Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.18_1

Satz: Für jede reelle \( m \times n\) - Matrix \(A\) vom Rang \(r\) existieren eine orthogonale \(m \times m\)-Matrix \(Q\), eine orthogonale \(n \times n\)-Matrix \(R\), und eine \(m \times n\)-Matrix der Form

\[ D =
\left(\begin{array}{c c c|c c}
\sigma_1 & \space & \space & \space & \space \\
\space & \ddots & \space & \space & \space \\
\space & \space & \sigma_r & \space & \space \\
\hline
\space & \space & \space & \space & \space
\end{array}\right)
\]
für reelle Zahlen \(\sigma_1 \geqslant ... \geqslant \sigma_r > 0\) und allen übrigen Einträgen 0, sodass gilt
\[ A = QDR. \]
Dabei sind die Zahlen \(\sigma_1, ..., \sigma_r\) durch \(A\) eindeutig bestimmt. Genauer sind \(\sigma_1^2, ..., \sigma_r^2\) genau die von Null verschiedenen Eigenwerte von \(A^TA\), mit Vielfachheiten.

Q: Definition Singulärwerte
A: Für eine reelle \(m \times n\)-Matrix \(A\) vom Rang \(r\) sind \(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_r^2\) die von Null verschiedenen Eigenwerte von \(A^TA\), mit Vielfachheiten.
Die Zahlen \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) heissen die Singulärwerte von \(A\).