Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 5 Lineare Abbildungen

Q: Definition Lineare Abbildung
A: Eine Abbildung \(f: V \rightarrow W\) heisst \(\mathbb{K}\)-linear, wenn gilt:
- \(\forall v, v' \in V : f(v + v') = f(v) + f(v')\)
- \(\forall v \in V \; \forall \lambda \in \mathbb{K} : f(\lambda v) = \lambda \cdot f(v) \).
Wenn der Körper \(\mathbb{K}\) aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, sagt man nur kurz linear.
Beispiele linearer Abbildungen:
- Die Nullabbildung \(V \rightarrow W, \: v \mapsto 0_W \)
- Die identische Abbildung \(\text{id}_V: V \rightarrow V, \: v \mapsto v\)

Q: Grundeigenschaften linearer Abbildungen
A: - \(f(0_V) = 0_W \)
- \(\forall v \in V : f(-v) = -f(v) \)

Q: Proposition: Für jede Basis \(B\) von \(V\) und jede Abbildung \(f_0: B \rightarrow W\) existiert genau eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\) mit \(\forall b \in B: f(b) = f_0(b)\), nämlich
[...]
A: \[\sum_{b \in B}' x_b \cdot b \mapsto \sum_{b \in B}' x_b \cdot f_0(b) \]

Beispiel: Sei \(A\) eine \(m \times n\)-Matrix über \(\mathbb{K}\). Dann ist Linksmultiplikation mit \(A\)  eine lineare Abbildung der Räume von Spaltenvektoren, also:
 \[ L_A: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m, v \mapsto Av \] 
Analog ist die Rechtsmultiplikation mit \(A\)  eine lineare Abbildung der Räume von Zeilenvektoren:
 \[ R_A: \mathbb{K}^m \rightarrow \mathbb{K}^n, v \mapsto vA\]

Q: Proposition: Für jede lineare Abbildung der Räume von Spaltenvektoren \(f: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m\) existiert [...]. Die \(j\)-te Spalte von \(A\) ist genau [...].
A: genau eine \(m \times n\)-Matrix \(A\) mit \(L_A = f\); das Bild des \(j\)-ten Standardbasisvektors \(e_j\) unter f

Q: Definition Kern und Bild
A: Der Kern von \(f\) und das Bild von \(f\) sind die Teilmengen
\[\text{Kern}(f) := \{ v \in V \: \vert \: f(v) =0 \} \subset V\]
\[\text{Bild}(f) := \{ f(v) \: \vert \: v \in V \} \subset W\]

Q: Proposition: Sei \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
- Kern(\(f\)) ist [...].
- \(f\) ist injektiv genau dann, wenn [...].
A: ein Unterraum von \(V\); \( \text{Kern}(f) = \{0\} \) ist

Q: Proposition: Sei \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
- Bild(\(f\)) ist [...].
- \(f\) ist surjektiv genau dann, wenn [...].
A: ein Unterraum von \(W\); \( \text{Bild}(f) = W \) ist

Q: Beispiel: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem \(Ax = b\) ist lösbar genau dann, wenn [...]. Ist es lösbar, so ist die Lösung eindeutig genau dann, wenn [...].
A: der Vektor \(b\) im Bild(\(L_A\)) der linearen Abbildung \(L_A\) liegt; \(\text{Kern}(L_A) = \{0\} \) ist

Q: Satz Dimensionsformel für lineare Abbildungen
A: Sei \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Es gilt \[ \text{dim}(V) = \text{dim Kern}(f) + \text{dim Bild}(f)\]
Insbesondere ist \( \text{dim Kern}(f) \leqslant \text{dim}(V) \) und \( \text{dim Bild}(f) \leqslant \text{dim}(V) \).

Q: Satz: Sei \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Ist \( \text{dim}(V) =\text{dim}(W) < \infty \), so gilt:
[...]
A: \[ f \; \text{injektiv} \Leftrightarrow f \; \text{surjektiv} \Leftrightarrow f \; \text{bijektiv} \]

Q: Proposition: Für je zwei lineare Abbildungen \(f: U \rightarrow V\) und \(g: V \rightarrow W\) ist [...] linear.
A: die Komposition \(g \circ f: U \rightarrow W \)

Q: Proposition: Für jede \(m \times n\)-Matrix \(A\) und jede \(n \times l\)-Matrix \(B\) gilt
\(L_A \circ L_B \) = [...].
A: \( L_{AB} \)

Q: Definition Isomorphismus
A: Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\), zu welcher eine lineare Abbildung \(g: W \rightarrow V\) existiert mit \(g \circ f = \text{id}_V \) und \(f \circ g = \text{id}_W \) heisst Isomorphismus.

Q: Satz: Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\) ist ein Isomorphismus genau dann, wenn [...]. Die beidseitige Inverse g ist dann [...].
A: sie bijektiv ist; eindeutig bestimmt und gleich der Umkehrabbildung \(f^{-1}: W \rightarrow V \)

Q: Beispiel: Die Abbildung \(L_A: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m\) ist ein Isomorphismus genau dann, wenn [...].
A: \(m = n\) und \(A\) invertierbar ist
Back Extra: Ihre Umkehrabbildung ist dann \(L_A^{-1} = L_{A^{-1} } \).

Q: Definition "isomorph"
A: Zwei Vektorräume \(V\) und \(W\) über einem Körper \(\mathbb{K} \) heissen isomorph, in Symbolen \(V \cong W\), wenn ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert.

Q: Satz: Die folgenden Abbildungen sind Isomorphismen:
- [...] zweier Isomorphismen
- [...] auf jedem Vektorraum
- [...] eines Isomorphismus
A: Die Komposition; Die identische Abbildung; Die Inverse

Q: Satz:
- Jeder Isomorphismus \(V \rightarrow W\) bildet jede Basis \(B\) von \(V\) [...].
- Es gilt \(V \cong W\) genau dann, wenn [...].
A: bijektiv auf eine Basis von \(W\) ab; \(\text{dim}(V) = \text{dim}(W) \) ist

Q: Definition Homomorphismus
A: Ein Homomorphismus ist eine lineare Abbildung, geschrieben \(V \rightarrow W\).

Q: Definition Monomorphismus
A: Ein Monomorphismus ist eine injektive lineare Abbildung, geschrieben \(V \hookrightarrow W\).

Q: Definition Epimorphismus
A: Ein Epimorphismus ist eine surjektive lineare Abbildung, geschrieben \(V \twoheadrightarrow W\).

Q: Definition Isomorphismus (2)
A: Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung, geschrieben \(V \stackrel{\sim}{\rightarrow} W\).

Q: Definition Endomorphismus
A: Ein Endomorphismus von \(V\) ist eine lineare Abbildung \(V \rightarrow V\).

Q: Definition Automorphismus
A: Ein Automorphismus von \(V\) ist ein Isomorphismus \(V \stackrel{\sim}{\rightarrow} V\).
Somit ist ein Automorphismus ein bijektiver Endomorphismus.

Q: Proposition/Definition Automorphismengruppe von \(V\)
A: Die Menge Aut(\(V\)) aller Automorphismen von \(V\) zusammen mit der Komposition \(\circ\) und dem neutralen Element \(\text{id}_V\) ist eine Gruppe, genannt die Automorphismengruppe \((\text{Aut}(V), \circ, \text{id}_V) \) von \(V\).

Q: Beispiel/Definition Gruppenisomorphismus
A: Die Abbildung \(A \mapsto L_A\) induziert eine Bijektion \(\text{GL}_n(\mathbb{K}) \rightarrow \text{Aut}(\mathbb{K}^n) \), welche mit der Gruppenoperation auf beiden Seiten verträglich ist, also einen Gruppenisomorphismus.

Q: Definition direktes Produkt und direkte Summe
A: Das kartesische Produkt von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen
\[\times_{i \in I} \; V_i := \{ (v_i)_{i \in I} \vert \: \forall i: v_i \in V_i \} \]
versehen mit den Operationen
\( (v_i)_i + (v'_i)_i := (v_i + v'_i)_i\)
\(\lambda \cdot (v_i)_i := (\lambda v_i)_i\)
und dem Nullelement \((0_{V_i})_i\) heisst das (direkte) Produkt von \( (V_i)_{i \in I} \). Ihre Teilmenge
\[\boxplus_{i \in I} \; V_i := \{ (v_i)_{i \in I} \vert \: \forall i: v_i \in V_i, \: \text{fast alle} \; v_i = 0_{V_i} \} \]
heisst die äussere direkte Summe von \((V_i)_{i \in I}\).
Konvention: Sind alle Faktoren gleich, so schreibt man oft \(V^I := \times_{i \in I}V\) und \(V^{(I)} := \boxplus_{i \in I}V\). Die Elemtente von \(\boxplus_{i \in I}V_i\), insbesondere von \(\boxplus_{i \in I}\mathbb{K}\), schreibt man oft als formale Linearkombinationen \((v_i)_i = \sum'_{i \in I}v_i \cdot X_i\) mit neugewählten Symbolen \(X_i\).

Proposition: Das Produkt \(\times_{i \in I}V_i\) ist ein  \(\mathbb{K}\)-Vektorraum  und \(\boxplus_{i \in I}V_i\) ist ein Unterraum, und für jedes \(j \in I\) sind die folgenden Abbildungen linear:
- \(\text{proj}_j: \)  \( \times_{i \in I} V_i \rightarrow V_j, \; (v_i)_i \mapsto v_j \) 
- \(\text{incl}_j: \)  \( V_j \rightarrow \boxplus_{i \in I}V_i, \; v_j \mapsto \begin{pmatrix} \begin{Bmatrix} v_j \: \text{falls} \: i = j \\ 0 \: \text{falls} \: i \neq j \end{Bmatrix} \end{pmatrix} \)

Q: Proposition: Für beliebige Unterräume \(V_i\) eines Vektorraumes \(V\) ist die folgende Abbildung linear:
[...]
A: \[\boxplus_{i \in I}V_i \rightarrow V, \: (v_i)_i \mapsto \sum_{i \in I}'v_i \]

Q: Definition innere direkte Summe
A: Der Vektorraum \(V\) heisst die innere direkte Summe von \(V_i\) für \(i \in I\), wenn die Abbildung \(\boxplus_{i \in I}V_i \rightarrow V, \: (v_i)_i \mapsto \sum'_{i \in I}v_i\) ein Isomorphismus ist, und dann schreibt man
\[\bigoplus_{i \in I}V_i = V\]
Konvention: Im Fall \(I = \{1, \ldots, r\} \) schreibt man auch:
- \(V_1 \times \ldots \times V_r = \times_{i = 1}^r V_i\)
- \(V_1 \boxplus \ldots \boxplus V_r = \boxplus_{i = 1}^r V_i\)
- \(V_1 \oplus \ldots \oplus V_r = \bigoplus_{i = 1}^r V_i\)

Q: Definition geordnete Basis
A: Ein Tupel \((v_1, \ldots, v_n)\) von Vektoren in \(V\) heisst
- linear unabhängig, wenn \( \forall x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K}: (\sum_{i = 1}^n x_i v_i = 0) \rightarrow (x_1 = \ldots = x_n = 0) \)
- Erzeugendensystem von \(V\), wenn \(\forall v \in V \; \exists x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{K}: v = \sum_{i = 1}^n x_i v_i \)
- geordnete Basis von \(V\), wenn \(\forall v \in V \; \exists!x_1, \ldots x_n \in \mathbb{K}: v = \sum_{i = 1}^n x_i v_i\)
Der Begriff "geordnete Basis" setzt also voraus, dass der Vektorraum endlich-dimensional ist.

Q: Proposition: Ein Tupel \((v_1, \ldots, v_n) \) von Vektoren in \(V\) ist
- linear unabhängig genau dann, wenn [...].
- ein Erzeugendensystem von \(V\) genau dann, wenn [...].
- eine geordnete Basis von \(V\) genau dann, wenn [...].
A: \(v_1, \ldots, v_n \) paarweise verschieden sind und die Menge \( \{ v_1, \ldots, v_n\} \) linear unabhängig ist; die Menge \( \{ v_1, \ldots, v_n \} \) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist; \( v_1, \ldots, v_n \) paarweise verschieden sind und die Menge \( \{ v_1, \ldots, v_n \} \) eine Basis von \(V\) ist

Proposition: Für jedes Tupel \(T := (v_1, \ldots v_n) \) von Vektoren in \(V\) ist die Abbildung
 \[ \varphi_T: \mathbb{K}^n \rightarrow V, \: \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \mapsto \sum_{i = 1}^n x_i v_i \] 
linear. Sie ist zudem
- injektiv genau dann, wenn  \(T\) linear unabhängig ist.
- surjektiv genau dann, wenn  \(T\) ein Erzeugendensystem von \(V\) ist.
- ein Isomorphismus genau dann, wenn  \(T\) eine geordnete Basis von \(V\) ist.

Q: Definition kommutatives Diagramm
A: Ein Diagramm aus Mengen und durch Pfeile dargestellten Abbildungen heisst kommutativ, wenn für je zwei Wege in Pfeilrichtung mit demselben Startpunkt und demselben Endpunkt die zusammengesetzte Abbildungen übereinstimmen.

Q: Bemerkung: Ein zusammengesetztes Diagramm ist oft genau dann kommutativ, wenn [...].
A: seine Teile kommutativ sind

Q: Definition Darstellungsmatrix
A: Seien \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) geordnete Basis von \(V\) und \(B' = (w_1, \ldots, w_m) \) eine geordnete Basis von \(W\). Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung \(f: V \rightarrow W\) bezüglich der Basen \(B\) und \(B'\) ist die eindeutig bestimmte \(m \times n\)-Matrix \(A\), für die \(f \circ \varphi_B = \varphi_{B'} \circ L_A \) gilt, das heisst, für die das folgende Diagramm kommutiert:
\[ \begin{matrix} V & \stackrel{f}{\longrightarrow} & W \\ \sim \; \; \uparrow \varphi_{{}_B} & \: & \sim \; \: \uparrow \varphi_{{}_{B'}} \\ \mathbb{K}^n & \stackrel{L_A}{\longrightarrow} & \mathbb{K}^m \end{matrix} \]
Wir bezeichnen diese Matrix \(A\) mit \({}_{B'}[f]_B\).
Eine explizite Rechnung mit dem Ansatz \(A = (a_{ij})_{\substack{1 \leqslant i \leqslant m \\ 1 \leqslant j \leqslant n} } \) liefert für alle \(1 \leqslant j \leqslant n\):
\[ f(v_j) = f(\varphi_B(e_j)) = \varphi_{B'}(L_A(e_j)) = \varphi_{B'}(Ae_j) = \varphi_{B'}( \begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix} ) = \sum_{i = 1}^m a_{ij} w_i \]

Q: Beispiel: Die Darstellungsmatrix von \(L_A: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m \) bezüglich der jeweiligen Standardbasis ist [...].
A: \(A\)

Q: Proposition: Für jede geordnete Basis \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) von \(V\) gilt:
\( {}_B[\text{id}_V]_B \) = [...]
A: \( I_n \)

Q: Proposition: Sei \(B, B', B''\) je eine geordnete Basis von \(U, V\) bzw. von \(W\). Für alle linearen Abbildungen \(f: U \rightarrow V\) und \(g: V \rightarrow W\) gilt dann:
\({}_{B''}[g \circ f]_B \) = [...]
A: \( {}_{B''}[g]_{B'} \cdot {}_{B'}[f]_B \)

Q: Proposition: Seien \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) eine geordnete Basis von \(V\) und \(B' = (w_1, \ldots, w_m) \) eine geordnete Basis von \(W\). Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\) ist ein Isomorphismus genau dann, wenn [...].
A: die Darstellungsmatrix \({}_{B'}[f]_B\) quadratisch und invertierbar ist, und dann gilt \({}_B[f^{-1}]_{B'} = {}_{B'}[f]_B^{-1} \)

Q: Definition Basiswechselmatrix
A: Die Matrix \({}_{\tilde{B}}[\text{id}_V]_B\) für geordnete Basen \(B\) und \(\tilde{B}\) desselben Vektorraums \(V\) heissen die zu \(B\) und \(\tilde{B}\) assoziierte Basiswechselmatrix.

Q: Proposition: Die Basiswechselmatrix \({}_{\tilde{B}}[\text{id}_V]_B\) ist [...], und [...].
A: invertierbar; ihre Inverse ist gleich \({}_B[\text{id}_V]_{\tilde{B} } = {}_{\tilde{B} }[\text{id}_V]_B^{-1} \)

Q: Proposition: Seien \(B, \tilde{B}\) geordnete Basen von \(V\), und \(B', \tilde{B}'\) geordnete Basen von \(W\). Dann gilt für jede lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\):
\({}_{\tilde{B}'}[f]_{\tilde{B} } \) = [...]
A: \( {}_{\tilde{B}'}[\text{id}_V]_{B'} \cdot {}_{B'}[f]_B \cdot {}_B[\text{id}_V]_{\tilde{B} } \)

Q: Spezialfall: Seien \(B\) und \(\tilde{B}\) geordnete Basen von \(V\). Dann gilt für jede lineare Abbildung \(f: V \rightarrow V\):
[...]
A: \[ \begin{matrix} {}_{\tilde{B } }[f]_{\tilde{B} } & = & {}_{\tilde{B} }[\text{id}_V]_B \cdot {}_B[f]_B \cdot {}_B[\text{id}_V]_{\tilde{B} } \\ \: & = & {}_{\tilde{B} }[\text{id}_V]_B \cdot {}_B[f]_B \cdot {}_{\tilde{B} }[\text{id}_V]_B^{-1} \\ \: & = & {}_B[\text{id}_V]_{\tilde{B} }^{-1} \cdot {}_B[f]_B \cdot {}_B[\text{id}_V]_{\tilde{B} } \end{matrix} \]

Q: Definition Rang
A: Der Rang einer linearen Abbildung \(f\) ist Rang(\(f\)) := dim(Bild(\(f\))).

Q: Proposition: Für jede lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\) und beliebige Isomorphismen \(\varphi: V' \stackrel{\sim}{\rightarrow} V \) und \(\psi: W \stackrel{\sim}{\rightarrow} W'\) gilt:
\( \text{Rang}(\psi \circ f \circ \varphi) \) = [...]
A: \( \text{Rang}(f) \)

Q: Satz: Für jede \(m \times n\)-Matrix \(A\) existieren invertierbare Matrizen \(U\) und \(V\), so dass \(UAV\) eine [...]
A: Blockmatrix der Form
\[ \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \]
Back Extra: ist für ein geeignetes \(0 \leqslant r \leqslant \text{min}\{m, n\} \), wobei jeweils \(O\) die Nullmatrix bezeichnet.

Satz: Seien \(A\) eine \(m \times n\)-Matrix und \(U\) und \(V\) invertierbare Matrizen, so dass \(UAV\) die folgende Form besitzt:
\[ \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \]
Die Zahl \(r\) ist dann äquivalent zu...
- der maximalen Anzahl linear unabhängiger Spalten von \(A\) (Spaltenrang) .
- der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen von \(A\) (Zeilenrang) .
- dem Rang der  linearen Abbildung von Spaltenvektoren \(L_A: \mathbb{K}^n \rightarrow \mathbb{K}^m, \: v \mapsto Av \) .
- dem Rang der  linearen Abbildung von Zeilenvektoren \(R_A: \mathbb{K}^m \rightarrow \mathbb{K}^n, \: v \mapsto vA \) .
Back Extra: Inbesondere hängt \(r\) also nur von \(A\) ab.

Q: Definition Rang (einer Matrix)
A: Seien \(A\) eine \(m \times n\)-Matrix und \(U\) und \(V\) invertierbare Matrizen, so dass \(UAV\) die folgende Form besitzt:
\[ \begin{pmatrix} I_r & O \\ O & O \end{pmatrix} \]
Die Zahl \(r\) heisst der Rang von \(A\) und wird bezeichnet mit Rang(\(A\)).

Q: Proposition: Für jede lineare Abbildung \(f\) und je zwei geordnete Basen \(B\) und \(B'\) gilt:
\( \text{Rang}(f) \) = [...]
A: \( \text{Rang}({}_{B'}[f]_B) \)

Q: Beispiel: Eine \(m \times n\)-Matrix hat Rang \(m\) genau dann, wenn [...].
A: man aus ihren Spalten Vektoren \(v_1, \ldots, v_m\) auswählen kann, so dass die Matrix \((v_1, \ldots, v_m) \) invertierbar ist

Q: Beispiel: Eine \(m \times m\)-Matrix hat Rang \(m\) genau dann, wenn [...].
A: sie invertierbar ist

Q: Definition \(\text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, W)\)
A: Für je zwei \(\mathbb{K}\)-Vektorräume \(V\) und \(W\) setzen wir
\[ \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, W) := \{h: V \rightarrow W \vert \; h \; \mathbb{K}-\text{linear} \} \]

Q: Proposition: \(\text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, W) \) ist ein Untervektorraum des [...].
A: Raums \(W^V\) aller Abbildungen \(V \rightarrow W\)

Q: Proposition: Für je zwei lineare Abbildungen \(f: V' \rightarrow V\) und \(g: W \rightarrow W'\) ist die Abbildung
\[ C_{g, f}: \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, W) \rightarrow \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V', W'), \: h \mapsto g \circ h \circ f \]
[...]. Sind \(f\) und \(g\) Isomorphismen, so [...].
A: wohldefiniert und linear; ist auch \( C_{g, f} \) ein Isomorphismus

Q: Proposition: Die folgende Abbildung ist ein [...]:
\[ \text{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}) \stackrel{\sim}{\rightarrow} \text{Hom}_{\mathbb{K} }(\mathbb{K}^n, \mathbb{K}^m), \: A \mapsto L_A \]
A: Isomorphismus von \(\mathbb{K}\)-Vektorräumen

Q: Proposition: Für jede geordnete Basis \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) von \(V\) und jede geordnete Basis \(B' = (w_1, \ldots, w_m) \) von \(W\) ist die folgende Abbildung ein Isomorphismus:
[...]
A: \[ \text{Hom}_{\mathbb{K} }(V, W) \rightarrow \text{Mat}_{m \times n}(\mathbb{K}), \: f \mapsto {}_{B'}[f]_B \]

Q: Satz: Für je zwei endlich-dimensionale \(\mathbb{K}\)-Vektorräume \(V\) und \(W\) gilt:
[...] = [...]
A: \[ \text{dim}_{\mathbb{K} }\text{Hom}_{\mathbb{K} }(V, W) \]; \[ \text{dim}_{\mathbb{K} } (V) \cdot \text{dim}_{\mathbb{K} }(W) \]

Q: Definition \(\text{End}_{\mathbb{K} }(V) \)
A: Für jeden \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) setzen wir
\[ \text{End}_{\mathbb{K} }(V) := \text{Hom}_{\mathbb{K} }(V, V) \]

Q: Propositon: Mit der Addition und Komposition von Endomorphismen sowie der Nullabbildung und der identischen Abbildung ist \( ( \text{End}_{\mathbb{K}}(V), +, \circ, 0_V, \text{id}_V) \) ein [...], genannt der [...]. Im Fall \( \text{dim}_{\mathbb{K}}(V) > 1\) ist dieser [...].
A: Ring; Endomorphismenring von \(V\); nicht kommutativ

Q: Definition Dualraum
A: Der Dualraum von \(V\) ist der Vektorraum
\[ V^{\vee} := \text{Hom}_{\mathbb{K}}(V, \mathbb{K}) \]
sprich "\(V\) dual", und seine Elemente heissen Linearformen auf \(V\).

Q: Proposition/Definition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\). Für jedes \(1 \leqslant i \leqslant n \) sei \(l_i \in V^{\vee} \) die lineare Abbildung
[...].
Dann ist \(B^{\vee} := (l_i, \ldots, l_n) \) [...], genannt die [...].
A: \[ l_i: V \rightarrow \mathbb{K}, \: \sum_{j = 1}^n x_jv_j \mapsto x_i \]; eine geordnete Basis von \(V^{\vee} \); duale Basis zu \(B\)

Q: Satz: Für jeden \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) gilt
\( \text{dim}_{\mathbb{K}}(V^{\vee}) \) = [...]
A: \( \left\{ \begin{matrix} \text{dim}_{\mathbb{K} }(V), & \text{falls dim}_{\mathbb{K} }(V) < \infty, \\ \infty, & \text{falls dim}_{\mathbb{K} }(V) = \infty \end{matrix} \right. \)

Q: Beispiel: Für jede Menge \(I\) sei \(\mathbb{K}^I\) der Raum aller Abbildungen \(I \rightarrow \mathbb{K} \) und \(\mathbb{K}^{(I)} \) der Unterraum aller Abbildungen mit endlichem Träger. Dann ist der Dualraum [...] isomorph zu [...]. Insbesondere ist \( \text{dim}(V^{\vee}) > \text{dim}(V) \) im Sinne unendlicher Kardinalzahlen, wenn [...] ist.
A: \( (\mathbb{K}^{(I)})^{\vee} \); \( \mathbb{K}^I \); \( \text{dim}(V) = \infty \)

Proposition:
- Für jede lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W\) ist die Abbildung  \[f^{\vee}: W^{\vee} \rightarrow V^{\vee} , \: l \mapsto l \circ f \]  wohldefiniert und linear. Sie heisst die duale Abbildung zu \(f\), sprich "\(f\) dual".
- Für je zwei lineare Abbildungen \(f: U \rightarrow V\) und \(g: V \rightarrow W\) gilt \((g \circ f)^{\vee} \) =  \( f^{\vee} \circ g^{\vee} \) .
- Die duale Abbildung der identischen Abbildung ist  \( \text{id}_V^{\vee} = \text{id}_{(V^{\vee}) } \) .
- Für jeden Isomorphismus \(f: V \rightarrow W\) ist  \( f^{\vee}: W^{\vee}  \rightarrow V^{\vee} \)  ein Isomorphismus.

Q: Proposition: Seien \(B\) eine geordnete Basis von \(V\) und \(B'\) eine geordnete Basis von \(W\), und sei \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
\( {}_{B^{\vee} }[f^{\vee}]_{B'^{\vee} } \) = [...]
A: \({}_{B'}[f]_B^T \)

Proposition: Für jeden \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(V\) und jedes Element \(v \in V\) ist die Auswertungsabbildung (evaluation)
 \[ \text{ev}_v : V^{\vee} \rightarrow \mathbb{K}, \: l \mapsto l(v) \] 
linear, also ein Element des  Bidualraums \( (V^{\vee})^{\vee} \) .
Die induzierte Abbildung
 \[ V \rightarrow (V^{\vee})^{\vee}, \: v \mapsto \text{ev}_v \] 
ist linear und injektiv. Sie ist ein Isomorphismus dann, wenn  \(V\) endlich-dimensional ist .

Q: Definition \(v + U\)
A: Sei \(U\) ein Unterraum eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\). Für jedes \(v \in V\) betrachte die Teilmenge
\[ v + U := \{v + u \vert \; u \in U \} \subset V \]
Geometrisch ist die ein zu \(U\) paralleler affin-linearer Teilraum von \(V\).

Proposition: Je zwei Teilmengen der Form \( v + U \) sind entweder gleich oder disjunkt, und die Vereinigung aller ist \(V\) .Genauer gilt:
 \( v + U = v' + U \)  \( \: \Leftrightarrow \: \) \( v - v' \in U \)  \( \: \Leftrightarrow \: \)  \( v' \in v + U \)  \( \: \Leftrightarrow \: \)  \( v \in v' + U \)

Q: Proposition: Die Menge der Teilmengen
\[ V/U := \{v + U \vert \; v \in V\} \]
besitzt eine eindeutige Struktur eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums, so dass gilt:
- [...]
- [...]
A: \( \forall v, v' \in V: (v +U) + (v' +U) = (v + v') +U \); \( \forall v \in V \; \forall \lambda \in \mathbb{K}: \lambda \cdot (v + U) = (\lambda v) + U \)
Back Extra: Für diese gilt weiter:
- Das Nullelement von \(V/U \) ist \(0_{V/U} = 0_V + U = U \)
- Das additive Inverse jedes Elements \(v + U\) ist \(-(v + U) = (-v) +U \)

Q: Definition Quotientenvektorraum
A: \(V/U\) heisst der Quotientenvektorraum oder Faktorraum von \(V\) nach \(U\).

Q: Proposition: Die Abbildung \( \pi: V \rightarrow V/U, \: v \mapsto v + U \) ist [...] und hat Kern [...].
A: linear und surjektiv; \(U\)

Q: Beispiel: Sei \( \pi: V \rightarrow V/U, \: v \mapsto v + U\) eine lineare Abbildung. Dann gilt:
- Es ist \(U = V\) genau dann, wenn [...] ist.
- Es ist \(U = 0\) genau dann, wenn [...] ist.
A: \(V/U = 0\); \( \pi \) ein Isomorphismus

Q: Proposition Universelle Eigenschaft des Faktorraums
A: Für jeden \(\mathbb{K}\)-Vektorraum \(W\) und jede lineare Abbildung \(f: V \rightarrow W \) mit \(U \subset \text{Kern}(f) \) existiert genau eine lineare Abbildung \(\overline{f}: V/U \rightarrow W \) mit \(\overline{f} \circ \pi = f \), das heisst, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
\[ \begin{matrix} V  & \: & \stackrel{f}{\longrightarrow}  & \: & W \\ \: & \pi \searrow & \: & \nearrow \overline{f} & \: \\ \: & \: & V/U & \: & \: \end{matrix} \]

Q: Proposition: Sei \(B\) eine Basis von \(V\), so dass \(B \cap U\) eine Basis von \(U\) ist. Dann ist [...] eine Basis von \(V/U\). Insbesondere gilt:
[...]
A: \( \{v + U \vert \: v \in B \backslash U \} \); \[ \text{dim}_{\mathbb{K} }(V) = \text{dim}_{\mathbb{K} }(U) + \text{dim}_{\mathbb{K} }(V/U) \]
Back Extra: Variante: Sei \(B = (b_1, \ldots, b_n) \) eine geordnete Basis von \(V\), deren Anfangssegment \(B' := (b_1, \ldots, b_m) \) eine geordnete Basis von \(U\) ist. Dann ist \(B'' := (b_{m+1}+ U, \ldots, b_n + U) \) eine geordnete Basis von \(V/U\).

Q: Proposition: Für jedes \(i = 1, 2\) sei \(V_i\) ein \(\mathbb{K}\)-Vektorraum mit geordneter Basis \(B_i = (b_{i1}, \ldots, b_{in}) \). Sei \(U_i \subset V_i\) der von einem Anfangssegment \(B'_i = (b_{i1}, \ldots, b_{im}) \) von \(B\) erzeugte Unterraum, und sei \(B''_i = (b_{i(m+1)}+ U, \ldots, b_{in}+ U) \) die induzierte geordnete Basis von \(V_i/U_i\).
Jede lineare Abbildung \(f: V_1 \rightarrow V_2\) mit \(f(U_1) \subset U_2 \) induziert natürliche lineare Abbildungen:
[...]
[...]
und die Darstellungsmatrix von \(f\) hat die Blockdreiecksgestalt
[...].
A: \( f': U_1 \rightarrow U_2, \: u \mapsto f(u) \); \(f'': V_1/U_1 \rightarrow V_2/U_2, \: v + U_1 \mapsto f(v) + U_2 \); \[ {}_{B_2}[f]_{B_1} = \begin{pmatrix} {}_{B'_2}[f']_{B'_1} & \ast \\ 0 & {}_{B''_2}[f'']_{B''_1} \end{pmatrix} \]