Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_02

Q: 1. Satz 11.13 (Kettenregel) Seien \(k,m,n \geq 1\), \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen, \(V \subseteq \mathbb{R}^m \) offen. Weiter sei \(f: U \to V\) bei \(x_0 \) differenzierbar und \(g: V \to \mathbb{R}^k \) bei \(f(x_0)\) differentierbar. Dann ist \(g \circ f\)[...].
A: bei \(x_0 \) differenzierbar und die totale Ableitung \(D_{x_0}(g\circ f)\) bei \(x_0 \) ist durch die Verknüpfung der linearen Abbildungen \(D_{x_0}(g\circ f) = D_{f(x_0)}g \circ D_{x_0}f\) gegeben

Q: Def. Seien \(I \) ein offenes Intervall in einer offenen Teilmenge \(V \subseteq \mathbb{R}^m\), \(f : V \to \mathbb{R}^k\) eine differenzierbare Funktion und \(\gamma : I \to V \) ein differenzierbarer Weg. Sei \(t \in I\) und \(x \in V\). So interpretieren wir den Gradienten der Funktion \(f \) bei der Stelle \(x\), \(D_xf\), als den Spaltenvektor [...].
In dieser Schreibweise erhalten wir die Formel [...] für alle \(t \in I.\)
A: grad\(f(x) = \nabla f(x) = (D_xf)^t \in \mathbb{R}^m\); \((f \circ \gamma)'(t) = D_{\gamma(t)}f \cdot \gamma' = \langle \nabla f(\gamma (t)),\gamma'(t)\rangle\)

Q: Def. Für \(x \in \mathbb{R}^n\) definieren wir den Tangentenraum \(T_x\mathbb{R}^n\) von \(\mathbb{R}^n\) bei \(x\) durch [...]. Dieser bildet einen Vektorraum via \((x,v) + (x,w) = (x,v+w), \alpha(x,v) = (x,\alpha v)\) für \((x,v),(x,w) \in T_x\mathbb{R}^n\) und \(\alpha \in \mathbb{R}.\)
Das Tangentenbündel \(T\mathbb{R}^n\) ist dann [...].
A: \(T_x\mathbb{R}^n = \{x\} \times \mathbb{R}^n\); die disjunkte Vereinigung aller Tangentenräume, also \(T\mathbb{R}^n = \bigsqcup_{x\in\mathbb{R}^n}T_x\mathbb{R}^n =\bigsqcup_{x\in\mathbb{R}^n}\{x\} \times \mathbb{R}^n = \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \)

Q: Satz 11.14 (Mittelwertsatz)  Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \to \mathbb{R}^n\) differenzierbar. Sei \(x_0 \in U \) und \(h \in \mathbb{R}^n\). Falls \(x_0 + th \in U\) für alle \(t \in [0,1]\), dann gilt [...].
A: \(f(x_0 + h) - f(x_0) = D_\xi f(h) = \partial_h f(\xi)\) für ein \(\xi = x_0 + t_\xi h\) mit \(t_\xi \in (0,1)\)

Q: Kor. 11.15 Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) ein Gebiet und sei \(f : U \to \mathbb{R}^m\) differenzierbar mit \(D_xf=0\) für alle \(x \in U\). Dann ist [...].
A: \(f\) konstant

Q: Def. Eine Funktion \(f: X \to Y \) zwischen zwei metrischen Räumen X,Y heisst lokal Lipschitz-stetig, falls [...].
A: für jedes \(x_0 \in X\) ein \(\varepsilon > 0\) existiert, so dass \(f \vert_{B_\varepsilon (x_0)}\) Lischitz-stetig ist

Q: Korollar 11.17 Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und sei \(f: U \to \mathbb{R}^m\) eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist \(f\) lokal Lipschitz-stetig. Falls \(f \) zusätzlich [...],
dann ist \(f\) sogar Lipschitz-stetig.
A: konvex und die Ableitung beschränkt ist