Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 6 Determinanten

Q: Definition Permutation
A: Eine bijektive Abbildung von einer Menge \(X\) auf sich selbst heisst eine Permutation von \(X\).

Q: Proposition/Definition: Die Menge aller Permutationen der Menge \( \{1, \ldots, n\} \) zusammen mit der Komposition von Abbildungen und der identischen Abbildung id als neutrales Element ist [...], genannt [...].
A: eine Gruppe \(S_n\); die symmetrische Gruppe vom Grad \(n\)
Back Extra: Elemente von \(S_n\) bezeichnet man üblicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben und schreibt ihre Operation klammernlos in der Form \( \sigma: i \mapsto \sigma i\).

Q: Proposition: Es gilt \(\vert S_n \vert \) = [...].
A: \( n! \)

Q: Definition Fehlstand und Signum/Signatur
A: Ein Paar \((i, j)\) mit \(1 \leqslant i < j \leqslant n\) und \( \sigma i > \sigma j\) heisst ein Fehlstand von \(\sigma\). Die Zahl
\[ \text{sgn}(\sigma) := (-1)^{\text{Anzahl Fehlstände von} \: \sigma} \]
heisst das Signum oder die Signatur oder das Vorzeichen von \(\sigma\). Eine Permutation mit \( \text{sgn}(\sigma) = 1 \) heisst gerade, eine mit \( \text{sgn}(\sigma) = -1 \) heisst ungerade.

Q: Lemma: Für jedes \(\sigma \in S_n\) gilt:
\( \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (\sigma j - \sigma i) \) = [...]
A: \( \text{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (j - i) \)

Q: Proposition:
- \( \text{sgn}(\text{id}) \) = [...]
- \( \text{sgn}( \sigma \circ \tau) \) =  [...]
- \( \text{sgn}(\sigma^{-1}) \) = [...]
A: 1; \( \text{sgn}(\sigma) \cdot \text{sgn}(\tau) \); \( \text{sgn}(\sigma) \)
Back Extra: Das bedeutet, dass die Abbildung \(\text{sgn}: S_n \rightarrow \{\pm1\} \) ein Gruppenhomomorphismus ist.

Q: Beispiel: Eine Permutation, die zwei verschiedene Ziffern vertauscht und alle übrigen Ziffern festlässt, heisst [...]. Jede [...] hat Signum [...].
A: Transposition; Transposition; -1

Q: Beispiel: Eine Permutation, die \(k \geqslant 1\) verschiedene Ziffern zyklisch vertauscht und alle übrigen Ziffern festlässt, hat Signum [...].
A: \((-1)^{k-1} \)

Q: Definition \(P_{\sigma}\)
A: Für jedes \(\sigma \in S_n\) betrachte die \(n \times n\)-Matrix
\[P_{\sigma} := (\delta_{i, \sigma j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \]

Q: Proposition: Die Matrix \(P_{\sigma}\) ist eine [...]. Umgekehrt ist jede \(n \times n\)-Permutationsmatrix gleich [...]. Ausserdem gilt für alle \(\sigma, \tau \in S_n\):
[...]
A: Permutationsmatrix; \(P_{\sigma}\) für genau ein \(\sigma \in S_n\); \[P_{\sigma \tau} = P_{\sigma} \cdot P_{\tau} \]
Back Extra: Das bedeutet, dass \(\sigma \mapsto P_{\sigma}\) einen Gruppenisomorphismus von \(S_n\) auf die Gruppe aller \(n \times n\)-Permutationsmatrizen induziert.

Q: Definition Determinante
A: Die Determinante einer \(n \times n\)-Matrix \(A = (a_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \) ist
\[ \text{det}(A) := \sum_{\sigma \in S_n} \left( \text{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{i = 1}^n a_{i, \sigma i} \right)\]
Bemerkung: Hält man alle Zeilen von \(A\) ausser der \(i\)-ten Zeile fest, so ist det(\(A\)) eine lineare Abbildung der \(i\)-ten Zeile. Dasselbe gilt für Spalten anstelle von Zeilen.

Q: Proposition: Es gilt \( \text{det}(A^T) \) = [...].
A: \( \text{det}(A) \)

Q: Proposition: Für jede Permutation \(\sigma \in S_n\) gilt \( \text{det}(P_{\sigma}) \) = [...].
A: \( \text{sgn}(\sigma) \)

Q: Proposition: Für jede obere oder untere Dreiecksmatrix \( A = (a_{ij})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) gilt:
\( \text{det}(A) \) = [...]
A: \( \prod_{i = 1}^n a_{ii} \)

Q: Folgerung: Insbesondere gilt \( \text{det}(I_n) \) = [...].
A: \(1\)

Q: Proposition: Für jede Blockdreiecksmatrix der Form
\[ A = \begin{pmatrix} A' & B \\ O & A'' \end{pmatrix} \; \text{oder} \; \begin{pmatrix} A' & O \\ B' & A'' \end{pmatrix} \]
mit quadratischen Matrizen \(A'\) und \(A''\) und der jeweiligen Nullmatrix \(O\) gilt:
[...]
A: \[ \text{det}(A) = \text{det}(A') \cdot \text{det}(A'') \]

Q: Satz: Für je zwei \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) gilt \( \text{det}(AB) \) = [...].
A: \( \text{det}(A) \cdot \text{det}(B) \)

Q: Proposition: Die Determinante verhält sich unter elementaren Zeilenoperationen wie folgt: Entsteht \(A'\) aus \(A\) durch \( \ldots\)
- \(\ldots\) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, so gilt det(\(A'\)) = [...].
- \( \ldots\) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar \( \lambda \in \mathbb{R}\), so gilt det(\(A'\)) = [...].
- \(\ldots\) Vertauschen zweier Zeilen, so gilt det(\(A'\)) = [...].
A: det(\(A\)); \(\lambda \cdot \text{det}(A) \); - det(\(A\))
Back Extra: Die entsprechenden Aussagen gelten für elementare Spaltenoperationen.
Über einem Körper lässt sich die Determinante daher mit Gauss-Elimination berechnen.

Q: Beispiel: Ist eine Zeile oder Spalte einer \(n \times n\)-Matrix \(A\) eine Linearkombination der übrigen, so gilt det(\(A\)) = [...].
A: 0

Q: Beispiel: Hat eine \(n \times n\)-Matrix zwei gleiche Zeilen oder zwei gleiche Spalten, so gilt det(\(A\)) = [...].
A: 0

Q: Beispiel: Für beliebige \(a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R} \) hat die \(n \times n\)-Matrix
\[ A := (a_i^{j-1})_{1 \leqslant i, j \leqslant n} = \begin{pmatrix} 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1} \end{pmatrix} \]
die Vandermond-Determinante
[...]
A: \[ \text{det}(A) = \prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_j - a_i) \]

Q: Satz: Für jedes \(1 \leqslant j \leqslant n\) gilt
\( \text{det}(A) \) = [...]
Wobei \(A_{ij}\) jeweils die durch Streichen der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte der \(n \times n\)-Matrix \(A\) entstandene \((n - 1) \times (n -1)\)-Matrix ist.
A: \( \sum_{i = 1}^n (-1)^{i + j} \cdot a_{ij} \cdot \text{det}(A_{ij}) \)

Q: Definition Adjunkte
A: Die Adjunkte von \(A\) ist die Matrix
\[ \tilde{A} := ((-1)^{i + j} \cdot \text{det}(A_{ji}))_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\]
Wobei \(A_{ji}\) jeweils die durch Streichen der \(j\)-ten Zeile und \(i\)-ten Spalte der \(n \times n\)-Matrix \(A\) entstandene \((n - 1) \times (n -1)\)-Matrix ist.

Q: Satz: Es gilt
\( A \cdot \tilde{A} \) = [...] = [...]
A: \( \tilde{A} \cdot A \); \( \text{det}(A) \cdot I_n \)

Q: Satz: Eine quadratische Matrix \(A\) über einem Körper \(\mathbb{K}\) ist invertierbar genau dann, wenn [...] ist. In diesem Fall gilt weiter
[...] und
[...]
A: \( \text{det}(A) \neq 0\); \[ \text{det}(A^{-1}) = \text{det}(A)^{-1} \]; \[ A^{-1} = \text{det}(A)^{-1} \cdot \tilde{A} \]

Q: Beispiel: Eine \(2 \times 2\)-Matrix \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) über einem Körper \(\mathbb{K}\) ist invertierbar genau dann, wenn [...] ist, und dann gilt:
[...]
A: \( ad - bc \neq 0\); \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Q: Definition Ähnlichkeit von Matrizen
A: Zwei \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) über \(\mathbb{K}\) heissen ähnlich oder zueinander konjugiert, wenn eine invertierbare \(n \times n\)-Matrix \(U\) über \(\mathbb{K}\) existiert mit \(B = UAU^{-1} \).

Q: Proposition: Die Ähnlichkeit zwischen Matrizen ist eine [...].
A: Äquivalenzrelation

Q: Proposition: Ähnliche Matrizen haben dieselbe [...].
A: Determinante

Q: Proposition: Sei \(f\) ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\). Dann sind die Darstellungsmatrizen \({}_B[f]_B\) bezüglich beliebiger geordneter Basen \(B\) von \(V\) [...]. Insbesondere ist \( \text{det}({}_B[f]_B) \) [...].
A: zueinander ähnlich; unabhängig von \(B\)

Q: Definition Determinante einer Funktion
A: Sei \(f\) ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\). Das Element \( \text{det}(f) := \text{det}({}_B[f]_B) \in \mathbb{K} \) heisst die Determinante von \(f\).

Proposition: Für alle Endomorphismen \(f\) und \(g\) eines endlich-dimensionalen \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\) gilt:
- \( \text{det}(\text{id}_V) \) = \(1\)
- \( \text{det}(g \circ f) \) =  \( \text{det}(g) \cdot \text{det}(f) \) 
- Die Abbildung \(f\) ist ein Automorphismus genau dann, wenn  \(\text{det}(f) \neq 0 \)  ist.
- Für jeden Automorphismus \(f\) gilt \( \text{det}(f^{-1}) \) =  \( \text{det}(f)^{-1} \) .
- Für jeden Isomorphismus \(h: V \stackrel{\sim}{\rightarrow} W\) gilt  \( \text{det}(h \circ f \circ h^{-1}) = \text{det}(f) \) .