Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 10 Metrische Räume / Kap10_02

Proposition 10.24 Seien \(X, Y\) zwei metrische Räume und \(f: X \rightarrow Y\) eine Funktion. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
1. Die Funktion \(f\) ist stetig.
2. Für jedes \(x \in X\) ist \(f\) bei \(x \ \varepsilon\)-\(\delta\)-stetig.
3. Für jedes \(x \in X\) ist \(f\) bei \(x\) folgenstetig.
4. Für jedes \(x \in X\) und für jede Umgebung \(U \subseteq Y\) von \(f(x)\) ist \(f^{-1}(U)\) eine Umgebung von \(x\).
5. Für jede offene Teilmenge \(O \subseteq X\) ist \(f^{-1}\) eine offene Teilmenge von \(X\).
6. Für jede abgeschlossene Teilmenge \(A \subseteq Y\) ist \(f^{-1}(A)\) eine abgeschlossene Teilmenge von \(X\).

Q: Definition 10.25 Sei \(X\) ein metrischer Raum, \(D \subseteq X\) eine Teilmenge, \(x_0 \in X\) ein HP von \(D\) und \( f: D \rightarrow Y\) eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum \(Y\). Dann ist [...] für [...], falls gilt [...].
A: \(y_0 \in Y\) der Grenzwert von \(f(x)\); \(x \rightarrow x_0\); \[\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 \forall x \in D \cap B_{\delta} (x_0) \setminus \{x_0\} : f(x) \in B_{\varepsilon}(y_0)\]

Q: Lemma 10.26 [...] sind auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich stetig. (8 Funktionsgruppen)
A: Polynome in \(\mathbb{C} [z]\), die komplexe Exponentialabbildung, der reelle Logarithmus, Wurzelfunktionen, die kompexen trigo Funktionen, die komplexen hyperbolischen Fkt, die reellen inversen trigo Fkt und die reellen inversen hyperbolischen Fkt

Q: Proposition 10.29 Seien \(X, Y\) metrische Räume und \(f: X \rightarrow Y\) stetig. Falls [...], dann [...].
A: \(X\) zusammenhängend ist; ist das Bild \(f(X)\) ein zusammenhängender Teilraum von \(Y\)

Q: Korollar 10.30 Sei \(I \subseteq \mathbb{R}\) ein Intervall, \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) eine stetige Funktion und \(a, b \in I\). Für [...], so dass [...].
A: jedes \(c \in \mathbb{R}\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) gibt es ein \(x \in I\) zwischen \(a\) und \(b\); \(f(x) = c\) gilt

Definition 10.32 Sei \(X\) ein nicht-leerer metrischer Raum.
- Ein Weg  in \(X\) ist eine stetige Abbildung \(\gamma : [a,b] \rightarrow X\) auf einem  nicht-leeren Intervall \([a,b] \subseteq \mathbb{R}\) mit Startpunkt \(\gamma(a)\) und Endpunkt \(\gamma(b)\). Dabei sagen wir auch, dass \(\gamma\) ein Weg von \(\gamma(a)\) nach \(\gamma(b)\) ist.
- Wir nennen \(X\) wegzusammenhängend, falls für je zwei Punkte \(x, y \in X\) zwei reelle Zahlen \(a \lt b\) und ein Weg \(\gamma: [a,b] \rightarrow X\) von \(x = \gamma(a)\) nach \(y = \gamma(b)\) existiert.

Q: Lemma 10.33 Jeder [...] ist [...].
A: wegzusammenhängende metrische Raum; zusammenhängend

Proposition 10.35 Sei \(O \subseteq \mathbb{R}^d\) für \(d \geq 1\) eine nicht-leere, offene Teilmenge. Dann ist \(O\) genau dann wegzusammenhängend, wenn \(O\) zusammenhängend ist.