Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_01

Q: Wie ist ein offener bzw. abgeschlossener Quader definiert?
Wann spricht man von einem Würfel?
A: \(Q=I_1\times...\times I_n\)
für offene bzw. abgeschlossene, beschränkte, nichtleere Intervalle \(I_1, ... ,I_n \subseteq \mathbb{R}\)
Würfel, falls die Länge aller Intervalle übereinstimmt.

Q: Wie ist das Volumen des Quaders \(Q=I_1\times ... \times I_n,\; n\geq 1\) definiert?
A: \(\text{vol}(Q)=\text{vol}(\overline{Q}) = \text{vol}(Q^\circ) = (b_1-a_1)...(b_n-a_n)\)
Wobei \(a_k=\inf I_k\) und \(b_k = \sup I_k\) für \(k=1,...,n\)

Q: Sei \(Q = (a_1,b_1)\times ... \times (a_n,b_n)\).
Wie sind eine Zerlegung von \(Q\) und deren Teilquadern definiert?
A: Für jedes \(k\in {1,...,n}\) sei \(\mathfrak{Z}_k = \{a_k = x_{k,1} < ... < x_{k,A(k)} =b_k\}\) eine Zerlegung von \([a_k,b_k]\).
Dann ist die Zerlegung des Quaders Q:
\(\mathfrak{Z} = (\mathfrak{Z}_1,...,\mathfrak{Z}_n)\)
Die entsprechenden (offenen) Teilquadern sind dann:
\(Q_\alpha = (x_{1,\alpha_1-1},x_{1,\alpha_1})\times ... \times (x_{n,\alpha_n-1},x_{n,\alpha_n})\)
mit \(\alpha_k \in \{1,...,A(k)\}\) für alle \(k\).

Q: Was bedeutet \(Q_\alpha \sqsubset \mathfrak{Z}\) ?
A: \(Q_\alpha\) ist ein Teilquader gemäss der Zerlegung \(\mathfrak{Z}\)

Q: Ist \(\mathfrak{Z}\) eine Zerlegung eines Quaders \(Q\), so gilt die Additionsformel:
[...] = [...]
A: \(\text{vol}(Q)\); \( \sum_{Q_\alpha\sqsubset\mathfrak{Z} } \text{vol}(Q_\alpha) \)

Riemann-Integral auf Quadern
Sei \(f : \to \mathbb{R}\) eine beschränkte Funktion auf einem abgeschlossenen Quader \(Q\) und \(\mathfrak{Z}\) eine Zerlegung von \(Q\).
Dann ist:
Die Untersumme: \(U(f,\mathfrak{Z}) = \sum_{Q_{\pmb{\alpha} }\sqsubset \mathfrak{Z} } \inf (f(Q_{\pmb{\alpha} }) ) \text{vol}(Q_{\pmb{\alpha} })\)
Die Obersumme: \(O(f,\mathfrak{Z}) = \sum_{Q_{\pmb{\alpha} }\sqsubset \mathfrak{Z} } \sup (f(Q_{\pmb{\alpha} }) ) \text{vol}(Q_{\pmb{\alpha} })\)
Das untere Integral: \(\underline{I}(f) = \sup{ \{ U(f,\mathfrak{Z})} \,\vert\, \mathfrak{Z} \text{ ist eine Zerlegung von } Q \} \)
Das obere Integral: \(\overline{I}(f) = \inf{ \{ O(f,\mathfrak{Z})} \,\vert\, \mathfrak{Z} \text{ ist eine Zerlegung von } Q \} \)
Die Funktion \(f\) heisst R-intbar, falls \(\underline{I}(f) = \overline{I}(f)\)
Dann ist das Riemann-Integral gegeben durch:
\[\int_Q f \;\text{dvol} = \underline{I}(f) = \overline{I}(f)\]

Sei \(f : Q \to \mathbb{R}\) eine beschränkte Funktion.
Seien \(\mathfrak{Z} = (\mathfrak{Z}_1,\ldots,\mathfrak{Z}_n)\) und \(\mathfrak{Z}' = (\mathfrak{Z}_1',\ldots,\mathfrak{Z}_n')\) zwei Zerlegungen von dem Quader \(Q\).
Dann gilt: \(U(f,\mathfrak{Z})\) \(\leq\) \(O(f,\mathfrak{Z}')\)
Ist zusätzlich \(\mathfrak{Z}'\) eine Verfeinerung von \(\mathfrak{Z}\) gilt desweiteren:
\(U(f,\mathfrak{Z})\) \(\leq U(f,\mathfrak{Z}') \leq O(f,\mathfrak{Z}') \leq\) \(O(f,\mathfrak{Z})\)

Q: Erste Charakterisierung von Riemann-Integrierbarkeit:
Sei \(f\) eine beschränkte reellwertige Funktion auf dem Quader \(Q\subset\mathbb{R}^n\). Dann ist \(f\) genau dann Riemann-integrierbar, wenn ...
A: zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine Zerlegung \(\mathfrak{Z}\) von \(Q\) mit \(O(f,\mathfrak{Z}) - U(f,\mathfrak{Z}) < \varepsilon\) existiert.

Q: Linearität des Riemann-Integrals:
Seien \(f_1,f_2\) Riemann-integrierbare reellwertige Funktionen auf
dem Quader \(Q\subset\mathbb{R}^n\) und \(s_1,s_2 \in \mathbb{R}\).
Was gilt für die Linearkombination \(s_1f_2+s_2f_2\) ?
A: Sie ist Riemann-integrierbar und es gilt:
\[\int_Q (s_1f_1+s_2f_2) \;\text{dvol} = s_1 \int_Q f_1 \;\text{dvol} + s_2 \int_Q f_2 \;\text{dvol}\]

Monotonie und Dreiecksungleichung des R-Integrals:
Sei \(Q\) ein \(n\)-dimensionaler Quader. Für zwei Riemann-integrierbare Funktionen \(f_1,f_2:Q \to \mathbb{R}\) gelten folgende Monotonie-Eigenschaften:
- Falls \(f_1\geq 0\) ist, so gilt  \(\int_Q f_1 \;\text{dvol}\) \(\geq 0\).
- Falls \(f_1 \leq f_2\) ist, so gilt \(\int_Q f_1 \;\text{dvol}\) \(\leq \int_Q f_2 \;\text{dvol}\).
- Die Funktion \(|f_1|: Q \to \mathbb{R}\) ist Riemann-integrierbar und es gilt die Dreiecksungleichung \[\bigg| \int_Q f_1 \;\text{dvol} \bigg| \leq \int_Q |f_1| \;\text{dvol}\]