Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 12 Differentialgeom / Kap12_02

Q: Sei \(0\leq k\leq n\) für \(n\geq1\). Wie ist eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\) definiert?
A: Eine Teilmenge \(M\subseteq\mathbb{R}^n\) heisst \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit, falls für jeden Punkt \(p\in M\) eine offene Umgebung \(U_p\) von \(p\) in \(\mathbb{R}^n\) und ein Diffeomorphismus \(\varphi_p: U_p\rightarrow V_p = \varphi_p(U_p)\) auf eine offene Teilmenge \(V_p \subseteq \mathbb{R}^n\) existiert, sodass:
\(\varphi_p(U_p\cap M)=\{y\in V_p\,|\, y_i=0\enspace \forall i>k\}\)

Q: Vier klassische Beispiele von Teilmannigfaltigkeiten?
A: - Jede offene Teilmenge \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) ist eine \(n\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\).
- Jede diskrete Teilmenge \(M\subseteq\mathbb{R}^n\) ist eine nulldimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\).
- Sei \(k<n\) und \(U\subseteq\mathbb{R}^k\) offen. Für jede glatte Abbildung \(f:U\rightarrow\mathbb{R}^{n-k}\) ist
\(M=Graph(f) = \{(x, f(x))\,|\,x\in U\}\subseteq\mathbb{R}^n\)
eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\).
- Die \((n-1)\)-dimensionale Sphäre
\(\mathbb{S}^{n-1} = \{p\in\mathbb{R}^n\,|\,\|p\|=1\}\)
ist eine \((n-1)\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\).

Q: Eine Teilmenge \(M\subseteq\mathbb{R}^n\) ist eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit \(\Rightarrow\) Zu jedem Punkt \(p\in M\) existiert eine offene Umgebung \(U_p\) von \(p\) in \(\mathbb{R}^n\), eine glatte Funktion \(f_p: \tilde{U}_p\rightarrow\mathbb{R}^{n-k}\) auf einer offenen Teilmenge \(\tilde{U}_p\subseteq\mathbb{R}^k\) und ein \(\sigma\in S_n\) gibt, sodass...
A: \(M\cap U_p = P_\sigma (Graph(f_p))\)

Q: Satz über den konstanten Rang (wichtig!)
Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen, \(1\leq m<n\) und \(F:U\rightarrow\mathbb{R}^m\) eine glatte Funktion, so dass \(F\) keine kritischen Punkte in \(M=\{p\in U\,|\,F(p)=0\}\) besitzt. (Also hat \(D_p F\) Rang \(m\) für alle \(p\in M\) bzw. \(0\) ist ein regulärer Wert von \(F\)). Dann gilt?
A: \(M\) ist eine \((n-m)\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit von \(\mathbb{R}^n\).

Q: Sei \(M\subseteq\mathbb{R}^n\) eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Wie sind der Tangentialraum (oder Phasenraum) und das Tangentialbündel definiert? Was zeichnet den Tangentialraum aus?
A: Tangentialraum von \(M\) bei \(p\in M\):
\(T_p M = \{(p,\gamma^`(0))\,|\,\exists \varepsilon>0, \gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M\) differenzierbar mit \(\gamma(0)=p\}\subseteq T_p\mathbb{R}^n = \{p\}\times\mathbb{R}^n\)
Tangentialbündel von M:
\(TM = \displaystyle \bigsqcup_{p\in M} T_p M\subseteq T\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\)
Der Tangentialraum \(T_p M\) ist ein Vektorraum, der alle Vektoren enthält, die M tangential am Punkt \(p \in M\) schneiden.

Q: Lokale Beschreibung Tangentialbündel
Sei \(m\subseteq\mathbb{R}^n\) eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit, \(U_0\subseteq\mathbb{R}^n\) eine offene Umgebung und \(\varphi :U_0\rightarrow V_0\subseteq\mathbb{R}^n\) ein Diffeomorphismus mit \(\varphi(U_0\cap M) = \{y\in V_0\,|\,y_i=0\enspace \forall i>k\}\).
Sei \(\psi = \varphi^{-1}:V_0\rightarrow U_0\) und die Ableitung
\(D\psi: TV_0\rightarrow TU_0\), \((y,h)\mapsto (\psi(y),D_y\psi(h))\).
Was gilt dann für \(D\psi\) und für \(T_pM\enspace \forall p\in M\)?
A: Die Einschränkung von \(D\psi\) ist eine Bijektion von \(T(V_0\cap\mathbb{R}^k)=(V_0\cup\mathbb{R}^k)\times\mathbb{R}^k\) nach \(T(U_0\cap M)\).
\(T_pM\) ist ein \(k\)-dimensionaler Unterraum von \(T_p\mathbb{R}^n \enspace \forall p\in M\).

Q: Sei \(M\subseteq\mathbb{R}^n\) eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit. Angenommen \(M = \{x\in U\,|\,F(x) = 0\}\) ist gegeben als Niveaumenge einer glatten Funktion \(F:U\rightarrow\mathbb{R}^{n-k}\) auf einer offenen Teilmenge \(U\subseteq\mathbb{R}^n\), sodass \(0\) ein regulärer Wert von \(F\) ist. Dann gilt:
\(TM=\) ...?
A: \(TM=\{(p,v)\in M\times\mathbb{R}^n\,|\, D_pF(v)=0\}\)