Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 10 Metrische Räume / Kap10_03

Definition 10.37 Sei \(X\) ein metrischer Raum. Eine Folge \((x_n)_n\) in \(X\) heisst Cauchy-Folge, falls es zu jedem \(\varepsilon \gt 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) gibt, so dass für alle \(m, n \geq N\) die Abschätzung \(d(x_n, x_m) \lt \varepsilon\) gilt. Der metrische Raum heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge in \(X\) konvergiert (d.h. sie konvergiert und der GW liegt in X.

Q: Proposition 10.39 Sei \(d \geq 1\). Jede [...] ist [...].
A: abgeschlossene Teilmenge von \(\mathbb{R}^d\); vollständig

Q: Beispiel nicht vollständige Teilmenge von \(\mathbb{R}^d\): [...].
A: z.B. \(X = (0,1)\), denn die Cauchy-Folge \((\frac{1}{n})_n\) konvergiert gegen \(0 \notin X\)

Q: Satz 10.41 ([...]). Sei \((X, d)\) ein nicht-leerer, vollständiger metrischer Raum. Sei \(T : X \rightarrow X\) [...]. Dann [...].
A: Banachscher Fixpunktsatz; eine Lipschitz-Kontraktion (also Lipschitz-Konstante \(\lambda \lt 1\)); existiert ein eindeutig bestimmtes \(x_0 \in X\) mit \(T(x_0) = x_0\)