Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_06

Q: Glattheit der Faltung
Sei \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) eine stetige Funktion.
Sei \(\psi: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) eine glatte (oder auch nur \(C^k\) für \(k\in \mathbb{N}_0\)) Funktion mit kompaktem Träger. Dann definiert
\[\psi \ast F(p) = [...]\]
für \(p \in U\) eine glatte (oder \(C^k\)) Funktion mit Träger in [...]
A: \int_{\mathbb{R}^n} \psi(p-v) F(v) \; \text{dvol} (v); \(\text{supp}(\psi) + \text{supp}(F)\)

Q: Für jede stetige Funktion \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) mit kompakten Träger und jedes \(\varepsilon>0\) existiert...
A: ...eine glatte Funktion \(F_{glatt}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) mit kompakten Träger und \(\| F- F_{glatt}\|_\infty<\varepsilon\).
Somit liegen glatte Funktionen dicht in den stetigen Funktionen.

Sei \(K \subseteq \mathbb{R}^n\) eine kompakte Teilmenge und \(O_1,\ldots,O_L\) eine offene Überdeckung von \(K\). Dann existieren glatte Funktionen
\[\psi_0,\psi_1,\ldots,\psi_L:\mathbb{R}^n\to[0,1],\]
so dass
- \(\text{supp}(\psi_0) \cap K = \emptyset\)
- \(\text{supp}(\psi_\ell) \subseteq O_\ell\) für \(\ell \in \set{1,\ldots,L}\)
- \(\sum_{\ell=0}^L \psi_\ell =1\)
Wie nennt man eine solche Kollektion von Funktionen?
Back Extra: Eine glatte Partition der Eins für die offene Überdeckung \(O_1,\ldots,O_L\) von \(K\).

Q: Annäherung durch Faltung
Sei \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), \(K\subset\mathbb{R}^n\) und \(\varepsilon>0\) und \(\delta>0\) , so dass für \(p\in K\) und \(q\in\mathbb{R}^n\) mit \(\|q-p\|<\delta\) die Abschätzung \(|F(q)-F(p)|<\varepsilon\) gilt. Falls \(\psi:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)\) Träger \(\text{supp}\,\psi\subset B_\delta(0)\) hat und \(\int_{B_\delta(0)}\psi\;\text{dvol}=1\) gilt, dann gilt
\[ \|\psi\ast F-F\|_{K,\infty} =[...]\leq[...]\]
Des Weiteren existieren [...] derartige glatte Funktionen \(\psi\).
A: \max_{p\in K}\|\psi\ast F(p)-F(p)\|; \varepsilon; für jedes \(\delta>0\)