Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / Kap1
Tags: Abbildungen Mengen Relationen Logik Beweise

Q: Definition Injektion
A: \[\forall x_1,x_2 \in \mathbb{X} : f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2\]

Q: Definition Surjektion
A: \[\forall y \in \mathbb{Y} \exists x \in \mathbb{X}: f(x) = y\]

Q: Definition Bijektion
A: injektiv und surjektiv

Q: Was bedeutet dies?
\[\forall x_1, x_2 \in \mathbb{X}: f(x_1) = f(x_2) \implies x_1=x_2\]
A: f ist injektiv

Q: Wann gilt dies?
\[h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f\]
A: immer

Q: Wann ist \[g \circ f\] injektiv?
A: Wenn f und g injektiv sind

Q: Was folgt aus der Surjektivität von f und g für \[g \circ f\]
A: \[g \circ f\] ist surjektiv

Q: Seien f,g bijektiv so gilt für:
[...] = [...]
A: \[(g \circ f)^{-1}\]; \[ f^{-1} \circ g^{-1}\]

Q: Definition Urbild \[f: X \rightarrow Y \] \[B \subseteq Y\]
A: \[f^{-1}(B) = \{x \in \mathbb{X} | f(x) \in B\}\]

Q: Was ist eine Partition?
A: Aufteilung einer Menge in nichtleere, disjunkte Teilmengen, deren Vereinigung die gesamte Menge ergeben.

Q: Was bedeutet dies?
Sei \[f: X \rightarrow X\] \[f^{\circ n}\]
A: Die n-te Iteration der Funktion \[f^{\circ (n+1)} = f \circ f^{\circ n}\] manchmal auch geschrieben als: \[f^n\]

Q: Welche Axiome muss eine Äquivalenzrelation erfüllen?
A: Reflexivität, Symmetrie, Transitivität

Q: Wie nennt man diese Eigenschaft? \[\forall x \in \mathbb{X}: x \mathcal{R} x\]
A: Reflexivität

Q: Wie nennt man diese Eigenschaft?
\[\forall x,y \in \mathbb{X} : x \mathcal{R} y \implies y \mathcal{R} x\]
A: Symmetrie

Q: Wie nennt man diese Eigenschaft?
\[\forall x,y,z \in \mathbb{X}: x \mathcal{R} y \wedge y \mathcal{R} z \implies x \mathcal{R} z\]
A: Transitivität

Q: Was ist eine Äquivalenzklasse von x?
A: \[[x]_{\sim} = \{y \in X | y \sim x\} \] alle Elemente, welche zu x äquivalent sind bezüglich \( \sim \)

Q: Was ist die Quotientenmenge?
A: \[X/ \sim = \{[x]_{\sim}  |  x \in X \}\]
Die menge aller Äquivalenzklassen

Q: Was ist ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse?
A: Ein beliebiges Element aus dieser Äquivalenzklasse

Q: Definition X hat Kardinalität m
A: Es existiert eine Bijektion: \[\{ n \in \mathbb{N} | n \leqslant m\} \rightarrow X\] \[m = |X| = \#X \] Intuition: Anzahl Elemente in X

Q: Proposition Schubfachprinzip
Seien X,Y endliche Mengen
A: Falls \[|X| > |Y|\] gibt es keine injektive Abbildungen von X nach Y

Q: Wann genau existiert eine Bijektion \[X \rightarrow Y\] \[|X|, |Y| < \infty\]
A: Gdw \[|X| = |Y|\]

Q: Definition abzählbar unendlich
A: Es existiert eine Bijektion von \[X \xrightarrow{\sim} \mathbb{N}\]

Q: Definition überabzählbar
A: Menge ist weder endlich noch abzählbar

Q: Nenne die wichtigsten Beweismethoden
A: Wiederspruchsbeweis, Kontraposition, Induktionsbeweis, Schubfachprinzip

Q: Gilt dies allgemein?
Sei \(\mathbb{M}\) eine Menge
\[\emptyset \in \mathbb{M}\]
A: Nein

Q: Was ist das? \[f(\mathbb{X}) = \{ y| \exists x \in \mathbb{X} :y = f(x) \}\]
A: Das Bild von \(\mathbb{X}\)