Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.03

Q: Tensorprodukt (Definition)
A: Ein Tensorprodukt von Vektorräumen \(V_1\) und \(V_2\) über \(K\) besteht aus einem \(K\)-Vektorraum \(\tilde{V}\) und einer bilinearen Abbildung \(\kappa: V_1 \times V_2 \to \tilde{V}\) mit der universellen Eigenschaft:
Für jeden \(K\)-Vektorraum \(W\) und jede bilineare Abbildung \(\varphi: V_1 \times V_2 \to W\) existiert genau eine lineare Abbildung \(\bar{\varphi}: \tilde{V} \to W\) mit \(\bar{\varphi} \circ \kappa = \varphi\), das heisst, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Q: Eindeutigkeit des Tensorprodukts (Proposition)
A: Ein Tensorprodukt ist eindeutig bis auf eindeutige Isomorphie, d.h.: Ist sowohl \((\tilde{V}, \kappa)\) sowie \((\tilde{V}', \kappa')\) ein Tensorprodukt von \(V_1\) und \(V_2\), so existiert ein eindeutiger Isomorphismus \(i: \tilde{V} \tilde{\to} \tilde{V}'\) mit \(i \circ \kappa = \kappa'\), das heisst, sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Q: Existenz des Tensorprodukts (Satz)
A: Ein Tensorprodukt existiert immer.

Q: Konvention
A: Wir fixieren ein für alle Mal ein Tensorprodukt \((\tilde{V}, \kappa)\) und bezeichnen den Vektorraum \(\tilde{V}\) mit \(V_1 \otimes_K V_2\) (oder kurz \(V_1 \otimes V_2\)), sowie die Abbildung \(\kappa\) mit
\[V_1 \times V_2 \to V_1 \otimes_K V_2, (v_1, v_2) \mapsto v_1 \otimes v_2\]

Q: Rechenregeln für das Tensorprodukt
A: Die Bilinearität von \(\kappa\) übersetzt sich in die folgenden Rechenregeln für alle \(v_i, v_i' \in V_i\) und \(\lambda \in K\):
\[(v_1 + v_1') \otimes v_2 = v_1 \otimes v_2 + v_1' \otimes v_2\]
\[v_1 \otimes (v_2 + v_2') = v_1 \otimes v_2 + v_1 \otimes v_2'\]
\[\lambda v_1 \otimes v_2 = \lambda (v_1 \otimes v_2)\]
\[v_1 \otimes \lambda v_2 = \lambda (v_1 \otimes v_2)\]

Q: (Reiner) Tensor (Definition)
A: - Ein Element von \(V_1 \otimes_K V_2\) heisst ein Tensor.
- Ein Element der Form \(v_1 \otimes v_2\) heisst ein reiner Tensor.

Q: Basis von \(V_1 \otimes V_2\) (Satz)
A: Sei jeweils \(B_i\) eine Basis von \(V_i\). Dann sind die \(b_1 \otimes b_2\) für alle \((b_1, b_2) \in B_1 \times B_2\) verschieden, und \(\{b_1 \otimes b_2 \space | \space (b_1, b_2) \in B_1 \times B_2\} \) ist eine Basis von \(V_1 \otimes_K V_2\). Insbesondere gilt
\[\text{dim}_K(V_1 \otimes_K V_2) = \text{dim}_K(V_1) \cdot \text{dim}_K(V_2)\]

Q: Die [...] erzeugen [...].
A: reinen Tensoren; \(V_1 \otimes_K V_2\)

Q: Betrachte Vektoren \(v_i, v_i' \in V_i\):
- Es ist \(v_1 \otimes v_2 \neq 0\) genau dann, wenn [...].
- Es ist (im obigen Fall) \(v_1 \otimes v_2 = v_1' \otimes v_2'\) genau dann, wenn [...].
- Sind jeweils \(v_i, v_i'\) linear unabhängig, so ist \(v_1 \otimes v_2 + v_1' \otimes v_2'\) [...].
A: \(v_1, v_2 \neq 0\) sind; \(\exists \lambda \in K^{\times}: (v_1', v_2') = (\lambda v_1, \lambda^{-1} v_2)\); kein reiner Tensor

Q: Beispiel für Tensorprodukt
A: Für alle natürlichen Zahlen \(m, n\) existiert ein natürlicher Isomorphismus
\[K^{m} \otimes_K K^n \tilde{\to} \space \text{Mat}_{m \times n}(K)\]
mit \(v \otimes w \mapsto v \cdot w^T\).

Q: Für alle \(V\) und \(W\) existiert ein [...]
\[V^{\vee} \otimes_K W \rightarrow \text{Hom}_K(V,W)\]
mit [...].
Sein Bild ist der Unterraum aller Homomorphismen von endlichem Rang. Insbesondere ist er ein Isomorphimus genau dann, wenn \(V\) oder \(W\) endlich-dimensional ist.
A: natürlicher injektiver Homomorphismus; \(l \otimes w \mapsto (v \mapsto l(v) \cdot w)\)

Q: Adjunktionsformel
A: Es existieren eindeutige Isomorphismen
\[\text{Hom}_K(V_1 \otimes_K V_2, W) \cong \text{Mult}_K(V_1 \times V_2, W) \cong \text{Hom}_K(V_1, \text{Hom}_K(V_2,W))\]
mit \(f \in \text{Hom}_K(V_1 \otimes_K V_2, W)\), \(\varphi \in \text{Mult}_K(V_1 \times V_2, W)\), \(\psi \in \text{Hom}_K(V_1, \text{Hom}_K(V_2,W))\) und
\[f(v_1 \otimes v_2) = \varphi(v_1, v_2) = \psi(v_1)(v_2)\]

Q: Funktorialität
A: Zu linearen Abbildungen \(f_i : V_i \to V_i'\) existiert genau eine lineare Abbildung
\[f_1 \otimes f_2: V_1 \otimes_K V_2 \to V_1' \otimes_K V_2'\]
mit \(v_1 \otimes v_2 \mapsto f_1(v_1) \otimes f_2(v_2)\).

Für alle linearen Abbildungen \(V_i \xrightarrow{f_i} V_i' \xrightarrow{g_i} V_i''\) gilt:
- \(\text{id}_{V_1} \otimes \text{id}_{V_2} = \) \( \text{id}_{V_1 \otimes V_1}\)
- \(f_1 \otimes 0_{V_2} =\) \( 0_{V_1} \otimes f_2 = 0_{V_1 \otimes V_2}\)
- \((g_1 \otimes g_2) \circ (f_1 \otimes f_2) =\) \( (g_1 \circ f_1) \otimes (g_2 \circ f_2)\)
- Ist jeweils \(f_i\) ein Isomorphismus mit Inversem \(g_i\), so ist \(f_1 \otimes f_2\) ein Isomorphismus mit Inversem \(g_1 \otimes g_2\).