Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / SW_11_Kap7

Q: Definition \(\exp(x)\)
A: Kurzform von:
\[\sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!}x^k\]

Q: Konvergenzradius \(\exp(x)\)
A: \(\infty\)

Q: Satz 7.68 Komplexe Exponentialabbildung:
Wie können wir die reelle Exponentialabbildung auf \(\mathbb{C}\) erweitern?
A: Wir verwenden dieselbe Abbildung wie für die Reellen Zahlen
\[\exp(z) = \sum^{\infty}_{k=0} \frac{1}{k!} z^k\]
\[z \in \mathbb{C}\]

Q: Satz 7.68: Rechenregelen Komplexe Exponentialabbildung
für \(z,w \in \mathbb{C}\)
A: \[\exp(z + w) = \exp(z)\exp(w)\]
\[|\exp(z)| = \exp(Re(z))\]
insbesondere gilt \(\forall y \in \mathbb{R}  |\exp(iy)| = 1 \)

Q: Übung 7.69 Grenzwertformel
Schreibe \(\exp(z)\) als Grenzwert (einer Folge)
A: \[\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{z}{n})^n \]

Q: Übung 7.70 Wie lässt sich \(|\exp(z)|\) für \(|z| < 1\) nach oben abschätzen?
A: \[|\exp(z)| \leq \frac{1}{1 - Re(z)}\]

Q: Definition Sinusfunktion
A: \[\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - … = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}z^{2n+1}\]

Q: Definition Kosinusfunktion
A: \[\cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - … = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}\]

Q: Definition gerade Funktion auf Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) und Voraussetzungen an \(\mathbb{D}\)
A: \[\forall z \in \mathbb{D}: f(-z) = f(z) \]
\[\mathbb{D} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, [-a,a] \text{ mit } a > 0 \]

Q: Definition ungerade Funktion auf Definitionsbereich \(\mathbb{D}\) und Voraussetzungen an \(\mathbb{D}\)
A: \[\forall z \in \mathbb{D}: f(-z) = -f(z)\]
\[\mathbb{D} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, [-a,a] \text{ mit } a > 0 \]

Q: Satz 7.72: Welche Eigenschaften hat die Sinusfunktion?
A: Stetig und ungerade

Q: Satz 7.72: Welche Eigenschaften hat die Kosinusfunktion?
A: Stetig und gerade

Q: Satz 7.72: \(\exp(iz)\) als Trig?
A: \(\cos(z) + i \cdot \sin(z)\) als Exp?

Q: Satz 7.72: \(\sin(z)\) als Exp?
A: \(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\) als Trig?

Q: Satz 7.72: \(\cos(z)\) als Exp?
A: \(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\) als Trig?

Trigonometrische Additionsformeln:
\[\sin(z + w) = \sin(z)\cos(w) + \cos(z)\sin(w)\]
\[\cos(z + w) = \cos(z)\cos(w) - \sin(z)\sin(w)\]

Q: \(\exp(-iz)\)
als Trig?
A: \(\cos(z)-i\sin(z)\)
als Exp?

Winkelverdopplungsformeln:
\[\sin(2z) = 2\sin(z)\cos(z)\]
\[\cos(2z) = \cos^2(z) - \sin^2(z)\]

Q: Kreisgleichung
Grund?
A: \[1 = \cos^2(z) + \sin^2(z)\]
Weil der Sinus ungerade und der Kosinus gerade ist.

Korrollar 7.75: Periodizität \(\forall x \in \mathbb{R}\) gilt:
\[\sin(z + \pi) = -\sin(z)\]
\[\cos(z + \pi) = -\cos(z)\]
\[\sin(z + 2\pi) = \sin(z)\]
\[\cos(z + 2\pi) = \cos(z)\]

Q: Phasenverschiebung \(\sin\) \(\cos\)
\[\cos([...]) = \sin([...])\]
A: z; z + \frac{\pi}{2}

Q: Phasenverschiebung \(\sin\) \(\cos\)
\[\sin([...]) = \cos([...])\]
A: z; z - \frac{\pi}{2}

Q: Übung 7.76 Nullstellen von sin und cos
Was ist die Menge der Nullstellen der Komplexen sin/cos-Funktionen?
A: \[\sin(z) = 0 \iff z \in \pi\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{C}\]
\[\cos(z) = 0 \iff z \in \pi\mathbb{Z} + \frac{\pi}{2} \subseteq \mathbb{C}\]

Q: Übung 7.77 Differenz von Sinusfunktionen
Was ist
\[\sin(y) - \sin(w) = ?\]
und wo findet dies Verwendung?
A: \[= 2\cos(\frac{z+w}{2})\sin(\frac{z-w}{2})\]
Dies ist eine Schwebung

Q: Übung 7.77 Eigenschaften des eingeschränkten sin
Welche Eigenschaften hat diese eingeschränkte Sinusfunktion?
\[\sin: [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1,1]\]
A: Streng monoton wachsend und bijektiv.

Q: Definition Tangens:
\[\tan(z) =\]
A: \[= \frac{\sin(z)}{\cos(z)}\]

Q: Definition Cotangens
\[\cot(z) = \]
A: \[= \tan(z)^{-1} = \frac{\cos(z)}{\sin(z)}\]

Q: 7.80 Additionsformel Tangens:
\[\tan(z+w) = \]
A: \[= \frac{\tan(z) + \tan(w)}{1-\tan(z)\tan(w)}\]

Q: 7.80 Additionsformel Cotangens
\[\cot(z+w) = \]
A: \[\frac{\cot(z)\cot(w) - 1}{\cot(w) + \cot(z)}\]

Q: Definition 7.6.4: Polarkoordinaten (als sin/cos und als exp)
A: \[z = re^{i\theta} = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\]

Q: Definition Einheitskreis in \(\mathbb{C}\) und Symbol
A: \[\mathbb{S}^1 = \{z \in \mathbb{C} | |z| = 1\} = \{e^{i\theta} | \theta \in \mathbb{R}\}\]

Q: Geometrische Interpretation Multiplikation in \(\mathbb{C}\)
(Tipp: Polarkoordinaten)
A: Multiplikation des Betrags und Addition des Winkels.

Q: Definition 8.1 Differenzierbarkeit
Wann ist \(f\) bei \(a\) differenzierbar?
(Übliche Voraussetzungen)
A: Der Grenzwert bei a existiert wenn
\[f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]

Q: Definition 8.1: Einseitige Differenzierbarkeit
Wann ist f rechtsseitig differenzierbar?
A: \[f'_+(a) = \lim_{x \searrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \searrow 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\]
analog links

Q: Wir nennen [...] im Zusammenhang mit der Differentialrechnung [...].
A: \(\Delta x = x -a = h\); das Inkrement des Arguments oder der unabhängingen Variablen x

Q: Wir nennen [...] im Zusammenhang mit der Differentialrechnung [...].
A: \(\Delta f = f(x) - f(a) = f(a+h) - f(a)\); das Inkrement der Funktion

Q: Wir schreiben[...] für [...]
A: \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\); den Differenzenqotienten

Q: Landau-Notation des Limits
\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = ?\]
A: \[= f'(a) + o(1) \iff f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a)\]

Q: Definition: Differential von f bei a
A: \[x \mapsto f'(a)(x-a)\]

Q: Wir nennen die Gerade [...] [...] von f bei a.
A: \(x \mapsto f(a) + f'(a)(x-a)\); die affine oder lineare Approximation oder die Tangente

Q: Zusammenhang Stetigkeit, Differenzierbarkeit?
A: \(\textrm{Differenzierbarkeit} \implies \textrm{Stetigkeit}\)
Aber nicht umgekehrt!

Q: Was sagt uns die Lokalität der Ableitung über ihr Verhalten?
A: Sind 2 Funktionen lokal gleich, sind ihre Ableitungen lokal auch gleich.
\((\exists \delta > 0 \forall x \in (a-\delta, a+ \delta): f(x) = g(x)) \implies f'(a) = g'(a)\)

Beispiel 8.3 Einfache Differenzialregeln
\[(c)' = 0\]
\[(x)' = 1\]
\[(\exp(x\lambda))' = \lambda \exp(x\lambda)\]
\[\sin'(x) = \cos(x)\]
\[\cos'(x) = -\sin(x)\]
\[|x|' =  \textrm{ nicht überall differenzierbar } \]

Q: Proposition 8.5 Summen und Produktregel
\[(f + g)'(a) = \]
\[(f \cdot g)'(a) = \]
A: \[f'(a) + g'(a)\]
\[f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\]

Q: Korollar 8.6 Differenzierbarkeit von Polynomen
Was sind die Eigenschaften der Ableitung auf Polynomen in \(\mathbb{R}\)
A: \((x^n)' = (nx^{n-1})\) (ist erneut ein Polynom)
(1)' = 0
\[f \in \mathbb{R}[x] \mapsto f' \in \mathbb{R}[x]\] ist eine lineare Abbildung

Q: Satz 8.8 Kettenregel
Was ist die Kettenregel und die Anforderungen daran?
A: \[(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0))f'(x_0)\]
\(D, E \subseteq \mathbb{R}\)
\(x_0 \in D \textrm{ ein HP von } D\)
\(f: D \to E \textrm{ diffbar bei } x_0\)
\( \textrm{mit } y_0 = f(x_0) \textrm{ ein HP von } E\)
\( g: E \to \mathbb{R} \textrm{ diffbar bei } y_0\)

Q: Korrollar 8.11 Quotientenregel
\[\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \]
A: \[ = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}\]

Q: Satz 8.14 Differenzierbarkeit der inversen Funktion
Ableitung von \(f^{-1}\) und Anforderungen an die Funktionen
A: \[(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}\]
Beachte \(y_0 = f(x_0)\)
\(f, f^{-1}\) stetig, bijektiv
\(f\) diffbar im HP \(x_0 \in D\)
\(f'(x_0) \neq 0\)

Q: Bsp 8.15 Ableitung Logarithmus
\(\log'(y)\) mit \(y \in \mathbb{R}_{>0}\)
A: \[\frac{1}{\exp(x)} = \frac{1}{\exp(\log(y))} = \frac{1}{y}\]

Definition 8.16 Lokale Extremwerte
Wir sagen, dass \(f\) ein lokales Maximum in \(x_0\) annimmt, falls es eine Umgebung von \(x_0\) gibt in der \(f\) durch \(f(x_0)\) von oben beschränkt ist.
\[\exists \delta > 0: \forall x\in D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta): f(x_0) \leq f(x_0)\]
Wir sagen das f ein isoliertes lokales Maximum in \(x_0\) annimmt falls
\[\exists \delta > 0: \forall x\in D \cap (x_0 - \delta, x_0 + \delta): f(x_0) < f(x_0)\]
Back Extra: Analog für Minima. Wenn diese Unterscheidung egal ist, nennen wir es auch lokales Extremum.

Q: Prop 8.17 Notwendige Bedingung für Extremum
Angenommen \(f\) nimmt in \(x_0\) ein lokales Extremum an, \(f\) ist bei \(x_0\) diffbar und \(x_0\) ist ein links und rechtsseitiger HP
Was gilt für \(f'(x_0)\)?
Und warum haben wir diese Voraussetzungen?
A: \[f'(x_0) = 0\]
Da wir die linksseitige und rechtsseitige Ableitung verwenden.
Ein Beispiel, wo die Voraussetzung nicht gilt sind Randpunkte eines Intervalls.
So kann beispielsweise der Randpunkt eines Intervals ein Extremum sein, ohne \(f'(x_0) = 0\)

Q: Korrolar 8.18 Lokale Extremwerte
Was sind die Möglichkeiten, wenn \(f\) in \(x_0\) ein lokales Extremum annimt?
A: 1. \(x_0\) ist ein im Intervall enthaltener Endpunkt
2. \(f\) ist bei \(x_0\) nicht diffbar
3. \(f\) ist bei \(x_0\) diffbar und \(f'(x_0) = 0\)

Q: 8.1.4 Stetige Differenzierbarkeit
Wann ist \(f\) stetig differenzierbar?
A: Wenn \(f'\) existiert und stetig ist \(\forall x \in D\).

Q: 8.1.5 Ableitungen höherer Ordnung
Wie ist die n-te Ableitung definiert?
Wie nennen wir die Menge der n-mal diffbaren Funktionen auf dem Intervall D?
A: \[\begin{cases}
f^{(0)} = f \\
f^{(n)} = (f^{(n-1)})'
\end{cases} \]
\(C^n(D)\)

Wir nennen \(f\) glatt oder beliebig oft differenzierbar, falls für jedes \(n \in \mathbb{N}\) \(f\) n-fach differenzierbar ist. Insbesondere sind alle Ableitungen stetig. Wir nennen die Menge aller glatten Funktionen auf \(D\) \(C^{\infty}(D)\).

Q: Beispiele glatte Funktionen
Nenne 5 häufige und ein überraschendes Bsp.
(Warum ist dies überraschend?)
A: Polynome, exp, trig, trigh, \(\log: (0,\infty) \to \mathbb{R}\)
Und etwas überraschender
\[\psi(x) =
\begin{cases}
0 & \textrm{falls } x \leq 0 \\
\exp(-\frac{1}{x}) & \textrm{falls } x > 0
\end{cases}
\]
überraschend weil wir nur durch die linke Seite nichts über die glätte der Funktion sagen können.
(die Vergangenheit der Funktion bestimmt die Zukunft der Funktion nicht)

Q: Korrolar 8.25 Summen und Produkte bei höherer Diffbarkeit
Was wissen wir, wenn \(f,g : D \to \mathbb{R}\) n-mal diffbar ist?
A: \[f^{(n)} + g^{(n)} = (f + g)^{(n)}\]
\[(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)}g^{(n-k)}\]
\[(\alpha f)^{(n)} = \alpha f^{(n)}\]

Q: Korrolar 8.26
Was wissen wir wenn \(f:D \to E\) und \(g: E \to \mathbb{R}\) n-fach diffbar ist?
(Und die üblichen Kriterien erfüllt sind)
A: \(g \circ f : D \to \mathbb{R}\) n-fach diffbar

Satz 8.28 Satz von Rolle
Sei \([a,b]\) ein kompaktes Interval mit \(a<b\) und \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig und auf \((a,b)\) diffbar.
Falls \(f(a) = f(b)\) gilt, so existiert ein \(\xi \in (a,b)\) mit \(f'(\xi) = 0\)
Back Extra: Grundsätzlich sagt der Satz, das eine "schöne" Funktion auf einem Interval, auf welchem sie an den Randpunkten gleich ist, die Ableitung irgendwo strikt zwischen den Punkten Null haben muss.

Theorem 8.29 Mittelwertsatz
Sei \([a,b]\) ein kompaktes interval mit \(a<b\) und \(f: [a,b] \to \mathbb{R} \) stetig und auf \((a,b)\) diffbar. Dann gibt es ein \(\xi \in (a,b)\) mit
\[f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\]
Back Extra: Es gibt also mindestens einen Punkt mit der durschnittlichen Steigung.

Q: Übung 8.31
Warum führt \(f\) definiert auf einem kompakten Intervall und stetig diffbar zur Lipschitz-Stetigkeit von f?
A: Weil dann \(f'\) existiert und glm. stetig ist. Daraus folgt, dass \(f'\) beschränkt ist. Der Mittelwertsatz zeigt, dass \(\max(f')\) die Bedingung einer Lipschitz-Konstante für \(f\) erfüllt.

Q: Wo findet der Mittelwertsatz und der Satz von Rolle Anwendung?
A: Nur auf \(\mathbb{R}\)!

Q: Korrolar 8.33 Kriterium für Konstanz
Wann ist \(f\) konstant auf \(I\)?
A: Genau dann wenn \(f\) diffbar und \(f'(x) = 0 \forall x \in I\)

Q: Übung 8.34 Charakterisierung von Polynomen über die Diffbarkeit
Wann ist \(f\) ein Polynom?
A: Genau dann wenn \(f\) glatt ist und \(\exists n \in \mathbb{N}: f^{(n)} = 0\)

Q: Korollar 8.35 Kriterien für Monotonie
Sei \(f: I \to \mathbb{R}\) diffbar dann gilt:
A: \[(\forall x \in I : f'(x) \geq 0) \iff f \textrm{ ist monoton wachsend}\]
\[(\forall x \in I : f'(x) > 0) \implies f \textrm{ ist streng monoton wachsend}\]
Analog für monoton fallend.

Erinnerung daran Korrolar 8.37 zu lesen und zu verstehen.
(Skript s.361)

Eingenschaften \(\pi\)
\[e^{2\pi i}  = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1\]
\[e^{\pi i}  = \cos(\pi) = -1\]
\[e^{\frac{1}{2} \pi}  = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = i \]
\[e^{\frac{3}{2}\pi i}  = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2}) = -i\]
\[e^{\frac{1}{4}\pi i}  = \cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{i}{\sqrt{2} } \]

Q: Wir schreiben[...] auch als [...] und nennen dies [...]
A: \(\frac{\Delta f}{\Delta x}\) für \(\Delta{x} \to 0\); \(\frac{df}{dx}(a) = f'(a)\); den Differrentialquotienten oder die Ableitung nach x.