Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.08

Q: Für jeden \(K\)-Vektorraum \(V\) der Dimension \(n < \infty\) induziert das [...] einen [...]
\[\Lambda^{n-1}V \space\tilde{\rightarrow} \space Hom_K(V,\Lambda^nV), \space \xi \mapsto (v \mapsto \xi \wedge v).\]
Die Wahl eines Isomorphismus \(\Lambda^nV \cong K\) liefert dann einen Isomorphismus
\[\Lambda^{n-1}V\space \tilde{\rightarrow} \space Hom_K(V,K) = V^{\vee}.\]
Ist weiter \(V\) ein euklidischer Vektorraum, so induziert [...] einen Isomorphismus \(V^{\vee} \cong V\), insgesamt also einen Isomorphismus
\[\Lambda^{n-1}V \space\tilde{\rightarrow}\space V.\]
A: äussere Produkt; natürlichen Isomorphismus; das Skalarprodukt

Nach Konstruktion ist das Vektorprodukt bilinear und alternierend. Weiter gilt für alle \(u, v, w \in \mathbb{R}^3\):
- \(\langle u, v \times w \rangle = \langle u \times v, w\rangle = \)\(det(u, v, w)\)
- \(u \times (v \times w) = \) \(\langle u,w \rangle \cdot v - \langle u,v \rangle \cdot w\) (Grassmann-Identität)
- \(u \times (v \times w) + v \times (w \times u) + w \times (u \times v) = \) \(0\) (Jaccobi-Identität)
- \(v \times w = 0\) genau dann, wenn \(v\) und \(w\) linear abhängig sind.
Geometrisch ist das Vektorprodukt charakterisiert durch die Eigenschaften:
- \(v \times w\) ist orthogonal zu \(v\) und \(w\).
- Sind \(v\) und \(w\) linear unabhängig, so ist \( (v, w, v \times w)\) ein Rechtsystem, das heisst, es gilt \(det(v, w, v \times w) > 0\).
- \(|v \times w|\) ist der Flächeninhalt, des von \(v\) und \(w\) aufgespannten Parallelogramms, also \(|v \times w| = |v| \cdot |w| \cdot |sin\space \theta|\) wenn \(\langle v, w \rangle = \) \(|v| \cdot |w| \cdot cos \space \theta.\)