Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_02
Tags: Analysis_Rintbarstetig

Q: Sei \(Q\) ein [...]. Dann ist jede [...] Funktion \(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) auch [...]. Beweisidee?
A: abgeschlossener Quader mit nicht-leerem Inneren; stetige; Riemann-integrierbar
Back Extra: Heine Borel \(\rightarrow\) Q ist kompakt \(\rightarrow f\) ist glm. stetig. Verwende eine Zerlegung des Quaders \(Q\) mit Maschenweite kleiner als \(\delta\) aus der glm. Stetigkeit von \(f\).

Q: Definition [...]:
Für eine Zerlegung \(\zeta\) definieren wir die [...] als:
[...]
A: Maschenweite; Maschenweite; \( |\zeta| =  \max \{ \text{Grösste Kantenlänge von } Q_{\alpha} | Q_{\alpha} \sqsubset \zeta \} \)

Sandwich Charakterisierung mit stetigen Funktionen
Sei \(Q\) ein abgeschlossener Quader mit nichtleerem Inneren und \(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) beschränkt. Die Funktion \(f\) ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es für jedes \(\varepsilon \gt 0\) zwei stetige Funktionen \(f_-, f_+: Q \rightarrow \mathbb{R}\) gibt, die
\[f_i \leqslant f \leqslant f_+ \text{ und } \int_Q (f_+ - f_-) dvol \lt \varepsilon\]
erfüllen.

Definition Riemann-Summen
Für eine Zerlegung \(\zeta\) eines abgeschlossenen Quaders \(Q\) bezeichnen wir \(z = (z_{\alpha})_{\alpha}\) als eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten der Zerlegung \(\zeta\), falls \(z_{\alpha} \in Q_{\alpha} \cup \partial Q_{\alpha}\) für alle \(\alpha\). Für eine reellwertige Funktion \(f\) auf \(Q\), eine Zerlegung \(\zeta\) von \(Q\) und eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten \(z\) definieren wir die Riemann-Summe durch
\[ R(f, \zeta, z) = \sum_{Q_{\alpha} \sqsubset \zeta} f(z_{\alpha}) vol(Q_{\alpha}) \]

Charakterisierung mittels Riemann-Summen
Sei \(f: Q \rightarrow \mathbb{R}\) eine beschränkte Funktion auf einem abgeschlossenen Quader \(Q \subseteq \mathbb{R}^n\). Dann ist f genau dann R-intbar, wenn die R-Summen für gegen Null strebende Maschenweiten gegen eine reelle Zahl \(I\) konvergieren. Genauer formuliert besagt letzteres, dass für jedes \(\varepsilon \gt 0\) ein \(\delta \gt 0\) existiert, so dass für jede Zerlegung \(\zeta\) von \(Q\) mit Maschenweite kleiner als \(\delta\) und jede erlaubte Wahl \(z\) von Zwischenpunkten der Zerlegung \(\zeta\) die Abschätzung
\[|R(f, \zeta, z) - I| \lt \varepsilon\]
gilt.
Beweisidee?
Back Extra: Nehme an, dass die R-Summmen gegen \(I \in \mathbb{R}\) konvergieren \(\Rightarrow I - \varepsilon \lt R(f,\zeta,z) \lt I + \varepsilon\). Variiere die Zwischenpunkte und erhalte die Abschätzungen:
\[U(f, \zeta) \geq I - \varepsilon \text{ und } O(f, \zeta) \geq I + \varepsilon\]
Damit ist f R-intbar.