Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.4

Q: Definition Darstellungsmatrix einer Bilinearform
A: Die Darstellungsmatrix einer Bilinearform \(\beta\) auf \(V\) bezüglich einer geordneten Basis \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) von \(V\) ist die \(n \times n\)-Matrix
\[ [\beta]_B := (\beta(v_i, v_j))_{i,j=1,\ldots,n}\] für die gilt \( \beta(x,y) = x^T \cdot [\beta]_B \cdot y \) für \(x,y \in V\).

Q: Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) eine geordnete Basis von \(\mathbb{R}^n\). Für je zwei Vektoren \(x = (x_1, \ldots, x_n)^T\) und \(y = (y_1, \ldots, y_n)^T\) in \(\mathbb{R}^n\) setze \(v := \sum_i x_i v_i \) und \(w := \sum_j y_j v_j\) in \(V\). Mit \(A := [\beta]_B\) gilt dann:
[...]
A: \[\beta(v, w) = x^T A y\]

Q: Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) eine geordnete Basis von \(V\). Für jede \(n \times n\)-Matrix \(A\) über \(\mathbb{K}\) existiert genau eine Bilinearform \(\beta\) auf \(V\) mit [...].
A: \( [\beta]_B = A \)

Q: Proposition: Eine Bilinearform auf \(V\) ist symmetrisch genau dann, wenn [...].
A: ihre Darstellungsmatrix bezüglich einer geordneten Basis \(B\) von \(V\) symmetrisch ist

Q: Proposition: Sei \(B = (v_1, \ldots, v_n) \) eine geordnete Basis von \(V\). Die Darstellungsmatrix von \(\beta\) bezüglich jeder weiteren geordneten Basis \(B'\) von \(V\) ist gegeben durch:
[...]
A: \[ [\beta]_{B'} = {}_B[\text{id}_V]_{B'}^T \cdot [\beta]_B \cdot {}_B[\text{id}_V]_{B'} \]