Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.19

Q: Definition normale Abbildung
A: Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum. Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow V\), deren Adjungierte \(f^{\ast}\) existiert und die Gleichung \(f^{\ast} \circ f = f \circ f^{\ast}\) erfüllt, heisst normal.

Proposition:
(a) Jede selbstadjungierte lineare Abbildung ist normal.
(b) Jede  orthogonale lineare Abbildung \(f: V \stackrel{\sim}{\rightarrow} V\) ist normal.

Q: Beispiel: Jede [...] ist normal.
A: reelle Diagonalmatrix

Q: Beispiel: Für alle \(a, b \in \mathbb{R}\) kommutiert die Matrix \(A := \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\) mit [...], also ist die Abbildung [...] normal.
A: \(A^T = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\); \(L_A: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\)

Q: Bemerkung: Die Abbildung
[...]
ist ein [...], also ein [...].
Man kann dies zur Konstruktion von \(\mathbb{C}\) verwenden, anstelle der üblichen Identifikation \(\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2\).
A: \[ \mathbb{C} \rightarrow \text{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \: a + ib \mapsto \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\]; injektiver Ringhomomorphismus; Ringisomorphismus von \(\mathbb{C}\) auf sein Bild

Q: Spektralsatz: Für jeden [...] existiert [...], bezüglich welcher die Darstellungsmatrix von \(f\) die folgende Blockdiagonalgestalt hat:
[...]
A: normalen Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums \(V\); eine geordnete Orthonormalbasis \(B\) von \(V\); \[ {}_B[f]_B = \begin{pmatrix} D_1 & \: & \: \\ \: & \ddots & \: \\ \: & \: & D_r \end{pmatrix} \; \; \text{mit} \; \; D_k = \left\{ \begin{matrix} a_k & \text{mit} & a_k \in \mathbb{R} & \text{oder} \\ \begin{pmatrix} a_k & b_k \\ -b_k & a_k \end{pmatrix} & \text{mit} & a_k, b_k \in \mathbb{R}. & \: \end{matrix} \right. \]