Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / Chapter2
Tags: 2.4IntervalleAbsolutbetrag 2.2NatürlicheZahlen 2.3KomplexeZahlen 2.5MaximumSupremum 2.1Axiome

Q: 2.21 Körperaxiome. Was sind die 16 Axiome der reellen Zahlen
A: (1) Nullelement
\( \exists 0 \in \mathbb{R}: x+0 = 0+x = x \)
(2) Additives Inverses
\( \forall x \in \mathbb{R} \exists(-x) \in \mathbb{R}: x+(-x) = (-x)+x = 0 \)
(3) Assoziativität Addition
\( \forall x,y,z \in \mathbb{R}: (x+y)+z = x+(y+z) \)
(4) Kommutativität Addition
\( \forall x,y \in \mathbb{R}: x+y = y+x \)
(5) Einselement
\( \exists 1 \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \forall x \in \mathbb{R}: 1 \cdot x = x \cdot 1 = x \)
(6) Multiplikative Inverse
\( \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \exists (x^{-1}) \in \mathbb{R}: x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1 \)
(7) Assoziativität Multiplikation
\( \forall x,y,z \in \mathbb{R}: x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z \)
(8) Kommutativität Multiplikation
\( \forall x,y \in \mathbb{R}: x \cdot y = y \cdot x \)
(9) Distributivgesetz
\( \forall x,y,z \in \mathbb{R}: x \cdot (y+z) = (x \cdot y) + (x \cdot z) \)
(10) Reflexivität
\( \forall x \in \mathbb{R}: x \leqslant x \)
(11) Antisymmetrie
\( \forall x,y \in \mathbb{R}: ( (x \leqslant y \wedge y \leqslant x) \Rightarrow x = y) \)
(12) Transitivität
\( \forall x,y,z \in \mathbb{R}: ( (x \leqslant y \wedge y \leqslant z) \Rightarrow x \leqslant z) \)
(13) Linearität
\( \forall x,y \in \mathbb{R}: (x \leqslant y \vee y \leqslant x) \)
(14) Kompitabilität +
\( \forall x,y,z \in \mathbb{R}: (x \leqslant y \Rightarrow x+z \leqslant y+z) \)
(15) Kompitabilität *
\( \forall x,y \in \mathbb{R}: ( (0 \leqslant x \wedge 0 \leqslant y) \Rightarrow 0 \leqslant x \cdot y) \)
(16) Vollständigkeit
\( \forall X,Y \subseteq \mathbb{R}: ( (X \neq \emptyset \wedge Y \neq \emptyset \wedge \forall x \in X  \forall y \in Y: x \leqslant y)  \Rightarrow (\exists c \in \mathbb{R}  \forall x \in X  \forall y \in Y: x \leqslant c \leqslant y) ) \)

Q: Definition 2.12. Eine Teilmenge \(M \subseteq \mathbb{R}\) ist induktiv heisst, falls
A: \(1 \in M\) und für alle x in M ist auch x+1 in M.
\( 1 \in M \)
\[\forall x \in \mathbb{R}: 1 \in M \wedge x \in M \Rightarrow x + 1 \in M \]

Q: Definition 2.12. Wir definieren die Teilmenge der natürlichen Zahlen \(\mathbb{N} \subseteq \mathbb{R}\)
A: als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von \(\mathbb{R}\).
\[\mathbb{N} = \bigcap _{M \subseteq \mathbb{R} induktiv} M \]

Q: Lemma 2.14. Was ist die kleinste induktive Teilmenge von \(\mathbb{R}\)?
A: Die natürlichen Zahlen \(\mathbb{N}\) bilden eine induktive und somit die kleinste induktive Teilmenge der reellen Zahlen.

Q: Satz 2.15. (Vollständige Induktion) Falls für eine Aussage \( A(n) \) über die natürlichen Zahlen \( n \in \mathbb{N} \):
A: (Induktionsanfang) \( A(1) \) und (Induktionsschritt) \( \forall n \in \mathbb{N}: (A(n) \Rightarrow A(n+1)) \) gelten, dann gilt \( A(n) \) for alle \( n \in \mathbb{N} \)

Q: Lemma 2.17. Für alle \(m,n \in \mathbb{N}\) gilt
A: \(m+n \in \mathbb{R}\) und \(m \cdot n \in \mathbb{R}\).
\( \forall n,m \in \mathbb{N}: m+n \in \mathbb{N} \wedge m \cdot n \in \mathbb{N} \)

Q: Lemma 2.18. Anordnung von \( \mathbb{N} \)
A: Für \( n \in \mathbb{N} \) gilt n = 1 oder \( n-1 \in \mathbb{N} \)
Für \( m,n \in \mathbb{N} \) mit \( m \leqslant n \leqslant m+1 \) gilt n=m oder n=m+1

Q: Satz 2.22. Sei \( M \subseteq \mathbb{N} \) eine nicht-leere Teilmenge. Dann hat M ein
A: eindeutig bestimmtes kleinstes Element.
\( \exists !n_0 \in M \forall n \in M: n_0 \leqslant n \)

Q: Lemma 2.23. Für alle m,n in \( \mathbb{N} \) mit m kleiner als n
A: liegt n-m in \( \mathbb{N} \).
\( \forall m,n \in \mathbb{N}: m < n \Rightarrow n-m \in \mathbb{N} \)

Q: Übung 2.24. Seien m,n in N. Dann hat das kartesische Produkt \( \{ 1,...,m \} \times \{ 1,...,n \} \) die Kardinalität
A: \( n \cdot m \).

Q: Lemma 2.25: Sei X eine abzählbar unendliche Menge und \( Y \subseteq X \) eine Teilemenge. Dann ist Y
A: entweder endlich oder selbst auch abzählbar unendlich.

Q: Lemma 2.26. Die ganzen Zahlen \(\mathbb{Z}\) sind abgeschlossen unter
A: Addition und Multiplikation
\[ \forall m,n \in \mathbb{Z}: m+n \in \mathbb{Z} \wedge m \cdot n \in \mathbb{Z}\]

Q: Übung 2.27. Für \( n,m \in \mathbb{Z} \) impliziert die Ungleichung \( m \leqslant n \leqslant m+1 \)
A: n=m oder n=m+1.
\[\forall n,m \in \mathbb{Z}: ( (m \leqslant n \leqslant m+1) \Rightarrow (n=m \vee n=m+1) ) \]

Q: Lemma 2.28. Die rationalen Zahlen bilden einen Unterkörper von
A: \( \mathbb{R} \).
\[\forall r,s \in \mathbb{Q}: -r,r+s,r \cdot s \in \mathbb{Q} \wedge (r^{-1} \in \mathbb{Q} \vee r=0)\]

Q: Übung 2.30. Sowohl die ganzen Zahlen als auch die rationalen Zahlen sind
A: abzählbar unendlich.

Q: Lemma 2.31. \( \sqrt{2} \in \mathbb{Q} \)? Ist \( \mathbb{Q} \) vollständig?
A: Die reelle Zahl \( \sqrt{2} \) ist irrational. Insbesondere erfüllen die rationalen Zahlen nicht das Vollständigkeitsaxiom.

Q: Satz 2.32. (Division mit Rest) Für alle \( n \in \mathbb{N} _0 \) und \( d \in \mathbb{N} \) gibt es
A: ein \( q \in \mathbb{N} _0 \) und ein \( r \in \mathbb{N} _0 \) mit r<d, welches wir den Rest nennen, so dass \( n = q \cdot d + r \).
\[\forall n \in \mathbb{N} _0 \forall d \in \mathbb{N} \exists q,r \in \mathbb{N}: r<d \wedge n = q \cdot d + r \]

Q: Übung 2.33. Was sind die wichtigsten Eigenschaften von Primzahlen?
A: (a) Jede Primzahl ist auch irreduzibel.
(b) Die Primfaktorenzerlegung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt.
(c) Bei einer Division mit Rest \( r \in \mathbb{N} _0 \) von m>n in \( \mathbb{N} \) gilt, dass gcd(m,n) = gcd(n,r) und für r=0 gilt gcd (m,n) = n.
(d) Der grösste gemeinsame Teiler kann als Summe von Vielfachen dargestellt werden.
(e) Irreduzible Zahlen sind auch prim.

Q: Definition Komplexe Zahlen
A: \( \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 \{ (x,y) | x,y \in \mathbb{R} \} \)
Ein Element \( z=(x,y) \in \mathbb{C} \) wird häufig in der Form z=x+yi geschrieben.

Q: Definition Addition in \( \mathbb{C} \)
A: \( (x_1+y_1 \cdot i) + (x_2+y_2 \cdot i) = (x_1+x_2) + (y_1+y_2) \cdot i \)

Q: Definition Multiplikation in \( \mathbb{C} \)
A: \( (x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i) = (x_1 \cdot x_2-y_1 \cdot y_2) + (x_1 \cdot y_2 + y_1 \cdot x_2) \cdot i \)

Q: Proposition 2.34. Was ist das neutrale Element der Addition in \(\mathbb{C}\)?
A: \(0 + 0 \cdot i\)

Q: Proposition 2.34. Was ist das neutrale Element der Multiplikation in \(\mathbb{C}\)?
A: \(1 + 0 \cdot i\)

Q: Proposition 2.34. Bilden die komplexen Zahlen einen Körper?
A: Ja

Q: Definition 2.37. Was ist die Konjugation auf \(\mathbb{C}\)?
A: \(\overline {} : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, z=x+y \cdot i \mapsto \overline z =x-y \cdot i\)

Q: Lemma 2.38. Was sind die wichtisten Eigenschaften der Konjugation?
A: (i) Für alle \(z \in \mathbb{C}\) ist \(z \overline z \in \mathbb{R}\) und \(z \overline z \geqslant 0\). Des Weiteren gilt \(\forall z \in \mathbb{C}\), dass \(z \overline z = 0\) genau dann, wenn \(z = 0\).
(ii) \(\forall z,w \in \mathbb{C}: \overline {z+w} = \overline z + \overline w\).
(iii) \(\forall z,w \in \mathbb{C}: \overline {z \cdot w} = \overline z \cdot \overline w\).

Q: Übung 2.41. Wie kann man einfach den Realteil oder den Imaginärteil einer komplexen Zahl bestimmen?
A: Es gilt: \(\forall z \in \mathbb{C}: Re(z) = \frac{z + \overline z}{2} \wedge Im(z) = \frac{z - \overline z}{2 \cdot i}\).

Q: Was ist die Menge der reellen Zahlen ausgedrückt in Komplexen Zahlen mithilfe der Konjugation?
A: \(\mathbb{R} = \{ z \in \mathbb{C} | z = \overline z \}.\)

Q: Definition 2.42. Seien \(a,b \in \mathbb{R}\) dann ist [a,b]
A: das abgeschlossene Invervall durch
\([a,b] = \{x \in \mathbb{R} | a \leqslant x \leqslant b \},\)
das offene Invervall (a,b) durch
\((a,b) = \{ x \in \mathbb{R} | a < x < b \},\)
das (rechts) halboffene Intervall [a,b) durch
\([a,b) = \{x \in \mathbb{R} | a \leqslant x < b \}\)
und das (links) halboffene Intervall (a,b] durch
\((a,b] = \{x \in \mathbb{R} | a < x \leqslant b \}\)
definiert. Wenn das Invervall nicht-leer ist, dann wird a der linke Endpunkt, b der rechte Endpunkt, und \(b-a\) die Länge des Invervalls genannt.

Q: Definition 2.43. Für \(a,b \in \mathbb{R}\) definieren wir die unbeschränkten abgeschlossenen\offenen Invervalle
A: \[[a,\infty ) = \mathbb{R}_{\geqslant a} = \{x \in \mathbb{R} | a \leqslant x \}\]
\[(-\infty,b] = \mathbb{R}_{\leqslant b} = \{x \in \mathbb{R} | x \leqslant b\}\]
und die unbeschränkten offenen Intervalle
\[(a,\infty) = \mathbb{R}_{>a} = \{x \in \mathbb{R} | a < x\}\]
\[(-\infty,b) = \mathbb{R}_{<b} = \{x \in \mathbb{R} | x < b\}\]
\[(-\infty,\infty) = \mathbb{R}\]

Q: Definition 2.44. Umgebungen eines Punktes
A: Sei \(x \in \mathbb{R}\). Eine Menge, die ein offenes Invervall enthält, in dem x liegt, wird auch eine Umgebung von x genannt. Für ein \(\delta > 0\) wird das offene Intervall \((x-\delta, x+\delta)\) die \(\delta\)-Umgebung von x genannt.

Q: Definition 2.46. Absolutbetrag
A: Der Absolutbetrag ist die Funktion
\[| \cdot |: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto |x| = \begin{cases} x & \mbox{falls} & x \geqslant 0 \\ -x & \mbox{falls} & x < 0 \end{cases} \]

Q: Dreiecksungleichung?
A: \(|x+y| \leqslant |x|+|y|\)

Q: Umgekehrte Dreiecksungleichung?
A: \(| |x|-|y| | \leqslant |x-y|\)

Q: Übung 2.48: Absolutbetrag und Quadratwurzel. Wie kann der Absolutbetrag mit der Quadratwurzel definiert werden?
A: Es gilt: \(x^2 = |x|^2\) und \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Q: Definition 2.49 (Offene und abgeschlossene Teilmengen). Eine Teilmenge \(U \subseteq \mathbb{R}\) heisst offen (in \(\mathbb{R}\)), wenn
A: für jedes \(x \in U\) ein \(\varepsilon \gt 0\) existiert mit \[\{y \in \mathbb{R} | |y-x| \lt \varepsilon\} = (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq U\]
Eine Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{R}\) heisst abgeschlossen (in \(\mathbb{R}\)), wenn ihr Komplement \(\mathbb{R} \setminus A\) offen ist.

Q: Übung 2.50 (Offene Teilintervalle). Eine Teilmenge \(U \subseteq \mathbb{R}\) ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt \(x \in U\)
A: ein offenes Intervall \(I\) mit \(x \in I\) und \(I \subseteq U\) existiert.

Q: Übung 2.51 Welche der Teilmengen: \(\emptyset, \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}, [0,1), (0,1], (0,1) \cup (2,3)\) sind offen, resp. abgeschlossen in \(\mathbb{R}\)?
A: \[\emptyset \ \textrm{ist offen und abgeschlossen in} \ \mathbb{R}.\]
\[\mathbb{N} \ \textrm{ist abgeschlossen in} \ \mathbb{R}\]
\[\mathbb{Z} \ \textrm{ist abgeschlossen in} \ \mathbb{R}\]
\[\mathbb{R} \ \textrm{ist offen und abgeschlossen in} \ \mathbb{R}\]
\[[0,1) \ \textrm{ist weder offen, noch abgeschlossin in} \ \mathbb{R}\]
\[(0,1] \ \textrm{ist weder offen, noch abgeschlossin in} \ \mathbb{R}\]
\[(0,1) \cup (2,3) \ \textrm{ist offen in} \ \mathbb{R}\]

Q: Definition 2.52: Der Absolutbetrag \(| \cdot |\) auf \(\mathbb{C}\) für \( (x + y \cdot i) \in \mathbb{C}\) ist gegeben durch
A: \[|x + y \cdot i| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Q: Für den Absolutbetrag auf \(\mathbb{C}\) gelten folgende vier Eigenschaften: Für alle \(z, w \in \mathbb{C}\)
A: (i) (Definitheit): \(|z| \geqslant 0\) und \(|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0\).
(ii) (Multiplikativität): \(|z \cdot w| = |z| \cdot |w|\).
(iii) (Dreiecksungleichung): \(|z+w| \leqslant |z| + |w|\).
(iv) (Umgekehrte Dreiecksungleichung): \(||z| - |w|| \leqslant |z-w|\).

Q: Definition 2.53 (Offene Bälle). Der offene Ball mit Radius \(r \gt 0\) um einen Punkt \(z \in \mathbb{C}\) ist die Menge
A: \[B_r(z) = \{w \in \mathbb{C} | |z - w| \lt r\}\]

Q: Wichtige Übung 2.54 (Durchschnitt von offenen Bällen). Seien \(z_1, z_2 \in \mathbb{C}, r_1 \gt 0\) und \(r_2 \gt 0\). Für jeden Punkt \(z \in B_{r_1}(z_1) \cap B_{r_2}(z_2)\) existiert ein Radius \(r \gt 0\), so dass
A: \[B_r(z) \subseteq B_{r_1}(z_1) \cap B_{r_2}(z_2)\]

Q: Definition 2.55: (Offene Teilmengen von \(\mathbb{C}\)). Eine Teilmenge \(U \subseteq \mathbb{C}\) heisst offen (in \(\mathbb{C}\)), wenn zu jedem Punkt in \(U\)
A: ein offener Ball um diesen Punkt existiert, der in \(U\) einhalten ist.
\[\forall z \in U \exists r \gt 0: B_r(z) \subseteq U\]

Q: Definition 2.55 (Abgeschlossene Teilmengen von \(\mathbb{C}\). Eine Teilmenge \(A \subseteq \mathbb{C}\) heisst abgeschlossen (in \(\mathbb{C}\)), falls
A: ihr Komplement \(\mathbb{C} \setminus A\) offen ist.

Q: Definition 2.57: (Maximum). Wir sagen, dass \(x_0 = max(X) \in \mathbb{R}\) das Maximum einer Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) ist, falls
A: \(x_0 \in X\) und für alle \(x \in X\) die Ungleichung \(x \leqslant x_0\) gilt.

Q: Definition 2.58: (Minimum). Wir sagen, dass \(x_0 = min(X)\) das Minimum einer Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) ist, falls
A: \(x_0 \in \mathbb{X}\) und \(x \geqslant x_0\) für alle \(x \in X\) gilt.

Q: Definition 2.59: (Beschränktheit und Schranken). Eine Teilmenge \(X \subseteq \mathbb{R}\) heisst von oben beschränkt, falls
A: es ein \(s \in \mathbb{R}\) gibt mit \(x \leqslant s\) für alle \(x \in X\). Ein solches \(s \in \mathbb{R}\) nonnt man in diesem Fall eine obere Schranke. Analog sind von unten beschränkt und untere Schranke definiert.

Q: Definition 2.59: (Beschränktheit) Eine Teilmenge \(x \subseteq \mathbb{R}\) heisst beschränkt, falls
A: sie von oben und von unten beschränkt ist.