Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_08

Q: Sei \(M \subset \mathbb{R}^n\) eine \(k\)-dimensionale Teilmannigfaltigkeit, \(\Phi:V \to U\) ein Diffeomorphismus offener Teilmengen von \(\mathbb{R}^n\) mit \(\Phi(V \cap \mathbb{R}^k) = U \cap M\). Weiter sei \(K \subset V \cap \mathbb{R}^k\) [...]. Für eine [...] Funktion \(f: M \to \mathbb{R}\) definieren wir
\[\int_{\Phi(K)} f d vol_M = [...],\]
A: Jordan-messbar; stetige; \int_K f \circ \Phi \sqrt{\operatorname{gram}_k(D \Phi)} d vol_k
Back Extra: Ausserdem ist dieses Integral unabhängig von der Wahl der Parametrisierung.

Definition alternierendes Tensorprodukt:
Für \(0 \leq k \leq n\) ist das alternierende Tensorprodukt  \(\bigwedge^k \mathbb{R}^n\)durch
\[\bigwedge^k \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{\mathcal{P}(n,k)}  \cong \mathbb{R}^{\binom{n}{k} } \]definiert.
Mit
\[\mathcal{P}(n,k) = \set{A \subseteq \set{1,\ldots,n}\big\rvert|A|=k} \]der Menge der Teilmengen von \(\set{1,\ldots,n}\) mit \(k\) Elementen

Q: Eigenschaften alternierendes Tensorprodukt:
Für \(A= \set{j_1 < j_2 < \ldots, < j_k}\in \mathcal{P}(n,k)\) und eine Permutation \(\sigma \in S_k\) der Menge \(\set{1,\ldots,k}\) gilt
\[[...]\]
A: e_{j_{\sigma(1)} } \wedge \cdots \wedge e_{j_{\sigma(k)} } = \operatorname{sgn}(\sigma) e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_k}.
Back Extra: In Analysis gilt dies per definition

Q: Eigenschaften alternierendes Tensorprodukt:
Falls die Teilmenge \(\set{j_1,\ldots,j_k}\subset \set{1,\ldots,n}\)[...] [...], so setzen wir [...]
A: weniger als  Elemente hat; (weil \(j_a = j_b\) für gewisse \(a \neq b\) in \(\set{1,\ldots,k}\)); \(e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_k} = 0\)

Q: Eigenschaften alternierende Tensorprodukte
Des Weiteren definieren wir für beliebige Vektoren \(v_1,\ldots,v_k \in \mathbb{R}^n\)
\[[...] = [...],\]
wobei wir für \(i\in \set{1,\ldots,n}\) den Vektor \(v_i\) als [...]schreiben.
A: v_1 \wedge \cdots \wedge v_k; \sum_{j_1 = 1}^n \cdots\sum_{j_k = 1}^n v_{1,j_1}\cdots v_{k,j_k} e_{j_1} \wedge \cdots \wedge e_{j_k}; \(v_i = (v_{i,1},\ldots,v_{i,n})^t\)

Abbildung zum alternierenden Tensorprodukt:
Die folgende Abbildung
\[(v_1,\ldots,v_k) \in (\mathbb{R}^n)^k \mapsto v_1 \wedge \cdots \wedge v_k \in \bigwedge^k \mathbb{R}^n.\]besitzt die 3 wichtigen Eigenschaften:
- Sie ist multilinear
- Sie ist alternierend
- Sie besitzt die Universelle Eigenschaft (*)

Universelle Eigenschaft alternierender Tensorprodukte:
Falls
\[ A: (\mathbb{R}^n)^k \to W\]eine multilineare, alternierende Abbildung mit Werten in einem \(\mathbb{R}\)-Vektorraum  \(W\) ist, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \(L:\bigwedge^k \mathbb{R}^n\to W\) mit
\[A(v_1,\ldots,v_k) = L(v_1,\ldots,v_k)\]für alle \(v_1,\ldots,v_k \in \mathbb{R}\)

Proposition 14.68 (Volumen und alternierende Tensoren)
Für \(v_1,\ldots,v_k \in \mathbb{R}^n\) gilt
\[||v_1\wedge \cdots \wedge v_k|| = \sqrt{\operatorname{gram}(v_1,\ldots,v_k)} = \sqrt{\det(\langle v_i,v_j \rangle)_{i,j = 1,\ldots,k} } \]In anderen Worten kann die Länge des alternierenden Tensors als Volumen des davon aufgespannten Parallelotops aufgefasst werden

Q: Allgemeiner Integralsatz von Stokes
\[[...]\]
A: \int_{B} d\omega = \int_{\partial B} \omega

Beispiele von Differentialformen:
Eine 1-Form ist eine glatte Abbildung, die jedem \(p \in U\) ein Element \(\omega_p\) im Dualraum von \(T_p U\), also eine Linearform auf \(T_pU\) zuweist,
Das wichtigste Bsp ist der Gradient

Q: Schreibart einer 1-Form in \(\mathbb{R}^n\):
A: \(f_1 d x_1 + \ldots + f_n d x_n\)

Definition 2-Form:
Eine 2-Form ist eine glatte Abbildung, die jedem \(p \in U\) ein Element \(\omega_p\)  im Dualraum von \(\bigwedge^2 T_p U\) zuordnet.
Ein Bsp dafür wäre die Rotation

Q: n-dimensionales Riemann Integral mit Differentialformen:
A: \[\int_B F d x_1\wedge\cdots\wedge d x_n\]