Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.7

Q: Definition Orthogonalsystem (Teilmenge)
A: Eine Teilmenge \(S \subset V \backslash \{0\} \), sodass je zwei verschiedene Elemente von \(S\) zueinander orthogonal sind, heisst Orthogonalsystem.

Q: Definition Orthonormalsystem (Teilmenge)
A: Ist \(S \subset V \backslash \{0\}\) ein Orthogonalsystem und ist zusätzlich jeder Vektor in \(S\) normiert, so heisst \(S\) ein Orthonormalsystem.

Q: Definition Orthogonalbasis / Orthonormalbasis (Teilmenge)
A: Ist \(S \subset V \backslash \{0\} \) ein Orthogonalsystem bzw. ein Orthonormalsystem und zusätzlich eine Basis von \(V\), so heisst \(S\) eine Orthogonalbasis bzw. Orthonormalbasis von \(V\).

Q: Definition Orthogonalsystem (Tupel)
A: Ein Tupel \((v_1, \ldots, v_n)\) mit \(v_i \in V \backslash \{0\}\) und \(v_i \perp v_j\) für alle \(i \neq j\) heisst Orthogonalsystem.

Q: Definition Orthonormalsystem (Tupel)
A: Ist ein Tupel \((v_1, \ldots, v_n)\) mit \(v_i \in V \backslash \{0\}\) ein Orthogonalsystem und zusätzlich jedes \(v_i\) normiert, so heisst das Tupel ein Orthonormalsystem.

Q: Definition geordnete Orthogonalbasis / geordnete Orthonormalbasis
A: Ist ein Tupel \((v_1, \ldots, v_n)\) mit \(v_i \in V \backslash \{0\}\) ein Orthogonalsystem bzw. Orthonormalsystem und zusätzlich eine geordnete Basis von \(V\), so heisst es geordnete Orthogonalbasis bzw. geordnete Orthonormalbasis von \(V\).

Q: Proposition: Jedes Orthogonalsystem ist [...].
A: linear unabhängig

Proposition: Eine geordnete Basis \(B\) von \(V\) ist eine Orthogonalbasis genau dann, wenn die Darstellungsmatrix des Skalarprodukts \([\langle \: , \: \rangle]_B\) eine Diagonalmatrix ist. Sie ist eine Orthonormalbasis genau dann, wenn  die Darstellungsmatrix die Einheitsmatrix ist.

Q: Proposition: Sei \(B\) eine Orthonormalbasis von \(V\), und sei \(v \in V\) beliebig. Dann gilt [...] für fast alle \(b \in B\) und \(v\) hat die Entwicklung
\[v = [...]\]
A: \(\langle b, v \rangle = 0\); \sum_{b \in B}'\langle b, v \rangle \cdot b