergente Folge in X besitzt ______ Grenzwert.
A: einen
eindeutigen

Lemma 5.24 (Beschränktheit)

ε-Umgebung um x0

Definition 5.25 (Umgebungen)

Lemma 5.26 (Indexverschiebung)

Konvergenz von konstanten Folgen

Kleiner Beweis von

Ein einfaches und nützliches Beispiel einer divergenten Folge

Q: Wichtige Übung 5.29 (Grenzwerte von reellen Folgen)
A: Der Grenzwert einer Reelen Folge in C ist reell.

Proposition 5.30 Seien (an)n, (bn)n zwei konvergente Folgen in C. Teil 1:

Proposition 5.30. Seien (an)n, (bn)n zwei konvergente Folgen in C. Teil 2

Proposition 5.30. Seien (an)n, (bn)n zwei konvergente Folgen in C. Teil 3

Übung 5.33 (Nullfolgen und Divergenz) (als Fakt zu beachten)

Definition/Beispiel 5.34 (Geometrische Folgen).

Konvergenz/Divergenz geometrische Folgen. Für q = 1

Q: Konvergenz/Divergenz geometrische Folgen. Für q = -1
A: Die Folge ist divergent

Konvergenz/Divergenz geometrische Folgen. Für |q| < 1

Konvergenz/Divergenz geometrische Folgen. Für |q| > 1

Q: Definition: Cesàro-Mittel
A: Dies konvergiert zur gleichen Wert wie

Definition 5.38 (Teilfolge)

Proposition 5.42 (Häufungspunkte einer Folge)

Konvergenz bezüglich Normen

Korollar 5.45 (Reduktion/Zerlegung complexer Folgen)

Q: Definition 5.48 (Stetigkeit bei einem Punkt) ε-δ-stetig
A: Eigentlich dasselbe wie die die Erste Definition der Stetigkeit, aber auf Metrische Räume angepasst

Definition 5.48 (Folgenstetigkeit bei einem Punkt)

Lemma 5.49 (Stetigkeit bei einem Punkt)

Proposition 5.50 (Charakterisierungen der Stetigkeit). Seien X, Y zwei metrische Räume
und f : X → Y eine Funktion. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

Definition 5.52. Gleichmässig stetig

Definition 5.52. Lipschitz Stetigkeit: Seien (X, dX) und (Y, dY ) zwei metrische Räume und f : X → Y eine Funktion, dann heisst f

Q: Proposition 5.53 (Stetige Funktionen). Seien X, Y, Z metrische Räume. Teil 1: g ◦ f
A: Falls f : X → Y und g : Y → Z stetig sind, dann ist auch g ◦ f : X → Z stetig.

Proposition 5.53 (Stetige Funktionen). Seien X, Y, Z metrische Räume. Teil 2: Komponente

Proposition 5.53 (Stetige Funktionen). Seien X, Y, Z metrische Räume. Teil 3: Addition

Proposition 5.53 (Stetige Funktionen). Seien X, Y, Z metrische Räume. Teil 4: Kehrwertfunktionen

Q: Wichtige Übung 5.54 (Distanzfunktionen). Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zu x ∈ X und A ⊆ X nicht-leer definieren wir Ist diese Funktion stetig. Falls ja, welche Stetigkeit?
A: Lipschitz-stetig mit L = 1

Übung. Sei X eine Menge und seien d1, d2 zwei Metriken auf X. Angenommen es gibt eine Konstante C > 0 mit

Anmerkung: Die Annahme der strikten Ungleichung in (i) impliziert a < b nicht.

Q: Lemma 6.2 (Sandwich)
A: Lemma 6.2 ist sehr nützlich um Konvergenz spezifischer Folgen zu zeigen.

Die Bernoulli Ungleichung

Bernoulli Ungleichung (Binomialsatz version). Sei bn > 0

1

Q: Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen) Teil 1: Bedingungen
A: Eine monotone reelle Folge (an)n konvergiert
genau dann, wenn sie beschränkt ist.

Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen) Falls die Folge (an)n monoton wachsend ist, gilt

Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen) Falls die Folge \((a_n)_n\) monoton fallend ist, gilt

Satz 6.5 (Konvergenz von monotonen Folgen) Bildlich dargestellt

Q: Definition 6.8 (Limes superior). Für eine beschränkte reelle Folge \((a_n)_n\) ist der Limes superior definiert durch
A: oder Ausführlicher:

Vergleich Definition von HP und Grenzwert (Prädikatenlogik)

Q: Stärke der Stetigkeiten
A: L-stetig => glm. Stetig => stetig