Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 12 Differentialgeom / Kap12_03

Q: Beispiel: \(B = \{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| x^2 +y^2 \leq z \leq 1\}\)
Die zu untersuchenden Teilmannigfaltigkeiten für Kandidatenpunkte sind:
A: - Das Innere: \( B^ \circ = \{x^2+y^2<z<1\}\)
- Der "Mantel": \(\{ (x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| x^2 + y^2 = z < 1 \}\)
- Die Kreisscheibe: \(\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| x^2+y^2< z = 1\}\)
- Der Kreis: \(\{(x,y,z) \in \mathbb R ^3 \| x^2+y^2 = z= 1\}\)

Q: Notwendige Bedingung für Extrema mit Nebendbedingungen:
\(U \subseteq \mathbb R ^n\) offen und  \(M \subseteq U\) eine Teilmannigfaltigkeit und \( f: U \rightarrow \mathbb R \) eine differenzierbare Funktion wobei \(f|_M\) bei \(p\in M\) ein lokales Extremum annimmt. Dann gilt?
A: \(\nabla f(p)\) ist ein Normalenvektor an \(M\) bei \(p\).
Das heisst \(\langle \nabla f(p), v \rangle = 0 \text{ für alle } (p,v) \in T_pM\)

Q: Wie ist die Lagrange-Funktion \(L: U\times \mathbb R ^{n-k}  \rightarrow \mathbb R\) für eine Funktion \(f:U \rightarrow \mathbb R\) definiert?
A: \[L: (x, \lambda) \in U \times \mathbb R ^{n-k} \mapsto L(x,\lambda) = f(x) - \sum^{n-k}_{j=1} \lambda_j F_j(x)\]
Die Komponenten von \[\lambda\] heissen Lagrange Multiplikatoren

Q: Notwendige Bedingung mit Lagrange-Multiplikatoren:
Sei \(U \subseteq \mathbb R ^n\) offen und \(M = \{ x \in U | F(x)=0\}\) eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben als Niveaumenge eine glatte Funktion \(F: U \rightarrow \mathbb R^{n-k}\) mit regulärem Wert 0.
Sei \(f: U \rightarrow \mathbb R\) eine differenzierbare Funktion, wobei \(f|_M\) in \(p\in M\) ein lokales Extremum annimmt und sei \(L\) die zu M und \(f\) gehörige Lagrange-Funktion.
Dann gilt?
A: Es existieren Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda \in \mathbb R^{n-k}\), so dass:
\(\partial_{x_i}L(p,\lambda) = 0\) und \(\partial_{\lambda_j}L(p,\lambda)=0\)
für alle \(i \in \{1, \cdots, n\}\) und \(j\in \{1, \cdots , n-k\}\)

Q: Hesse Matrix der Lagrange-Funktion:
Sei \(U \subset \mathbb R^n\) eine offene Teilmenge, sei \(M = \{x \in U |F(x) = 0\} \) eine k-dimensionale Teilmannigfaltigkeit gegeben als Niveaumenge durch eine glatte Funktion \(F:U \to \mathbb R^{n-k}\) mit regulärem Wert 0 und sei \(f: U \to \mathbb R\) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Sei des Weiteren \(p \in M\) ein kritischer Punkt für \(f|_M\) mit Lagrange-Parameter \(\lambda \in \mathbb R^{n-k}\), das heisst, \((p,\lambda)\) erfüllt die Lagrange-Gleichungen \(\partial_{x_i}L(p,\lambda)=0\).
Sei Q die Hesse Matrix der Lagrange-Funktion.
A: - Q ist positiv definit: \(f|_M\) nimmt bei p ein striktes Minimum an
- Q ist negativ definit: \(f|_M\) nimmt bei p ein striktes Maximum an
- Q ist indefinit: \(f|_M\) nimmt bei p kein lokales Extremum an.