Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_06

Q: Sei \(L\) eine Lineare Abbildung und \(Q \subseteq \mathbb R^n\) ein Quader.
\[\operatorname{vol}(L(Q)) = \]
A: \[\operatorname{vol}(L(Q)) = | \operatorname{det(L)}| \operatorname{vol}(Q)\]

Q: Sei \(L\in Mat_{n,n}(\mathbb R)\)  nicht vollrangig und \(B \subseteq \mathbb R^n\) eine Teilmenge.
\[\operatorname{vol}(L(Q)) = \]
A: \[\operatorname{vol}(L(Q)) = 0\]Das Bild \(L(B)\) ist also eine Jordan-Nullmenge.

Q: Definition Gramsche Determinante der Vektoren \(v_1, \dots v_n \in \mathbb R^n\)
A: \[\operatorname{gram}(v_1, \dots v_n)=\det (\langle v_i, v_j\rangle)_{ij}\]

Q: Sei \(L \in Mat_{n,n}(\mathbb R)\) mit Spalten \(v_1 ,\dots v_n \in \mathbb R ^n\).
Was ist das Volumen des Parallelotops
\[P = L([0,1]^n) = \{\sum_{i=1}^n s_i v_i \mid s_1, \dots, s_n \in [0,1] \}\] ?
A: \[\operatorname{vol}(P)= \operatorname{vol}(L([0,1]^n)) =\det(L) = \sqrt{\operatorname{gram}(v_1, \dots, v_n)}\]

Q: Definition  (kompakter) Träger \(\operatorname{supp}(f)\) einer Funktion \(f:X\to \mathbb R\) mit \(X\subseteq \mathbb R^n\)
A: \[\operatorname{supp}(f)=\overline{\{x\in X\mid f(x)\neq 0\}}\]Wir sagen \(f\) hat kompakten Träger falls \(\operatorname{supp}(f)\) kompakte Teilmenge von \(X\) ist.

Q: Wie ist das Riemann-Integral einer Funktion \(f:X\to \mathbb R\) mit kompaktem Träger \(K= \operatorname{supp}(f)\) definiert?
A: \[\int_X f \operatorname{dvol} = \int_Q \mathbb 1_X f \operatorname{dvol}\]wobei \(Q\) ein Quader mit \(K\subseteq Q\) ist und \(\mathbb 1_X f = \cases{f(x) \quad {\text{für } x\in X} \\0 \qquad \text{sonst}}\)

Q: Mehrdimensionale Substitutionsregel für Integrale
A: \[\int_Y f(y) \operatorname{dvol}(y) = \int_X(f\circ\Phi(x)) |\det(D_x \Phi)| \operatorname{dvol}(x)\]
Wobei \(\det(D_x\Phi)\) die Jacobi-Determinante von \(\Phi\) bezeichnet und \( \Phi : X \rightarrow Y \) ein Diffeomorphismus ist.

Q: Jacobi Determinante der Polarkoordinatenabbildung
A: \[\det(D_{(r,\varphi)}\Phi) = r\]

Q: Jacobi-Determinante der Kugelkoordinatenabbildung
A: \[\det(D_{(r, \theta,\varphi)}) = r^2 \sin\theta\]

Q: Lemma 13.66 ([...] mit stetigen Funktionen).
Sei \(U \subseteq \mathbb R^n\) eine offene Teilmenge und sei \(f : U \to\mathbb R\) eine Funktion mit kompaktem Träger in \(U\) . Falls die Funktion \(f\) Riemann-integrierbar ist, dann gibt es für jedes \(\varepsilon> 0\) stetige reellwertige Funktionen \(f_-,f_+\) mit kompaktem Träger in \(U\) für die [...]  sowie [...] erfüllt ist.
A: Sandwich-Charakterisierung; \(f_− \leq f \leq f_+\); \(\int_U (f_+ - f_- ) \operatorname{dvol} < \varepsilon\)