Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.3

Q: Definition (symmetrische) Bilinearform
A: Eine Bilinearform auf einem \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) ist eine Abbildung
\[ \beta: V \times V \rightarrow \mathbb{K}, \; (v, w) \mapsto \beta(v, w)\]
so dass für alle \(v, v', w, w' \in V\) und \(\lambda \in \mathbb{K}\) gilt:
- \(\beta(v, w + w') = \beta(v, w) + \beta(v, w')\) (rechts additiv)
- \(\beta(v + v', w) = \beta(v, w) + \beta(v', w)\) (links additiv)
- \(\beta(v, \lambda w) = \lambda\beta(v, w)\) (rechts homogen)
- \(\beta(\lambda v, w) = \lambda\beta(v, w)\) (links homogen)
Eine Bilinearform \(\beta\) heisst symmetrisch, wenn zusätzlich für alle \(v, w \in V\) gilt:
\[ \beta(v, w) = \beta(w, v)\]

Q: Eigenschaften einer Bilinearform
A: - \(\beta(v, w + w') = \beta(v, w) + \beta(v, w')\) (rechts additiv)
- \(\beta(v + v', w) = \beta(v, w) + \beta(v', w)\) (links additiv)
- \(\beta(v, \lambda w) = \lambda\beta(v, w)\) (rechts homogen)
- \(\beta(\lambda v, w) = \lambda\beta(v, w)\) (links homogen)

Q: Definition symmetrische Matrix
A: Eine quadratische Matrix \(A\) mit \(A = A^T\) heisst symmetrisch.

Q: Beispiel: Für jede \(n \times n\)-Matrix \(A\) über \(\mathbb{K}\) ist die folgende Abbildung eine Bilinearform:
\[ \beta_A: \mathbb{K}^n \times \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}, \; (x, y) \mapsto [...] \]
Diese ist symmetrisch genau dann, wenn [...].
A: x^TAy; \(A\) symmetrisch ist