Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 8_Endomorphismen I / Kap. 8.1_2_3
Tags: Kap8

Q: Das charakteristische Polynom einer \(n \times n\)-Matrix \(A\) über \(K\)
A: \(char_A(X) := det(X \cdot I_n - A)\)

Q: Das Polynom \(char_A\) ist normiert vom Grad [...] und sein konstanter Koeffizient ist [...].
A: \(n\); \((-1)^n \cdot det(A)\)

Q: Je zwei [...] Matrizen über \(K\) haben dasselbe charakteristische Polynom.
A: ähnliche

Q: Sei \(f\) ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) und sei \(B\) eine geordnete Basis von \(V\). Dann gilt: Das charakteristische Polynom von \(_B[f]_B\) ist [...] von \(B\).
A: unabhängig

Q: Charakteristisches Polynom eines Endomorphismus \(f\)
A: \(char_f(X) := char_{_B[f]_B}(X)\)

Q: Sei \(f\) ein Endomorphismus, \(V \ K\)-VR endlichdimensional. \(char_f(X)\) ist ein normiertes Polynom vom Grad [...] über \(K\), und sein konstanter Koeffizient ist [...].
A: \(dim_K(V)\); \((-1)^n \cdot det(f)\)

Q: Für jeden Isomorphismus von Vektorräumen \(\phi: V \to W\) gilt: \( char_{\phi \circ f \circ \phi^{-1}}\) = [...].
A: \(char_f(X)\)

Q: Für jedes \(\lambda\) in \(K\) gilt: \(char_f(\lambda)\) = [...].
A: \(det(\lambda \cdot id_V - f)\)

Q: \(f\) Endomorphismus, \(V\) \(K\)-Vektorraum. Ein Vektor \(v \in V\) heisst Eigenvektor von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda\) in \(K\), falls [...] und [...].
A: \(v \neq 0\); \(f(v) = \lambda \cdot v\)

Q: Ein Element \(\lambda \in K\) ist Eigenwert von \(f\) genau dann, wenn der Endomorphismus \(\lambda \cdot id_v - f: V \to V\) [...] ist. Der von Null verschiedene Unterraum \(Eig_\lambda,f \) := [...] heisst dann der zu \(\lambda\) gehörige Eigenraum von f. Seine von Null verschiedenen Elemente sind genau die [...] von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda\).
A: nicht injektiv; \(Kern(\lambda \cdot id_V - f) \subset V\); Eigenvektoren

Q: Geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts \( \lambda \)
A: Dimension des zugehörigen Eigenraums \(Eig_{\lambda,f}\)

Q: Seien \(\lambda_1,...,\lambda_r \in K\) paarweise verschiedene Eigenwerte von \(f\). Dann ist die folgende lineare Abbildung (injektiv? surjektiv? bijektiv?) [...]: \(Eig_{\lambda_1,f} \times ... \times Eig_{\lambda_r,f} \to V, \left(v_1,...,v_r\right) \mapsto v_1+...+v_r\)
A: injektiv

Q: Die Eigenwerte von \(f\) sind genau die [...] von \(char_f(X)\) in \(K\).
A: Nullstellen

Falls \(dim(V) \lt \infty\):
(a) Es gibt höchstens endlich viele Eigenwerte von \(f\).
(b) Ist \(V\) \(\neq 0\) und \(K\) algebraisch abgeschlossen, so gibt es Eigenwerte von \(f\).

Q: Arithmetische Vielfachheit eines Eigenwerts \(\lambda \in K\) von \(f\)
A: Vielfachheit von \(\lambda\) als Nullstelle von \(char_f(X)\)

Q: \(dim(V) \lt \infty\): Die Anzahl der Eigenwerte von \(f\), mit arithmetischen Vielfachheiten gezählt, ist [...] \(dim_K(V)\), und sogar [...] \(dim_K(V)\), wenn \(K\) algebraisch abgeschlossen ist.
A: \(\leqslant\); =

Q: Die [...] Vielfachheit ist stets [...] der [...] Vielfachheit.
A: geometrische; \(\leqslant\); arithmetischen/algebraischen

Q: \(dim(V) \lt \infty\):
Die Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume einer \( n \times n\)-Matrix \(A\) über \(K\) sind die Eigenwerte, Eigenvektoren bzw. Eigenräume des Endomorphismus [...].
A: \(L_A: K^n \to K^n\)

Q: \(f\) ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\).
Für jede geordnete Basis \(B\) von \(V\) sind äquivalent:
(a) Die Darstellungsmatrix \(_B[f]_B\) ist eine [...].
(b) Die Basis \(B\) besteht aus [...].
A: Diagonalmatrix; Eigenvektoren von \(f\)

Q: Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\) heisst diagonalisierbar, wenn \(V\) [...] besitzt.
A: eine Basis aus Eigenvektoren von \(f\)

Q: Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraumes \(V\) ist diagonalisierbar genau dann, wenn \(char_f(X)\) [...] und für alle Eigenwerte von \(f\) [...] ist.
A: über \(K\) in Linearfaktoren zerfällt; die geometrische Vielfachheit gleich der arithmetischen Vielfachheit

Q: \(f\) ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen \(K\)-Vektorraums \(V\).
Zerfällt \(char_f(X)\) über \(K\) in Linearfaktoren und haben alle seine Nullstellen Vielfachheit 1, so ist \(f\) [...].
A: diagonalisierbar

Sei \(A\) eine \(n \times n\)-Matrix über \(K\). Für eine invertierbare Matrix \(U\) ist \(U^{-1}AU\) eine Diagonalmatrix genau dann, wenn die Spalten von \(U\) eine Basis aus Eigenvektoren von \(A\) bilden. Ausserdem sind äquivalent:
(a) Der Endomorphismus \(L_A: K^n \to K^n\) ist diagonalisierbar.
(b) Die Matrix \(A\) ist ähnlich über \(K\) zu einer Diagonalmatrix.
Eine solche Matrix \(A\) heisst diagonalisierbar über \(K\).

Beispiel: Die reelle Matrix \(A\) := \(\begin{bmatrix}5 & 3\\3 & 5\end{bmatrix}\) hat charakteristisches Polynom \(X^2-10X+16 = \left(X-2\right)\left(X-8\right)\) und somit zwei verschiedene Eigenwerte der Vielfachheit 1 in \(\mathbb{R}\). Also ist \(A\) diagonalisierbar über \(\mathbb{R}\).

Die reelle Matrix \(B\):=\(\begin{bmatrix}0 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}\) repräsentiert eine Drehung um 90° in der Ebene \(\mathbb{R}^2\). Ihr charakteristisches Polynom ist \(X^2+1\) und hat somit keine Nullstellen in \(\mathbb{R}\). Also ist \(B\) nicht diagonalisierbar über \(\mathbb{R}\). Über \(\mathbb{C}\) hat das charakteristische Polynom jedoch zwei verschiedene einfache Nullstellen \(\pm i\). Also ist \(B\) diagonalisierbar über \(\mathbb{C}\).

Die Matrix \(C\):=\(\begin{bmatrix}1 & 1\\0 & 1\end{bmatrix}\) über einem beliebigen Körper hat charakteristisches Polynom  \(\left(X-1\right)^2\) und somit nur den Eigenwert 1 der arithmetischen Vielfachheit 2. Der zugehörige Eigenraum \(\left\langle \begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix} \right\rangle\) hat aber Dimension 1, somit ist die geometrische Vielfachheit gleich 1. Also ist \(C\) nicht diagonalisierbar.

Q: Sei \(A\) diagonalisierbar, also \(A=UDU^{-1}\) für eine invertierbare \(n \times n\)-Matrix \(U\) und eine Diagonalmatrix \(D\) mit Diagonaleinträgen \(\lambda_1,...,\lambda_n\). Dann sind die Potenzen von A gegeben durch: \(A^m\)=[...].
A: \(UD^mU^{-1}= \sum_{i=1} ^{n} {\lambda_i}^m \cdot UE_{ii}U^{-1}\)