Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.14

Satz: Für jeden unitären Endomorphismus \(f\) eines unitären Vektorraums \(V\) gilt:
(a) Alle Eigenwerte von \(f\) haben Absolutbetrag \(1\).
(b) Ist \(\text{dim}(V) < \infty\), so existiert eine Orthonormalbasis von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(f\). Insbesondere ist \(f\) dann  diagonalisierbar.

Proposition: Für alle komplexen \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
(a) Ist \(B\) invertierbar, so gilt \(\text{exp}(B^{-1}AB)\) \(=\) \(B^{-1} \cdot \text{exp}(A) \cdot B\).
(b) Gilt \(AB = BA\), so ist \(\text{exp}(A + B)\) \(=\) \(\text{exp}(A) \cdot \text{exp}(B)\).
(c) Die Matrix \(\text{exp}(A)\) ist invertierbar mit \(\text{exp}(A)^{-1}\) \(=\) \(\text{exp}(-A)\).
(d) Es gilt \(\text{exp}(A^T)\) \(=\) \((\text{exp}(A))^T\).
(e) Es gilt \(\text{exp}(A^{\ast})\) \(=\) \((\text{exp}(A))^{\ast}\).

Proposition: Für jede hermitesche Matrix \(A\) ist die Matrix \(\text{exp}(A)\) hermitesch. Ist weiter \(Q\) eine unitäre Matrix und \(Q^{-1}AQ\) eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\), so ist \(Q^{-1}\text{exp}(A)Q\) eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen \(e^{\lambda_1}, \ldots, e^{\lambda_n}\).

Proposition: Für jede hermitesche \(n \times n\)-Matrix \(A\) ist die Matrix \(\text{exp}(iA)\) unitär, und jede unitäre Matrix ist in dieser Form darstellbar.