Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.1_10.2

Q: Definition Norm auf einen Körper \(\mathbb{K}\)
A: Eine Norm auf \(\mathbb{K}\) ist eine Abbildung
\[ \vert \; \vert : \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}, x \mapsto \vert x \vert \]
mit den folgenden Eigenschaften für alle \(x, y \in \mathbb{K}\):
- \(\vert x \vert = 0 \Leftrightarrow x = 0\) (Separiertheit/Definitheit)
- \(\vert x \cdot y \vert = \vert x \vert \cdot \vert y \vert\) (Multiplikativität/Homogenität)
- \(\vert x+y \vert \leqslant \vert x \vert + \vert y \vert\) (Dreiecksungleichung)
Ein Körper zusammen mit einer Norm heisst ein normierter Körper, \((\mathbb{K}, \vert \; \vert)\).

Q: Eine Norm muss folgende Eigenschaften erfüllen (Bezeichnung):
- [...]
- [...]
- [...]
A: Separiertheit/Definitheit; Multiplikativität/Homogenität; Dreiecksungleichung

Q: Definition Separiertheit/Definitheit einer Norm
A: \(\vert\vert x \vert\vert = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Q: Definition Multiplikativität einer Norm auf einem Körper
A: \(\vert x \cdot y \vert = \vert x \vert \cdot \vert y \vert\)

Q: Definition Dreiecksungleichung einer Norm
A: \(\vert x+y \vert \leqslant \vert x \vert + \vert y \vert\)

Q: Definition Standard-Norm auf \(\mathbb{R}\)
A: Die Standard-Norm auf \(\mathbb{R}\) ist der Absolutbetrag
\[\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}, x \mapsto \left\{ \begin{array}[rcl] & x & \text{falls} & x \geqslant 0 \\ -x & \text{falls} & x < 0 \end{array} \right.\]

Q: Definition Standard-Norm auf \(\mathbb{C}\)
A: Die Standard-Norm auf \(\mathbb{C}\) ist der Absolutbetrag
\[ \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}, z \mapsto \vert z \vert = \sqrt{z \overline{z} }\]

Q: Definition triviale Norm
A: Die triviale Norm auf einem beliebigen Körper \(\mathbb{K}\) ist die Abbildung
\[ \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}, x \mapsto \vert x \vert := \left\{ \begin{array}[rcl] & 0 & \text{falls} & x = 0 \\ 1 & \text{falls} & x \neq 0 \end{array} \right.\]

Q: Folgerung: Alle Körper besitzen [...], nämlich die [...].
A: mindestens eine Norm; triviale Norm

Q: Lemma: Für alle reellen Zahlen \(\alpha, \beta \geqslant 0\) und \(p \geqslant 1\) gilt [...] \(\leqslant\) [...].
A: \(\alpha^p + \beta^p\); \((\alpha + \beta)^p\)

Q: Proposition: Für jede Norm \(\Vert \; \Vert\) auf \(\mathbb{K}\) und jede reelle Zahl \(0 < c \leqslant 1\) ist auch die Abbildung [...] eine Norm auf \(\mathbb{K}\).
A: \(x \mapsto \Vert x \Vert^c\)

Q: Definition Norm auf \(V\)
A: Eine Norm auf \(V\) ist eine Abbildung
\[\Vert \; \Vert: V \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}, v \mapsto \Vert x \Vert\]
mit den folgenden Eigenschaften für alle \(v, v' \in V\) und \(x \in \mathbb{K}\):
- \(\Vert v \Vert = 0 \Leftrightarrow v = 0\) (Separiertheit/Definitheit)
- \(\Vert x \cdot v \Vert = \vert x \vert \cdot \Vert v \Vert\) (Multiplikativität/Homogenität)
- \(\Vert v+v' \Vert \leqslant \Vert v \Vert + \Vert v' \Vert\) (Dreiecksungleichung)
Ein Vektorraum zusammen mit einer Norm heisst ein normierter Vekrotrraum \((V, \Vert \; \Vert)\).

Q: Definition Seminorm auf \(V\)
A: Eine Norm auf \(V\), die alle Norm-Eigenschaften ausser möglicherweise die Separiertheit erfüllt, heisst eine Seminorm auf \(V\).

Q: Proposition: Für jede Norm \(\Vert \; \Vert\) und alle \(v, w \in V\) gilt [...] \(\leqslant\) [...].
A: \(\vert \: \Vert v \Vert - \Vert w \Vert \: \vert\); \(\Vert v - w \Vert\)

Q: Definition Äquivalenz von Normen
A: Zwei Normen \(\Vert \; \Vert\) und \(\Vert \; \Vert'\) auf \(V\) heissen äquivalent, wenn reelle Zahlen \(c, c' > 0\) existieren mit
\[\forall v \in V: c \cdot \Vert v \Vert \leqslant \Vert v \Vert' \leqslant c' \cdot \Vert v \Vert\]

Q: Proposition: Die Äquivalenz von Normen definiert [...] auf der Menge aller Normen auf \(V\).
A: eine Äquivalenzrelation

Q: Definition \(\ell_p\)-Norm
A: Für jedes \(p \in \mathbb{R}^{\geqslant 1} \cup \{ \infty \} \) ist die \(\ell_p\)-Norm auf \(\mathbb{K}^n\) definiert durch
\[ \vert (x_1, \ldots, x_n) \vert_p := \left\{ \begin{array}[rcl] & (\vert x_1 \vert^p + \ldots + \vert x_n \vert^p)^{1/p} & \text{falls} & p < \infty \\ \text{max}\{ \vert x_1 \vert, \ldots, \vert x_n \vert\} & \text{falls} & p = \infty \end{array} \right.\]

Q: Beispiel: Seien \(V\) ein endlich-dimensionaler \(\mathbb{R}\)-Vektorraum und \(E, E'\) endliche Erzeugendensysteme des Dualraums \(V^{\vee}\). Dann sind
\[ \Vert v \Vert_{1, E} := [...]\]
\[ \Vert v \Vert_{\infty, E'} := [...]\]
Normen auf \(V\).
A: \sum_{\ell \in E} \vert \ell(v) \vert; \text{max}\{ \vert \ell(v) \vert : \ell \in E'\}

Q: Satz: Je zwei Normen auf einem [...] \(\mathbb{R}\)-Vektorraum sind [...].
A: endlich-dimensionalen; äquivalent