Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 2 Grundlagen

Q: Definition Aussage
A: Eine Aussage ist eine wohlgeformte mathematische Behauptung, die entweder wahr oder falsch ist.

Q: Definition Tautologie
A: Eine Tautologie ist eine Aussage, die immer wahr ist.

Q: Definition Zusammensetzen von Aussagen
A: Gegebene Aussagen A und B können folgendermassen zusammengesetzt werden:
\(A \wedge B\), gesprochen "A und B"
\(A \vee B\), gesprochen "A oder B" (inklusives oder)
\(\neg A\), gesprochen "nicht A"
\(A \Rightarrow B\), gesprochen "A impliziert B" oder "wenn A dann B"
\(A \Leftrightarrow B\), gesprochen "A ist äquivalent zu B" oder "A genau dann, wenn B"

Q: "entweder A oder B" (exklusives oder) in Prädikatenlogik
A: \[(A \vee B) \wedge \neg(A \wedge B)\]

Q: \[A \Rightarrow B\] in Prädikatenlogik
A: \[(\neg A) \vee B\]

Q: \[A \Leftrightarrow B\] in Prädikatenlogik
A: \[(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\] bzw. \[((\neg A) \vee B) \wedge ((\neg B) \vee A)\]

Q: Prinzip der Absorption für zusammengesetzte Aussagen A und B
A: \(A \wedge (A \vee B) \Leftrightarrow A\)
\(A \vee (A \wedge B) \Leftrightarrow A\)

Q: Die Gesetze von de Morgan für zusammengesetzte Aussagen A und B
A: \(\neg (A \wedge B) \Leftrightarrow \neg A \vee \neg B\)
\(\neg (A \vee B) \Leftrightarrow \neg A \wedge \neg B\)

Q: Prinzip der Assoziativität für zusammengesetzte Aussagen A, B und C
A: \(A \wedge (B \wedge C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \wedge C\)
\(A \vee (B \vee C) \Leftrightarrow (A \vee B) \vee C\)

Q: Prinzip der Kommutativität für zusammengesetzte Aussagen A und B
A: \(A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A\)
\(A \vee B \Leftrightarrow B \vee A\)

Q: Prinzip der Distributivität für zusammengesetzte Aussagen A, B und C
A: \(A \wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)\)
\(A \vee (B \wedge C) \Leftrightarrow (A \vee B) \wedge (A \vee C)\)

Q: Prinzip der Idempotenz für eine Aussage A
A: \(A \wedge A \Leftrightarrow A\)
\(A \vee A \Leftrightarrow A\)

Q: Prinzip der Kontraposition für Implikation und Äquivalenz von zwei Aussagen A und B
A: \(A \rightarrow B \Leftrightarrow \neg B \rightarrow \neg A\)
\(A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \neg B \leftrightarrow \neg A\)

Q: Definition Allquantor
A: Der Allquantor ist das Symbol \(\forall\).
Die Aussage \(\forall x \: A(x)\) bedeutet "für alle \(x\) gilt \(A(x)\)" oder "für jedes \(x\) gilt \(A(x)\)" oder "für beliebiges \(x\) gilt \(A(x)\)".

Q: Definition Existenzquantor
A: Der Existenzquantor ist das Symbol \(\exists\).
Die Aussage \(\exists x \: A(x)\) bedeutet "es gibt ein \(x\) mit \(A(x)\)" oder "es gibt mindestens ein \(x\) mit \(A(x)\)" oder "es existiert \(x\) mit \(A(x)\)".
Die Aussage \(\exists ! x \: A(x)\) bedeutet "es gibt genau ein \(x\) mit \(A(x)\)".

Q: [...] ist gleichbedeutend mit \[\exists x \: (A(x) \wedge \forall y: (A(y) \rightarrow y = x))\]
A: \[\exists! x \: A(x)\]

Q: \[\exists ! x : A(x)\] ist gleichbedeutend mit [...]
A: \[\exists x \: (A(x) \wedge \forall y: (A(y) \Rightarrow y = x))\]

Q: Definition Menge
A: Eine Menge ist eine Ansammlung von Elementen. Falls \(a\) ein Element von \(X\) ist, schreibt man \(a \in X \), andernfalls \(a \notin X\).

Q: Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen \(X\) und \(Y\) sind gleich genau dann, wenn [...]
A: sie dieselben Elemente besitzen, das heisst: \[X = Y \Leftrightarrow \forall x: (x \in X) \leftrightarrow (x \in Y)\]

Q: Definition Tupel
A: Ein Ausdruck der Form \((x_1, \ldots, x_n)\) heisst n-Tupel. Zwei gegebene n-Tupel \((x_1, ..., x_n)\) und \((y_1, ..., y_n)\) sind gleich genau dann, wenn für alle \(1 \leqslant i \leqslant n\) gilt \(x_i = y_i\).

Q: Definition Kartesisches Produkt
A: Das kartesische Produkt endlich vieler Mengen \(X_1, ..., X_n\) ist die Menge aller n-Tupel
\[X_1 \times ... \times X_n := \times_{i=1}^n X_i := \{(x_1, ..., x_n) \vert \: \forall 1 \leqslant i \leqslant n: x_i \in X_i\}\] Das kartesische Produkt einer Menge \(X\) n-mal mit sich selbst wird folgendermassen abgekürzt: \[X^n := X \times ... \times X\]

Q: Für gegebene Mengen \(X\) und \(Y\) ist [...] die Menge aller Abbildungen \(Y \rightarrow X\).
A: Abb(\(Y, X\)) oder \(X^Y\)

Q: Für gegebene Mengen \(X\) und \(Y\) ist Abb(\(Y, X\)) oder \(X^Y\) die [...]
A: Menge aller Abbildungen \(Y \rightarrow X\).

Q: Das kartesische Produkt einer beliebigen Kollektion von Mengen \(X_i\) für \(i \in I\) ist die Menge [...]
A: \[\times_{i \in I} \: X_i := \{(x_i)_{i \in I} \in \text{Abb}(I, \bigcup_{i \in I} X_i) \vert \: \forall i \in I: x_i \in X_i \} \]

Q: Definition Vereinigung zweier Mengen \(X\) und \(Y\)
A: \[X \cup Y := \{x \: \vert \: x \in X \vee x \in Y\}\]

Q: Definition Durchschnitt zweier Mengen \(X\) und \(Y\)
A: \[X \cap Y := \{x \: \vert \: x \in X \wedge x \in Y\}\]

Q: Definition Differenzmenge zweier Mengen \(X\) und \(Y\)
A: \[X \: \diagdown \: Y := \{x \: \vert \: x \in X \wedge x \notin Y\}\]

Q: Prinzip der Assoziativität für Mengen \(X, Y\) und \(Z\)
A: \(X \cap (Y \cap Z) = (X \cap Y) \cap Z\)
\(X \cup (Y \cup Z) = (X \cup Y) \cup Z\)

Q: Prinzip der Distributivität für Mengen \(X, Y\) und \(Z\)
A: \(X \cap (Y \cup Z) = (X \cap Y) \cup (X \cap Z)\)
\(X \cup (Y \cap Z) = (X \cup Y) \cap (X \cup Z)\)

Q: Prinzip der Kommutativität für Mengen \(X\) und \(Y\)
A: \(X \cap Y = Y \cap X\)
\(X \cup Y = Y \cup X\)

Q: Prinzip der Idempotenz einer Menge \(X\)
A: \(X \cap X = X\)
\(X \cup X = X\)

Q: Prinzip der Absorption für Mengen \(X\) und \(Y\)
A: \(X \cap (X \cup Y) = X\)
\(X \cup (X \cap Y) = X\)

Q: Definition Teilmenge
A: Eine Menge \(Y\) heisst Teilmenge einer Menge \(X\), wenn jedes Element von \(Y\) auch ein Element von \(X\) ist, d.h.: \[\forall x: x \in Y \rightarrow x \in X\]
Man schreibt \(Y \subset X\) bzw. \(X \supset Y\).

Q: Definition echte Teilmenge
A: Eine Menge \(Y\) heisst echte Teilmenge von \(X\), falls \(Y\) eine Teilmenge von \(X\) ist und zusätzlich \(X \neq Y\) gilt.
Man schreibt \(Y \subsetneqq X\) bzw. \(X \supsetneqq Y\).

Q: Definition Kardinalität
A: Eine Menge \(X\) heisst endlich der Kardinalität \(n \in \mathbb{Z}^{\geqslant 0}\) wenn es eine bijektive Abbildung \(\{1, ..., n\} \rightarrow X\) gibt.
Andernfalls heisst \(X\) unendlich oder der Kardinalität \(\infty\).
Die Kardinalität von \(X\) ist eindeutig bestimmt und wird bezeichnet mit \(\vert X \vert\) oder #\(X\) oder card(\(X\)).