Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.01

Q: Multilineare Abbildung (Definition)
A: Betrachte \(K\)-Vektorräume \(V_1, \ldots, V_r\) und \(W\). Eine Abbildung
\[\varphi: V_1 \times \ldots \times V_r \to W, (v_1, \ldots, v_r) \mapsto \varphi(v_1, \ldots, v_r)\]
die in jeder Variablen \(v_i\) separat linear ist, heisst multilinear. Die Menge aller solcher bezeichnen wir mit
\[\text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W)\]

Q: \(\text{Mult}_K(V_1,\ldots,V_r;W)\) als Unterraum (Proposition)
A: \(\text{Mult}_K(V_1,\ldots,V_r;W)\) ist ein Unterraum des Raums aller Abbildungen \(V_1 \times \ldots \times V_r \to W\).

Q: \(\text{Mult}_K\) im Spezialfall \(r = 1\)
A: Für \(r = 1\) ist \(\text{Mult}_K(V;W) = \text{Hom}_K(V,W)\). Insbesondere ist \(\text{Mult}_K(V;K) = \text{Hom}_K(V,W) = V^{\vee}\) der Dualraum von \(V\).

Q: \(\text{Mult}_K\) im Spezialfall \(r = 2\)
A: Für \(r = 2\) heisst multilinear auch bilinear. Insbesondere ist \(\text{Mult}_K(V, V;K)\) der Raum aller Bilinearformen auf \(V\).

Q: Funktorialität (Proposition)
A: Lineare Abbildungen \(f_i: V_{i}' \to V_i\) und \(g: W \to W'\) induzieren eine lineare Abbildung
\[\varphi \in \text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W) \to \text{Mult}_K(V_1', \ldots, V_r';W')\]
\[\varphi \mapsto g \circ \varphi \circ (f_1 \times \ldots \times f_r)\]

Q: Betrachte Basen \(B_i\) von \(V_i\) sowie \(C\) von \(W\). Betrachte ein System von Koeffizienten \(\alpha_{b_1,\ldots,b_r}^{c} \in K\) für alle \(b_i \in B_i\) und \(c \in C\) mit der Eigenschaft [...]. Dann existiert genau eine multilineare Abbildung \(\varphi: V_1 \times \ldots \times V_r \to W\), sodass für alle \(b_i \in B\) gilt:
[...]
Umgekehrt hat jede multilineare Abbildung \(\varphi: V_1 \times \ldots \times V_r \to W\) diese Gestalt für [...].
A: \(\forall b_i \in B: | \{c \in C \space | \space \alpha_{b_1,\ldots,b_r}^{c} \neq 0 \} | < \infty\); \[\varphi(b_1, \ldots, b_r) = \sum_{c \in C}' \alpha_{b_1, \ldots, b_r}^{c}c\]; eindeutige Koeffizienten \(\alpha_{b_1, \ldots, b_r}^{c}\)

Q: Für beliebige \(V_1, \ldots, V_r, W\) gilt, mit der Konvention \(\infty \cdot 0 = 0\):
[...]
A: \[\text{dim}_K\text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W) = \big( \prod_{i=1}^{r} \text{dim}_K(V_i^{\vee}) \big) \cdot \text{dim}_K(W) \]

Q: Fälle für \(\text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W) \neq 0\)
A: - Es ist \(\text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W) \neq 0\) genau dann, wenn alle \(V_i, W \neq 0\) sind.
- Es ist \(\text{Mult}_K(V_1, \ldots, V_r;W) \neq 0\) und endlich-dimensional genau dann, wenn alle \(V_i,W \neq 0\) und endlich-dimensional sind.