Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_07

Q: Gauss'sche Glockenkurve
\[ [...] = [...]\]
A: \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \text{dx}; \sqrt{\pi}

Q: Def. Ausschöpfung
A: Eine Ausschöpfung einer Teilmenge \(B \subseteq \mathbb{R}^n\) ist eine Folge Jordan-messbarer Teilmengen \((B_m)_m\) mit
\[B_1 \subseteq B_2 \subseteq B_3 \subseteq \ldots \qquad \text{ und } \qquad B = \bigcup_{m=1}^\infty B_m\]

Q: Sei \(B\) eine Jordan-messbare Teilmenge, sei \((B_m)_m\) eine Ausschöpfung von \(B\) und sei \(f:B \to \mathbb{R}\) Riemann-integrierbar. Dann gilt
[...]
A: \[\text{vol}(B) = \lim_{m \to \infty} \text{vol}(B_m)\]
\[\int_B f \,\text{dvol} = \lim_{m \to \infty} \int_{B_m}f \,\text{dvol}\]

Q: Sei \(B \subseteq\mathbb{R}^n\) eine Teilmenge, sei \((B_m)_m\) eine Ausschöpfung von \(B\) und sei \(f:B \to \mathbb{R}\) eine Funktion so dass \(f|_{B_m}\) für jedes \(m\in\mathbb{N}\) Riemann integrierbar ist. Angenommen \(f\) ist nicht-negativ und der Grenzwert \(I = \lim_{m \to \infty} \int_{B_m} f \,\text{dvol}\) existiert. Dann [...]
A: existiert der Grenzwert \(\lim_{\ell \to \infty} \int_{A_\ell} f \,\text{dvol}\) für jede weitere Ausschöpfung \((A_\ell)_\ell\) mit der Eigenschaft, dass \(f|_{A_\ell}\) für alle \(\ell\in\mathbb{N}\) Riemann-integrierbar ist, und ist gleich \(I\). Insbesondere ist \(f\) auf \(B\) uneigentlich Riemann-integrierbar und das uneigentliche Riemann-Integral ist gleich \(I\).

Seien \(X,Y \subseteq \mathbb{R}^n\) offene Teilmengen und sei \(\Phi: X \to Y\) ein Diffeomorphismus. Weiter sei \(f:Y \to \mathbb{R}\) eine Funktion, so dass \(f\) und \(|f|\) auf \(Y\) uneigentlich Riemann-integrierbar sind. Dann ist die Funktion \((f \circ \Phi) |\det(D \Phi)|\) zumindest uneigentlich Riemann-integrierbar auf \(X\) und es gilt
\[\int_Y f \text{dvol} = \int_X (f \circ \Phi) |\det(D \Phi)|  \,\text{dvol}  \]

Def. Uneigentliches Riemann-Integral: Sei \(B \subseteq \mathbb{R}^n\) eine Teilmenge, die eine Ausschöpfung besitzt, und sei \(f: B \to \mathbb{R}\) eine Funktion.
Wir sagen, dass \(f\) auf \(B\) uneigentlich Riemann-integrierbar ist, falls
- \(B\) eine Ausschöpfung \((B_m)_m\) besitzt, so dass für alle \(m \in \mathbb{N}\) die Einschränkung \(f_{B_m}\) Riemann-integrierbar ist
- der Grenzwert \(\lim_{m \to \infty} \int_{B_m}f \text{dvol}\) existiert
- und von der Wahl der Ausschöpfung \((B_m)_m\) mit obiger Eigenschaft unabhängig ist.
In diesem Fall schreiben wir
\[\int_B f \text{dvol} = \lim_{m \to \infty} \int_{B_m}f \text{dvol} \]