Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_05

Q: Definition 14.45. Sei \( f\) ein \( C^1\)-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge \( U \subset \mathbb{R}^3\). Für \( p \in U \) und \( u,v \in \mathbb{R}^3\) definieren wir die Wirbelstärke von \( f\) im infitesimalen Parallelogramm zu \( u,v \in \mathbb{R}^3\) durch
A: \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) = \lim_{h \to 0} \tfrac{1}{ h^2} \int_{\partial P(p,hu,hv)} f \cdot \rm{d} \mathbf{s} \),
falls der Grenzwert existiert.

Q: Proposition 14.48 (Alternierend und Multilinear). Sei \( f\) ein \( C^1\)-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge \( U \subset \mathbb{R}^3\) und sei \( p \in U \). Dann gelten folgende Aussagen:
A: - Für alle \( p \in U \) und \( u,v \in \mathbb{R}^3\) existiert die Wirbelstärke \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \).
- Die Wibelstärke \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \) hängt bei festem \( p \in U \) und \( v \in \mathbb{R}^3\) linear von \( u\) ab.
- Die Wibelstärke \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \) hängt bei festem \( p \in U \) und \( u \in \mathbb{R}^3\) linear von \( v\) ab.
- Es gilt \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \) = - \(\operatorname{rot}(f,p,v,u)) \) für alle \( u,v \in \mathbb{R}^3\) und \( p \in U \)

Q: Theorem 14.50 (Satz von Stokes). Sei \( f\) ein \( C^1\)-Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge \( U \subset \mathbb{R}^3\). [...] gegeben. Ist \( S \subseteq U\) eine glatt berandete, orientiebare Fläche (mit Rand), so gilt des weiteren [...].
A: Dann existiert die Wirbelstärke \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \) von \( f\) zu jedem Punkt \( p \in U \) und zu allen \( u,v \in \mathbb{R}^3\) und ist durch \(\operatorname{rot}(f,p,u,v)) \) = - \langle{\operatorname{rot}(f)(p)},{____\rangle}; \(\int_{S} \operatorname{rot}(f) \cdot \rm{d} \mathbf{n} = \int_{\partial S} f \cdot \rm{d} \mathbf{s}\)

Q: Definition: (Rotation als Vektor) Die Rotation ist definiert als
A: \(rot(f) = \begin{pmatrix} \partial_2 f_3-\partial_3f_2 \\ \partial_3 f_1-\partial_1 f_3 \\ \partial_1f_2 - \partial_2 f_1 \end{pmatrix}\)
Intuition: Zyklische Formation der Indizes