Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.5

Q: Definition positiv definit (für eine symmetrische Bilinearform)
A: Eine symmetrische Bilinearform \[ \langle \: , \: \rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, (v, w) \mapsto \langle v, w \rangle\]
heisst positiv definit, wenn gilt:
\[\forall v \in V \backslash \{0\} : \langle v, v \rangle > 0\]

Q: Definition Betrag eines Vektors
A: Sei \(V\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum. Der Betrag eines Vektors \(v \in V\) bezüglich eines Skalarprodukts \(\langle \:, \: \rangle\) ist die Zahl
\[\Vert v \Vert := \sqrt{\langle v, v \rangle} \in \mathbb{R}^{\geqslant 0}\]

Q: Definition Skalarprodukt
A: Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, positiv definite Bilinearform.

Q: Definition Euklidischer Vektorraum
A: Ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heisst euklidischer Vektorraum \((V, \langle \:, \: \rangle)\).

Q: Definition Standard-Skalarprodukt
A: Das Standard-Skalarprodukt auf \(\mathbb{R}^n\) ist für \(x = (x_i)_i\) und \(y = (y_i)_i\) gegeben durch:
\[\langle x, y \rangle := x^Ty = x_1y_1 + \ldots + x_ny_n\]
Der zugehörige Betrag ist die \(\ell_2\)-Norm:
\[ \Vert x \Vert := \sqrt{x_1^2 + \ldots + x_n^2}\]

Q: Beispiel: Sei \(V\) ein Unterraum des Raums der stetigen Funktionen \( [a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) für reelle Zahlen \(a < b\). Sei \(\varphi\) eine stetige Funktion \([a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{\geqslant 0}\) mit höchstens endlich vielen Nullstellen. Dann ist
\[ \langle f, g \rangle := [...] \]
ein Skalarprodukt auf \(V\).
A: \int_a^b f(t)g(t)\varphi(t) dt

Q: Definition positiv definit (für eine Matrix)
A: Eine reelle symmetrische \(n \times n\)-Matrix \(A\) mit der Eigenschaft \(x^TAx > 0\) für alle \(0 \neq x \in \mathbb{R}^n\) heisst positiv definit.

Q: Proposition: Sei \(V\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum. Sei \(B\) eine geordnete Basis von \(V\). Eine symmetrische Bilinearform \(\langle \:, \: \rangle\) auf \(V\) ist positiv definit genau dann, wenn [...]
A: die Darstellungsmatrix \([\langle \:, \: \rangle]_B\) positiv definit ist.

Q: Beispiel: Für jede positiv definite symmetrische reelle \(n \times n\)-Matrix \(A\) ist die folgende Abbildung
 ein Skalarprodukt auf \(\mathbb{R}^n\):
[...]
und umgekehrt hat jedes Skalarprodukt auf \(\mathbb{R}^n\) diese Form.
A: \[ \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \; (x, y) \mapsto x^TAy\]