Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 10 Metrische Räume / Kap10_06

Q: Lemma 10.71 Sei \(X\) ein metrischer Raum. Dann ist für jedes \(d \geq 1\) die Menge [...] mit den (punktweisen) Verknüpfungen [...] ein [...].
A: \[C(X, \mathbb{R}^d = \{f: X \rightarrow \mathbb{R}^d | f \text{ ist stetig} \}\]; \[f+g : x \in X \mapsto f(x) + g(x)\], \[\lambda f : x \in X \mapsto \lambda f(x)\]; Vektorraum

Proposition 10.73 Sei \(K\) ein kompakter metrischer Raum. Dann definiert \[ \| f \|_{\infty} = \sup_{x \in K} \| f(x) \|_2 = \max_{x \in K} \| f(x) \|_2 \] eine Norm auf \(C(K, \mathbb{R}^d)\) und \( C(K, \mathbb{R}^d\) ist bezüglich dieser Norm vollständig.