Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.13

Q: Definition normale Abbildung (unitäre Vektorräume)
A: Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum. Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow V\), deren Adjungierte \(f^{\ast}\) existiert und die Gleichung \(f^{\ast} \circ f = f \circ f^{\ast}\) erfüllt, heisst normal.

Q: Proposition: Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum.
(a) Jede [...] ist normal.
(b) Jede [...] hat Adjungierte [...] und ist normal.
A: selbstadjungierte lineare Abbildung; unitäre lineare Abbildung \(f: V \stackrel{\sim}{\rightarrow} V\); \(f^{-1}\)

Q: Beispiel: Jede [...] kommutiert mit [...]; also ist [...] normal.
A: komplexe Diagonalmatrix \(D\); ihrer Adjungierten \(D^{\ast}\); der Endomorphismus \(L_D\) von \(\mathbb{C}^n\)

Q: Proposition: Ist [...], so ist [...].
A: \(f\) normal; \(f^{\ast}\) normal

Satz: Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum. Sei \(f\) ein normaler Endomorphismus von \(V\), und sei \(\lambda \in \mathbb{C}\).
(a) Der Eigenraum von \(f\) zum Eigenwert \(\lambda\) ist gleich dem Eigenraum von \(f^{\ast}\) zum Eigenwert \(\overline{\lambda}\).
(b) Für jeden Eigenvektor \(v\) von \(f\) ist die Zerlegung  \(V = \mathbb{C}v \oplus (\mathbb{C}v)^{\perp}\) invariant unter \(f\), das heisst, es gilt \(f(\mathbb{C}v) \subset \mathbb{C}v\) und \(f((\mathbb{C}v)^{\perp}) \subset (\mathbb{C}v)^{\perp}\).
(c) Die Eigenräume von \(f\) zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander.

Spektralsatz: Für jeden Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen unitären Vektorraums \(V\) sind äquivalent:
(a) Der Endomorphismus \(f\) ist normal.
(b) Es existiert eine Orthonormalbasis von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(f\).
Insbesondere ist jeder normale Endomorphismus diagonalisierbar.