Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.15

Q: Hauptachsentransformation 2:
Für jede [...] [...] Matrix \(A\) existiert eine Orthonormalbasis von \( \mathbb{R}^{n} \), bezüglich welcher die Bilinearform
\[\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto x^TAy \]
[...] erhält.
A: reelle; symmetrische; Diagonalgestalt

Definition: Eine symmetrische Bilinearform \(\beta\) auf einem reellen Vektorraum heisst:
(a) nicht-ausgeartet wenn \( \forall v \in V \setminus \set{0} \: \exists w \in V : \beta (v, w) \neq 0 \) 
(b) ausgeartet wenn \( \exists v \in V \setminus \set{0}: \forall w \in V : \beta (v, w) = 0 \) 
(c) positiv definit wenn \( \forall v \in V \setminus \set{0} : \beta (v, v) > 0 \) 
(d) positiv semi-definit wenn \(\forall v \in V : \beta (v, v) \geqslant 0 \)
(e) negativ definit wenn  \( \forall v \in V \setminus \set{0} : \beta (v, v) < 0 \)
(f) negativ semi-definit wenn \( \forall v \in V : \beta (v, v) \leqslant 0 \)
(g) indefinit wenn \( \exists v,w \in V : \beta (v, v) > 0 > \beta(w,w) \)

Q: Bemerkung: Es ist \(\beta\) [...] genau dann, wenn \(-\beta\) [...] ist.
A: positiv definit; negativ definit

Satz: Sei \(\beta\) eine symmetrische Bilinearform auf einem endlich-dimensionalen \(\mathbb{R}\)-Vektorraum \(V\).
(a) Es existiert eine geordnete Basis von \(V\), bezüglich welcher die Darstellungsmatrix von \(\beta\) eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen aus \( \{+1, -1, 0\} \) ist.
(b) Die Anzahl \(d_0\) der Diagonaleinträge 0 ist die Dimension des Kerns der linearen Abbildung \(V \rightarrow V^{V}, v \mapsto \beta (v, \: )\).
(c) Die Anzahl \(d_\pm\) der Diagonaleinträge \(\pm 1\) ist die maximale Dimension eines Teilraums \(U \subset V\) , für den die Einschränkung \(\pm \beta \vert_{U \times U} \) positiv definit ist.
(d) Insbesondere sind die Diagonaleinträge bis auf Vertauschung unabhängig von der in (a) gewählten Basis.

Q: Definition:
- Das Tupel \((d_+,d_-)\) oder \((d_0, d_+, d_-)\) heisst die [...] von \(\beta\).
- Die Zahl \(d_+ + d_-\) heisst der [...] von \(\beta\).
- Die Zahl \(d_+ - d_-\) heisst der [...] von \(\beta\).
A: Signatur; Rang; Index

Q: Zusatz: Für jede geordnete Basis \(B\) von \(V\) ist:
\(d_+\) die Anzahl der [...] von \([\beta]_B\) mit Vielfachheiten.
\(d_-\) die Anzahl der [...] von \([\beta]_B\) mit Vielfachheiten.
\(d_+ + d_-\) der [...] von \([\beta]_B\).
A: positiven Eigenwerte; negativen Eigenwerte; Rang

Q: Über jedem Körper \(\mathbb{K}\) mit \(1 + 1 \neq 0\) gilt:
Satz: Für jede [...] Matrix \(A\) über \(\mathbb{K}\) existiert eine [...] Matrix \(U\), sodass \(U^{T}AU\) eine [...] ist.
A: symmetrische; invertierbare; Diagonalmatrix

Konstruktion: Symmetrisches Gaussverfahren:
Schreibe \(A = (a_{ij})_{i,j=1, \ldots, n,}\).
(a) Ist \(a_{11} \neq 0\), setzte \(S\) :=  \( \begin{pmatrix} 1 & -v/a_{11}\\ 0 & I_{n-1} \end{pmatrix} \)  für den Zeilenvektor \( v = (a_{12}, \ldots, a_{1n}) \). Dann ist \(S^TAS = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \) für eine symmetrische \( (n-1) \times (n-1) \)-Matrix \(B\), und die Aussage folgt durch Induktion.
(b) Ist \(a_{11} = 0 \neq a_{ii}\) für ein \(i > 1\), sei \(S\) die Permutationsmatrix zur Vertauschung von \(1\) und \(i\). Dann gilt Fall (a) für die Matrix \(S^{T}AS\).
(c) Ist \(a_{11} = a_{ii} = 0 \neq a_{1i}\) für ein \(i > 1 \), setze \(S\) := \(I_n + E_{i1} \). Dann gilt Fall (a) für die Matrix \(S^{T}AS\).
(d) Ist \(a_{1i} = 0\) für alle \(i \geqslant 1\), so ist \(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \) für eine symmetrische \((n -1) \times (n-1)\)-Matrix \(B\), und die Aussage folgt durch Induktion.