Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_07
Tags: 11.7KonservativeVektorfelder

Q: Definition 11.46. Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) ein Gebiet \(f: U \rightarrow \mathbb{R}^n\) ein stetiges Vektorfeld. Wann ist dann \(f\) konservativ?
A: \(f\) ist konservativ, falls Wegintegrale des Vektorfelds nur von Anfangs- und Endpunkt abhängen. Formal:
\(f\) ist konservativ, falls für alle stückweise stetig differenzierbaren Wege \(\gamma : [a,b] \rightarrow U\) und \(\eta : [a', b'] \rightarrow U\) mit \(\gamma (a) = \eta (a'), \gamma (b) = \eta (b')\) gilt:
\[\int_{\gamma} f \cdot ds = \int_{\eta} f \cdot ds\]

Q: Übung 11.48. Welcher Zusammenhang zwischen stückweise stetig differenzierbaren Schlaufen (also Wegen \(\gamma : [a,b] \rightarrow U\) mit \(\gamma (a) = \gamma (b) \)) und konservativen Vektorfeldern existiert?
A: Ein Vektorfeld \(f\) ist genau dann konservativ, wenn für alle Schlaufen gilt: \(\int_\gamma f \cdot ds = 0\)

Q: Satz 11.49: Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) ein Gebiet und \(f: U \rightarrow \mathbb{R}^n\) ein stetiges Vektorfeld. Wann ist \(f\) konservativ?
Was gilt für ein stetig differenzierbares konservatives Vektorfeld \(f\)?
A: \(f\) ist genau dann konservativ, wenn es eine stetig differenzierbare Funktion \(F: U \rightarrow \mathbb{R}\) gibt mit \(f(x) = \nabla F(x)\) für alle \(x \in U\).
Die Funktion \(F\) wird auch Potentialfunktion genannt.
Für ein stetig differenzierbares konservatives Vektorfeld \(f\) gilt zudem:
\[\partial_j f_k = \partial_k f_j \ \ \ \ \ 1 \le  j, k \le n\]

Q: Satz 11.52: Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und sternförmig. Ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(f: U \rightarrow \mathbb{R}^n\) ist genau dann konservativ, wenn...
A: \(f\) den Integrabilitätsbedingungen genügt: \[\partial_k f_j = \partial_j f_k \ \ \ \ \ \forall j, k \le n\]