Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.04

Q: Sei \(K\) ein Unterkörper eines Körpers \(L\), das heisst eine Teilmenge, welche mit den
von \(L\) induzierten Rechenoperationen selbst einen Körper bildet. Dann ist jeder \(L\)-Vektorraum mit derselben Addition und der auf \(K\) eingeschränkten skalaren Multiplikation auch [...]. Insbesondere wird \(L\) selbst zu einem [...].
A: ein \(K\)-Vektorraum; \(K\)-Vektorraum

Q: Für jeden \(K\)-Vektorraum \(V\) existiert genau eine Struktur als \(L\)-Vektorraum auf \(V \otimes_K L \), deren [...] die von \(V \otimes_K L \) ist und für die gilt:
[...]
A: additive Gruppe; \[ \forall x,y \in L \space \forall v \in V : x \cdot (v \otimes y) = v \otimes xy\]

Q: Definition:
Der \(L\)-Vektorraum \(V_L := V \otimes_K L\) heisst die [...] von \(V\) bezüglich \( K \subset L\).
A: Basiserweiterung

Q: Für jede Basis \(B\) der \(K\)-Vektoraums \(V\) bilden die Elemente [...] von \(V_L\) für alle \(b \in B\) eine Basis \(B_L\) des \(L\)-Vektroraums \(V_L\). Insbesondere gilt
[...]
A: \(b \otimes 1\); \[dim_L(V_L) = dim_K(V) \]

Q: Definition:
Die komplex Konjugierte eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \( (W,+,\cdot,0_W) \) ist der \(\mathbb{C}\)-Vektorraum \( (W,+,\overline{\cdot},0_W)\), bei dem die skalare Multiplikation \( \cdot \) ersetzt wurde durch
[...]
So wie wir üblicherweise \( (W,+,\cdot,0_W) \) mit \(W\) abkürzen, schreiben wir für \( (W,+,\overline{\cdot},0_W) \) nur kurz \( \overline{W} \).
A: \[ \overline{\cdot} : \mathbb{C} \times W \rightarrow W, \space (z,w) \mapsto z \overline{\cdot} w := \overline{z} \cdot w\]

Q: Für jeden \(\mathbb{C} \)-Vektorraum \(W\) gilt \( \overline{(\overline{W})} = W \).
Jede [...] ist auch eine Basis von \(\overline{W}\).
A: Basis von \(W\)

Q: (Vergleiche Kap 10)
Für jeden endlich-dimensionalen unitären Vektorraum \(W\) existiert ein [...] von \(\mathbb{C}\)-Verktorräumen.
[...]
A: natürlicher Isomorphismus; \[\delta : \overline{W} \tilde{\longrightarrow} W^\vee := Hom_\mathbb{C}(W,\mathbb{C}), \quad v \mapsto \delta(v) := \langle v,\quad \rangle\]

Q: Für jeden \(\mathbb{C}\)-Vektorraum \(W\) existiert ein [...] von \(\mathbb{C}\)-Vektorräumen
[...]
A: natürlicher Isomorphismus; \[W \otimes_R \mathbb{C} \tilde{\longrightarrow} W \space\boxplus\space \overline{W}, \space w \space\otimes\space z \mapsto (z\cdot w, z \overline{\cdot}w).\]

Q: Im Fall \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) heisst \(V_{\mathbb{C}}\) die [...] des reellen Vektorraums \(V\).
A: Komplexifizierung