Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_06
Tags: 11.6Wegintegral

Q: Wie berechnet sich die Länge eines stetig differenzierbaren Weges \(\gamma: [a,b] \rightarrow U \subseteq \mathbb{R}\)?
A: \[L(\gamma ) = \int_a^b \Vert \gamma ' (t) \Vert dt\]

Q: Definition 11.40 (Stückweise differenzierbare Wege und deren Längen): Ein stetiger Weg \(\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^n \) heisst stückweise stetig differenzierbar, falls [...] existiert, sodass [...]. Die Länge des Weges \(\gamma\) ist definiert durch:
A: eine Zerlegung \(\zeta = \{a = s_0 < ... < s_K = b\} \) von \([a,b]\); \(\gamma | _{[s_{k-1}, s_k]} \) für alle  \(1 \le k \le K\) stetig differenzierbar ist
Back Extra: \[L(\gamma) = \sum_{k = 1}^K L(\gamma_k) = \sum_{k = 1}^K \int_{s_{k-1}}^{s_k} \Vert (\gamma |_{[s_{k-1}, s_k]} )'(s) \Vert ds \]

Q: Definition 11.43 (Wegintegral eines Vektorfeldes). Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \rightarrow \mathbb{R}^n\) ein stetiges Vektorfeld. Wie ist das Wegintegral des Vektorfeldes \(f\) entlang eines stetig differenzierbaren Weges \(\gamma : [a,b] \rightarrow U\) definiert?
A: \[\int_{\gamma} f \cdot ds = \int_a^b \langle f(\gamma (s)), \gamma ' (s) \rangle ds\]

Q: Lemma 11.44 (Reparametrisierungen und Richtungsumkehr eines Weges). \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, \(f:U \rightarrow \mathbb{R}^n\) stetiges Vektorfeld, \(\gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^n\) stetig differenzierbarer Weg mit \(a<b\). Wie verhält sich der Wert des Wegintegrals \(\int_{\gamma} f \cdot ds\) unter Reparametrisierungen?
A: - Unter orientierungserhaltenden Reparametrisierungen ändert sich der Wert nicht.
- Für den den umgekehrten Weg ändert sich das Vorzeichen des Wegintegrals.