Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 15 DGL-Systeme / Kap15_03

Q: Reduktion von einer Differentialgleichung der Ordnung \(d\) auf einer offenen Menge \(U\subseteq I\times\mathbb{R}^d\) für ein Intervall \(I\) zu einer \(d\)-dimensionalen Differentialgleichung erster Ordnung:
Gegeben eine Differentialgleichung der Ordnung \(d\), also \[y^{(d)}(t)=f\left(t,y(t),\dot{y}(t),...,y^{(d-1) }(t)\right)\]wobei \(f:U\rightarrow\mathbb{R}\) eine stetige Funktion auf einer offenen Teilmenge \(U\subseteq\mathbb{R}^{d+1}\) ist. Sei \[x(t)=\left(x_0(t),x_1(t),...,x_{d-1}(t) \right)^t\]mit \(y(t)=x_0(t)\). Wie kann ein Differentialgleichungssystem auf \(x(t)\) definiert werden, sodass das System äquivalent zur ersten Differentialgleichung ist?
A: \[\begin{cases}
\dot{x}_0(t)=x_1(t)\\
\dot{x}_1(t)=x_2(t)\\
...\\
\dot{x}_{d-1}(t)=f\left(t,x_0(t),...,x_{d-1}(t)\right)
\end{cases}\]

Definitionen:
Sei \(I\subseteq\mathbb{R}\) ein Intervall, \(U\subseteq I\times\mathbb{R}^d\) offen und \(f:U\rightarrow\mathbb{R}^d\) eine stetige Funktion. Dann heisst die Gleichung \[\dot x(t)=f\left(t,x(t)\right)\] für eine unbekannte (gesuchte) Funktion (Kurve) \(x\) ein \(d\)-dimensionales Differentialgleichungssystem erster Ordnung. \(f\) wird oft die rechte Seite genannt.
Weiter nennen wir zu \((t_0,x_0)\in U\) die Gleichungen \[\dot x(t)=f\left(t,x(t)\right),\ \ x(t_0)=x_0\] ein Anfangswertproblem zum Anfangswert \(x_0\) bei \(t_0\in I\).
Die Differentialgleichung heisst autonom (sich selbst überlassen), falls \(f\) zeitunabhängig ist, das heisst, falls \(f(t,x)=f(t',x)\) für alle \((t,x)\),\((t',x)\in U\). Die Funktion \(f\) wird ein Vektorfeld genannt, selbst wenn dieses zeitabhängig ist.

Q: Prop. 15.15 (Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen)
Seien \(A\in\mathbb{R}^{d\times d}\), \(x_0\in\mathbb{R}^d\) und \(t_0\in\mathbb{R}\) gegeben. Das Anfangswertproblem \[\dot x(t)=Ax(t),\ \ x(t_0)=x_0\]hat welche eindeutig bestimmte Lösung \(t\in\mathbb{R}\mapsto x(t)\)?
A: \[x(t)=exp\left(A(t-t_0)\right)x_0\]Hierbei ist die (Matrix-) Exponentialabbildung \(\operatorname{exp}:\mathbb{R}^{d\times d}\rightarrow GL_d(\mathbb{R}) \) für \(B\in\mathbb{R}^{d\times d}\) definiert durch\[\operatorname{exp}(B)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}B^n\]

Q: Sei die Differentialgleichung \[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+...+a_0y^{(0)}=0\]für \(a_0,...,a_{d-1}\in\mathbb{R}\) gegeben. Wie muss \(A\in\mathbb{R}^{d\times d}\) definiert werden, damit die Differentialgleichung auf \[\dot x(t)=Ax(t)\]reduziert wird und was ist ihres charakteristisches Polynom?
A: \[A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-a_0 & -a_1 & \cdots & -a_{d-2} & -a_{d-1}
\end{pmatrix}\]mit dem charakteristischen Polynom\[T^d+a_{d-1}T^{d-1}+...+a_1T+a_0\]

Q: Produktregel für Matrixwertige Funktionen
Seien \(l,m,n\in\mathbb{N}\). Seien \(a\lt b\) reelle Zahlen und seien \(t\in[a,b]\mapsto A(t)\in\mathbb{R}^{l\times m}\) und \(t\in [a,b]\mapsto B(t)\in\mathbb{R}^{m\times n}\) differenzierbare Funktionen. Was gilt dann für \(t\in [a,b]\mapsto A(t)B(t)\)?
A: \(t\in [a,b]\mapsto A(t)B(t)\) ist differenzierbar und die Ableitung lautet\[\frac{d}{dt}\left(A(t)B(t)\right)=\left(\frac{d}{dt}A(t)\right)B(t)+A(t)\left(\frac{d}{dt}B(t)\right)\]für alle \(t\in [a,b]\).

Q: Korollar 15.18
Sei \(d\in\mathbb{N}\). Ein Anfangswertproblem zu einer linearen homogenen gewöhnlichen Differentialgleichung \(d\)-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat eine [...] Lösung.
Falls das Anfangswertproblem zu der inhomogenen Version der Differentialgleichung eine Lösung mit einem Intervall \(I\) als Definitionsbereich besitzt, so ist diese Lösung ebenso [...].
A: eindeutig bestimmte; eindeutig bestimmt
Back Extra: (Falls nötig: siehe Definitionen für homogen, inhomogen und Anfangswertproblem)

Q: Wichtiges Beispiel eines linearen autonomen Differentialgleichungssystems
Löse das gekoppelte Differentialgleichungssystem \[\dot x_1 = -x_2,\ \ \dot x_2=x_1\]
A: Dieses System lässt sich schreiben als\[\dot x= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} x\]Die eindeutige Lösung für einen beliebigen Anfangswert \(x_0\in\mathbb{R}^2\) ist dann gegeben durch\[x(t)=\operatorname{exp}\left(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}t\right)x_0 = \begin{pmatrix} \operatorname{cos}(t) & -\operatorname{sin}(t) \\ \operatorname{sin}(t) & \operatorname{cos}(t) \end{pmatrix}x_0\]Dieses System kann so veranschaulicht werden:
Hier repräsentieren die gestrichelten Kreise die Lösungsfunktion \(x(t)\), welche für verschiedene Startwerte \(x_0\) verschiedene Kreise als Lösung gibt, und die blauen Pfeile die Richtung und der Betrag der Ableitung der Funktion \(x(t)\) an verschiedenen Stellen.