Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 11 Mehrdim Diffrechnung / Kap11_03

Q: Def. Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f : U \to \mathbb{R}^m\) eine Funktion. Wir sagen, dass \(f\) zweimal stetig differenzierbar ist, falls [...] Im Allgemeinen heisst \(f\) \(d\)-mal stetig differenzierbar für ein \(d \geq 2\), falls [...] Weiter sei \(C^d(U) = \{f:U \to \mathbb{R} \vert\)\(f\) ist d-mal stetig differnezierbar} die Menge der d-mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen auf \(U\).
A: \(f\) stetig differenzierbar ist und für alle \(j,k \in \{1,...,n\}\) die partielle Ableitung \(\partial_kf : U \to \mathbb{R}^m\) wiederum eine stetige partielle Ableitung \(\partial_j \partial_k f\) besitzt.; \(f \) stetig differnezierbar ist und für jedes \(j \in \{1,...,n\}\) die partielle Ableitung \((d-1)\)-mal stetig differenzierbar ist.

Q: Def. Eine Funktion \(f\) heisst glatt, falls [...]
A: sie beliebig oft (also für alle \(d \in \mathbb{N}\) \(d\)-mal) stetig differenzierbar ist.

Q: Def. Wir sagen, dass eine iterierte partielle Ableitung einer \(d\)-mal stetig differnezierbaren Funktion \(f : U \to \mathbb{R}\) Ordnung \(l \) für \(l \in \{1,...,d\}\) hat, falls [...].
A: genau \(l\) partielle Ableitungen auf \(f\) angewandt werden

Q: Satz 11.20 (Satz von Schwarz). Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f: U \to \mathbb{R}\) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle \(j,k \in \{1,...,n\}\) [...]
auf ganz \(U.\)
A: \(\partial_j \partial_k f = \partial_k \partial_j f\)

Q: Def. Die Hesse-Matrix \(H(x) = (H_{ij}(x))_{ij} \in Mat_{n,n}(\mathbb{R})\) bei \(x \in U\) einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion \(f: U \to \mathbb{R}\) ist gegeben durch [...].
A: \(H_{ij}(x) = \partial_i \partial_jf(x)\) für \(i,j \in \{1,...,n\}\)

Q: Kor. 11.21 Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f : U \to \mathbb{R}^m\) d-mal stetig differenzierbar. Dann spielt die Reihenfolge der partiellen Ableitungen (bis zur d-ten Ordnung keine Rolle). Das heisst:
Für \(\forall i_1,...,i_d \in \{1,...,n\}\) und jeder Permuatation \(\sigma : \{1,...,d\} \to \{1,...,d\} \) bijektiv gilt [...].
A: \( \partial_{1_d} \dots \partial_{i_1}f = \partial_{i_{\sigma(1)} }\dots \partial_{i_{\sigma(d)} }f\)

Q: Satz 11.22  (Taylorapproximation mit Integralrestglied). Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f:U \to \mathbb{R}\) eine (\(d+1)\)-mal stetig differenzierbare Funktion. Sei \(x \in U\) und \(h \in \mathbb{R}^n\), so dass \(x + th \in U\) für alle \(t \in [0,1].\) Dann gilt  \(f(x+h)=\) [...].
A: \(f(x) +\sum_{k=1}^d \frac{1}{k!}(\partial_h^kf)(x) + R_{x,d}^f(h)\) wobei das Integralrestglied gegeben ist durch \(R_{x,d}^f(h) = \int_0^1\frac{(1-t)^d}{d!}(\partial_h^{d+1}f)(x+th) dt\) .
Insbesondere gilt für \(h \to 0 \)
\(f(x+h)= f(x) +\sum_{k=1}^d \frac{1}{k!}(\partial_h^kf)(x) + O(\|h\|^{d+1})\)

Q: Kor. 11.25 (Lineare und quadratische Approximation). Sei \(U \subseteq \mathbb{R}^n\) offen und \(f:U \to \mathbb{R}\) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt für alle \(x \in U\)
[...]
A: \(f(x+h) = f(x) + \langle\nabla f(x),h \rangle + O(\|h\|^2)\)
und für \(h \to 0\) genauer
\(f(x+h) = f(x) + \langle\nabla f(x),h \rangle + \frac 1 2 h^tH(x)h+ o(\|h\|^2)\)
für \(H(x)\) die Hessematrix von \(f \) bei \(x.\)