Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_05
Tags: 11.5Parameterintegrale

Q: Welche Form hat ein Parameterintegral?
A: \[ \int_{a}^{b} f(x,t) dt \]

Q: Satz 11.36 (Differentiation unter dem Integral):
Für \(U \subseteq \mathbb{R}^n \) offen, \(a < b\) reell und \(f: U \times [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, definiert das Parameterintegral \[F(x) = \int_{a}^{b} f(x, t) dt \]
für alle \(x \in U \) eine reellwertige Funktion mit der Eigenschaft [...].
Welche Eigenschaften müssen erfüllt sein, sodass \(F\) stetig differenzierbar ist?
Was ist  für \(k \in \{1,...n\}\) gleich dem Ausdruck \(\partial_k F(x)\)?
A: Stetigkeit
Back Extra: Für stetige Differenzierbarkeit von \(F\) muss zusätzlich gelten, dass die partiellen Ableitungen \(\partial_k f\) existieren und auf ganz \(U \times [a, b]\) stetig sind.
Es gilt dann: \[\partial_k F(x) = \int_{a}^{b} \partial_kf(x, t) dt\]

Q: Korollar 11.38: Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\), \(a < b\) reell, \(f: U \times (a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) stetig mit stetigen partiellen Ableitungen von \(f\) in allen Dimensionen. Seien \(\alpha , \beta : U \rightarrow (a, b)\) stetig differenzierbar. Dann ist das Parameterintegral mit veränderlichen Grenzen:
\[F: x \in U \mapsto \int_{\alpha (x)}^{\beta (x)} f(x, t) dt\] [...] und für alle \(1 \le k \le n\) und \(x \in U\) gilt \(\partial_k F(x) = \) [...]
A: stetig differenzierbar; \[\partial_k F(x) =f(x, \beta (x))\partial_k \beta(x) - f(x, \alpha (x)) \partial_k \alpha (x) + \int_{\alpha (x)}^{\beta (x)} \partial_k f(x, t) dt\]