Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.14

Q: Lemma: Alle komplexen Eigenwerte einer reellen symmetrischen Matrix sind [...]
A: reell.

Q: Lemma: Sei \(f\) ein selbstadjungierter Endomorphismus eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\). Ist \(\text{dim}(V) > 0\), so [...]
A: besitzt \(f\) einen Eigenwert in \(\mathbb{R} \).

Q: Lemma: Sei \(f\) ein selbstadjungierter Endomorphismus einer endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\). Für jeden Eigenvektor \(v \in V\) von \(f\) ist die Zerlegung \(V = \mathbb{R}v \oplus (\mathbb{R}v)^{\perp}\) [...], das heisst, es gilt [...]
A: invariant unter \(f\); \(f(\mathbb{R}v) \subset \mathbb{R}v \; \text{und} \; f((\mathbb{R}v)^{\perp}) \subset (\mathbb{R}v)^{\perp}.\)

Q: Spektralsatz: Für jeden [...] eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\) existiert eine [...]
A: selbstadjungierten Endomorphismus \(f\); Orthonormalbasis von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(f\).

Q: Folge: Jeder [...] eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\) ist [...].
A: selbstadjungierte Endomorphismus; diagonalisierbar

Q: Definition Hauptachsen von \(f\)
A: Sei \(f\) ein selbstadjungierter Endomorphismus eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\). Nach dem Spektralsatz existiert eine Orthonormalbasis von \(V\) aus Eigenvektoren von \(f\). Die von den Vektoren dieser Orthonormalbasis erzeugten Geraden heissen die Hauptachsen von \(f\).

Q: Bemerkung: Die Hauptachsen von \(f\) bilden [...], in welchem \(f\) durch [...] beschrieben wird.
A: ein kartesisches Koordinatensystem; je eine Streckung um voneinander unabhängige reelle Faktoren in alle Koordinatenrichtungen

Hauptachsentransformation 1: Für jede reelle symmetrische Matrix \(A\) existiert eine orthogonale Matrix \(Q\), so dass \(Q^{-1}AQ\) = \(Q^TAQ\) Diagonalgestalt hat.

Methode: Sei \(f\) ein selbstadjungierter Endomorphismus eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\). Um eine Orthonormalbasis von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(f\) zu bestimmen geht man folgendermassen vor:
1. Bestimmen der Eigenwerte von \(f\) mithilfe des charakteristischen Polynoms.
2. Bestimmen einer Basis zum Eigenraum zu jedem Eigenwert von \(f\).
3. Anwenden der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung auf die Basis jedes Eigenraums.
4. Zusammenfügen der Orthonormalbasen der Eigenräume zu einer Orthonormalbasis des gesamten Raums \(V\).