Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.13

Q: Proposition: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung.
Es gibt höchstens eine lineare Abbildung \(f^{\ast}: W \rightarrow V\) mit der Eigenschaft:
\[ \forall v \in V \: \forall w \in W: [...]. \]
A: \langle f(v), w \rangle = \langle v, f^{\ast}(w) \rangle

Q: Definition Adjungierte Abbildung
A: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Die lineare Abbildung \(f^{\ast}: W \rightarrow V\) mit der Eigenschaft
\[\forall v \in V \: \forall w \in W: \langle f(v), w \rangle = \langle v, f^{\ast}(w) \rangle\]
heisst die Adjungierte (Abbildung) von \(f\), wenn sie existiert.

Q: Proposition: Ist \(f^{\ast}\) die Adjungierte von \(f\), so ist [...], d.h. es gilt [...]. Man nennt \(f\) und \(f^{\ast}\) daher auch [...].
A: auch \(f\) die Adjungierte von \(f^{\ast}\); \((f^{\ast})^{\ast} = f\); zueinander adjungiert

Q: Beispiel: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume. Die Adjungierte der Nullabbildung \(V \rightarrow W\) ist [...].
A: die Nullabbildung \(W \rightarrow V\)

Q: Beispiel: Seien \(V\) ein euklidischer Vektorraum und \(U \subset V\) ein Unterraum mit \(V = U \oplus U^{\perp}\) und dem von \(V\) induzierten Skalarprodukt. Dann ist die zur Inklusion \(i_U: U \hookrightarrow V\) adjungierte Abbildung [...], und umgekehrt.
A: die orthogonale Projektion \(\pi_U: V \twoheadrightarrow U\)

Q: Proposition: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Ist \(\text{dim}(V) < \infty\), so existiert [...]. Genauer gilt für jede geordnete Orthonormalbasis \((b_1, \ldots, b_n)\) von \(V\):
\[ \forall w \in W: f^{\ast}(w) = [...].\]
A: die adjungierte Abbildung \(f^{\ast}\); \sum_{i=1}^n \langle f(b_i), w \rangle \cdot b_i

Q: Proposition: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume und \(f: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung. Seien \(B\) eine geordnete Orthonormalbasis von \(V\) und \(B'\) eine geordnete Orthonormalbasis von \(W\). Dann gilt:
\[ [...] = [...].\]
A: {}_B[f^{\ast}]_{B'}; {}_{B'}[f]_B^T

Q: Proposition: Für jede reelle \(m \times n\)-Matrix \(A\) ist die Adjungierte von \(L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) für die jeweiligen Standardskalarprodukte gleich [...]
A: \(L_{A^T}: \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n\).

Q: Beispiel: Seien \(V\) und \(W\) euklidische Vektorräume. Jede orthogonale lineare Abbildung \(f: V \stackrel{\sim}{\rightarrow} W\) hat Adjungierte [...]
A: \(f^{\ast} = f^{-1}\).

Q: Definition selbstadjungiert
A: Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum. Eine lineare Abbildung \(f: V \rightarrow V\), die ihre eigene Adjungierte ist (also \(f = f^{\ast}\)), heisst selbstadjungiert.

Q: Beispiel: Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum. Ist \(B\) eine geordnete Orthonormalbasis von \(V\), so ist \(f: V \rightarrow V\) selbstadjungiert genau dann, wenn [...]
A: ihre Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\) symmetrisch ist.
Back Extra: Dies folgt direkt aus \({}_B[f^{\ast}]_B' = {}_{B'}[f]_B^T\), da für eine symmetrische reelle Matrix \(A\) gerade \(A = A^T\) gilt.

Q: Beispiel: Die Abbildung \(L_A: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) ist selbstadjungiert für das Standardskalarprodukt auf \(\mathbb{R}^n\) genau dann, wenn [...]
A: \(A\) symmetrisch ist.

Q: Beispiel: Sei \(V\) ein euklidischer Vektorraum. Die identische Abbildung \(\text{id}_V: V \rightarrow V\) ist [...].
A: selbstadjungiert