Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / Kap6

Q: \[\text{Seien } (a_n)_n \text{ und } (b_n)_n \text{ Folgen mit Grenzwerten } A \text{ und } B\]\[\text{Folgere Implikationen aus}\]\[1.~a_n < b_n \text{ für fast alle } n \in \mathbb{N}\]\[2.~a_n \leq b_n \text{ für fast alle } n \in \mathbb{N}\]\[3.~A<B\]\[4.~A \leq B\]
A: \[3.~A<B \implies a_n<b_n \text{ für fast alle }n\in\mathbb{N}:\]\[\text{Finde für }\epsilon := \frac{B-A}{2} \text{ das } N:=\max(N_A,N_B)\]
\[2.~a_n\leq b_n \text{ für fast alle }n\in\mathbb{N} \implies A \leq B:\]\[\text{Folgt aus Kontraposition von 3.}\]
\[\text{Für die anderen Ordnungsrelationen lassen sich keine zusätzlichen Aussagen herleiten}\]\[[6.1]\]

Q: \[\text{Was besagt das Sandwich-Kriterium für Folgen?}\]
A: \[\text{Seien }(a_n)_n\leq(b_n)_n\leq(c_n)_n \text{ reelle Folgen mit } \lim_{n \to \infty}a_n = \lim_{n \to \infty} c_n =: C\]\[\text{Dann folgt } \lim_{n \to \infty}b_n = C\]\[[6.2]\]

Q: \[\text{Gegen was konvergiert }\sqrt[n]{a} \text{ für } a>1?\]
A: \[\lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{a}} = 1\]
\[\text{Beweis:}\]
\[c_n := \sqrt[n]{a} -1 \geq 0 \text{ aufgrund Monotonie der Wurzelfunktion} \]\[a = (1+c_n)^n \geq 1+nc_n \geq nc_n \text{ nach Bernoulli}\implies c_n \leq \frac{a}{n} \implies \lim_{n\to\infty}{c_n}=0\]

Q: \[\text{Konvergiert }\sqrt[n]{n} \text{?}\]
A: \[\text{Ja: } \lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{n}}=1\]\[\text{Beweis: Sei } c_n := \sqrt[n]{n}-1 \geq 0\]\[\implies n=(1+c_n)^n=\sum_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}{c_n}^k} \geq \binom{n}{2}{c_n}^2 = \frac{n(n-1)}{2}{c_n}^2\]\[\implies c_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}} \implies \lim_{n\to\infty}{c_n}=0\]

Q: \[\text{Beweise}\]\[(a_n)_n \text{ monoton und beschränkt} \implies (a_n)_n \text{ konvergiert}\]
A: \[(a_n)_n \text{ beschränkt und oBdA monoton wachsend} \implies \sup(a_n \mid n\in\mathbb{N}) \text{ existiert [2.60]}\]\[\implies\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}:a_N>\sup(a_n \mid n\in\mathbb{N})-\epsilon\]\[\text{und } \forall n\geq N: a_n\geq a_N \text{ aufgrund Monotonie}\]\[[6.11]\]

Q: \[\text{Definition des Limes superior (limsup)?}\]
A: \[\limsup_{n\to\infty}{a_n}:=\inf_{n\in\mathbb{N}}\Big(\sup_{k \geq n}{a_k}\Big) = \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{k \geq n}{a_k}\Big)\]

Q: \[\text{Eigenschaften des} \limsup\]
A: \[\text{1. Fast alle Folgenglieder sind unter } \limsup_{n\to\infty}(a_n) + \epsilon :\]\[S_n:=\sup_{k\geq n}(a_k) \text{ konvergiert gegen } S:=\limsup_{n\to\infty}(a_n)\]\[ \implies \exists N\in\mathbb{N}:S_n<S+\epsilon \implies \forall n\geq N: a_n\leq S_n < S+\epsilon\]
\[\text{2. Unendlich viele Folgenglieder sind über }\limsup_{n\to\infty}(a_n) - \epsilon:\]\[\forall n\in\mathbb{N}: S_n\geq S\implies \forall N\in\mathbb{N} \exists k\geq N:a_k\geq S_N-\epsilon\geq S-\epsilon\]\[\implies\limsup \text{ ist ein Häufungspunkt }\]

Q: \[\text{Angenommen } (a_n)_n \text{ ist bechränkt. Was folgt aus } \limsup_{n\to\infty}(a_n) = \liminf_{n\to\infty}(a_n) ?\]
A: \[(a_n)_n \text{ ist konvergent:}\]\[\text{Folgt aus den Eigenschaften des } \limsup \text{(siehe 6.11)}\]\[\text{[6.14]}\]

Q: \[\text{Sei } (a_n)_n \text{ beschränkt mit } (a_{n_k})_k \text{ konvergenter Teilfolge}\]\[\text{Welche Beziehung ergibt sich zwischen }\lim_{k\to\infty}(a_{n_k}) \text{ und } \limsup_{n\to\infty}(a_n)?\]
A: \[\lim_{k\to\infty}(a_{n_k})\in [\liminf_{n\to\infty}(a_n),\limsup_{n\to\infty}(a_n)]\]\[\text{Folgt aus den Eigenschaften des } \limsup \text{ (siehe 6.11)}\]\[[6.15]\]

Q: \[\text{Definition Cauchy-Folge?}\]
A: \[\text{Sei } (X,d) \text{ ein metrischer Raum}\]\[(a_n)_n \in X \text{ ist Cauchy} \iff\]\[\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}\forall n,m\geq N: d(a_n,a_m)<\epsilon\]

Q: \[\text{Für } (a_n)_n \in\mathbb{R}^\mathbb{N}:\]\[(a_n)_n \text{ konvergent } \iff (a_n)_n \text{ Cauchy}\]
A: \[\implies: \text{trivial aus Definition}\]\[\impliedby: \text{Für }\epsilon=1 \text{ finden wir ein N, also ist die Folge beschränkt.}\]\[\text{Somit existieren limsup und liminf, und es folgt } \forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N} \forall n\geq N:\]\[a_N-\epsilon<a_n<a_N+\epsilon \]\[\implies a_N-\epsilon\leq\liminf_{n\to\infty}(a_n)\leq\limsup_{n\to\infty}(a_n)\leq a_N+\epsilon\]\[\implies \liminf_{n\to\infty}(a_n)=\limsup_{n\to\infty}(a_n)\]\[[6.26]\]

Q: \[\text{Definition Grenzwert einer Funktion}\]\[f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x_0 \text{ Häufungspunkt von } D\]
A: \[A=\lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon>0\exists\delta>0:\]\[\forall x\in D\cap B_\delta(x_0)\backslash\{x_0\}:f(x)\in B_\epsilon(A)\]

Q: \[f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x_0 \text{ Häufungspunkt von } D\]\[\text{Was bedeutet } f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)?\]
A: \[f \text{ ist stetig bei } x_0\]\[[6.39]\]

Q: \[f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x_0 \text{ Häufungspunkt von } D\]\[\text{Beweise } \lim_{x\to 0}f(x)=A \iff \]\[\forall\text{Folgen in }D\backslash\{x_0\}\text{ mit }\lim_{n\to\infty}a_n=x_0 \text{ gilt } \lim_{n\to\infty}f(a_n)=A\]
A: \[\implies: \text{ Mittels Definitionen}\]
\[\neg\implies: \text{ Negation der Definition:}\]\[\exists\epsilon>0\forall\delta>0\exists x\in D: \big(0<\mid x-x_0 <\delta\big) \land \mid f(x)-A\mid\geq\epsilon\]\[\text{Also sei für } \delta_n:=\frac{1}{n}~ a_n \text{ das entsprechende }x, \text{ womit wir ein Gegenbeispiel haben}\]\[[6.40]\]

Q: \[\text{Lassen sich Funktionen und Limes vertauschen?}\]\[\lim_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim_{x\to x_0}f(x)) ?\]
A: \[\text{Ja, sofern die Funktion g bei } y_0=\lim_{x\to x_0}f(x) \text{ stetig ist:}\]\[\text{Folgt aus Folgenstetigkeit (5.49) und Grenzwerten mittels Folgen (6.40)}\]\[[6.41]\]

Q: \[\text{Was ist die Riemann-Summe zu einer Funktion } f:[a,b]\to\mathbb{R}?\]
A: \[\text{Für eine n-Zerlegung }\mathfrak{Z} \text{ von }[a,b] \text{ und Zwischenpunkte }\textbf{z}\text{ mit } z_k\in[x_{k-1},x_k] \text{ ist}\]\[R(f,\mathfrak{Z},\textbf{z})=\sum_{k=1}^n f(z_k)(x_k - x_{k-1})\]

Q: \[\text{Wie lässt sich aus R-Summen das R-Integral bilden?}\]
A: \[\text{Geht die "Maschenweite" } \mid\mathfrak{Z}\mid\to0 \text{ für } n\to\infty, \text{ gilt } \lim_{n\to\infty}R(f,\mathfrak{Z},\textbf{z})=\int_a^bf(x)dx\]\[\text{Beweis: Falls f stetig ist, nutze gleichmässige Stetigkeit (3.83)}\]\[\text{Mit Sandwich durch stetige Funktionen (4.44) folgt die Aussage allgemein}\]\[[6.47]\]

Q: \[\text{Definition der Landau Gross-}\mathcal{O}\text{ Funktion?}\]
A: \[D\subseteq\mathbb{R}\mid x_0\text{ HP von } D\mid f,g:D\to\mathbb{R}\]\[f(x)=\mathcal{O}(g(x)) \text{ für } x\to x_0\text{ falls }\delta>0\text{ und }M>0 \text{ existieren mit }\]\[\forall x\in D\cap\dot{B}_\delta(x_0):~\mid f(x)\mid\leq M\mid g(x)\mid\]

Q: \[\text{Definition der Landau Klein-}\mathcal{o} \text{ Funktion?}\]
A: \[D\subseteq\mathbb{R}\mid x_0\text{ HP von } D\mid f,g:D\to\mathbb{R}\]\[f(x)=\mathcal{o}(g(x)) \text{ für }x\to x_0 \text{ falls}\]\[\forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall x\in D\cap \dot{B}_\delta(x_0):\vert f(x)\vert\leq\epsilon\vert g(x)\vert\]