Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.16

Q: Definition quadratische Form (homogen und inhomogen)
A: Sei \(\mathbb{K}\) ein beliebiger Körper und \(n\) eine positive natürliche Zahl.
Ein Polynom der Form
\[q(x_1, \ldots, x_n) = \alpha + \sum_{1 \leqslant i \leqslant n}a_ix_i + \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}a_{ij}x_ix_j\]
mit \(\alpha, a_i, a_{ij} \in \mathbb{K}\) heisst eine quadratische Form in \(n\) Variablen über \(\mathbb{K}\).
Sind dabei \(\alpha = a_1 = \ldots = a_n = 0\), so heisst \(q\) homogen, sonst inhomogen.
Übersetzt in Spaltenvektoren \(x \in \mathbb{K}^n\) ist eine quadratische Form also ein Ausdruck der Form
\[q(x) = \alpha + a^Tx + x^TAx\]
für beliebige \(\alpha \in \mathbb{K}\) und \(a \in \mathbb{K}^n\) und \(A \in \text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})\).

Q: Proposition: Ist [...], so besitzt jede quadratische Form über \(\mathbb{K}\) [...].
A: \(1 + 1 \neq 0\) in \(\mathbb{K}\); eine eindeutige Darstellung \(q(x) = \alpha + a^Tx + x^TAx\) mit \(A\) symmetrisch

Q: Definition Rang, Index und Signatur einer quadratischen Form
A: Sei \(q(x) = \alpha + a^Tx + x^TAx\) eine reelle quadratische Form mit \(A\) symmetrisch und der zugehörigen symmetrischen Bilinearform
\[\beta: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \; (x, y) \mapsto x^TAy.\]
Rang, Index und Signatur von \(\beta\) heissen auch Rang, Index und Signatur von \(q\). Ist \(\beta\) nicht-ausgeartet (also \(A\) invertierbar), so heisst \(q\) nicht-ausgeartet.

Hauptachsentransformation 3:
(a) Für jede reelle quadratische Form \(q\) existieren eine orthogonale Matrix \(Q\), \(\beta \in \mathbb{R}\) und \(b \in \mathbb{R}^n\) sowie eine Diagonalmatrix \(D\), so dass gilt:
\[q(Qy) = \beta + b^Ty + y^TDy.\]
(b) Ist zusätzlich \(q\) nicht ausgeartet, so existieren weiter \(\gamma \in \mathbb{R}\) und \(c \in \mathbb{R}^n\), so dass gilt:
\[q(c + Qy) = \gamma + y^TDy = \gamma + \sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \lambda_iy_i^2.\]

Q: Definition reelle Quadrik
A: Die Nullstellenmenge \( \{x \in \mathbb{R}^n \: \vert \: q(x) = 0\} \) einer reellen quadratischen Form \(q(x) = \alpha + a^Tx + x^TAx\) mit \(A \neq 0 \) heisst eine reelle Quadrik.

Bedeutung der Hauptachsentransformation 3: Die Hauptachsentransformation liefert eine Normalform einer Quadrik bis auf Isometrie und Translation. Ist \(q\) nicht-ausgeartet, so erhält man ein neues kartesisches Koordinatensystem im \(\mathbb{R}^n\) mit Ursprung im Punkt \(c\) und den Koordinatenachsen \( \{Qte_i + c \: \vert \: t \in \mathbb{R}\} \) mit \(e_i = (\delta_{ij})_j\). Diese Koordinatenachsen heissen Hauptachsen von \(q\). Diese sind gleichzeitig Symmetrieachsen der nicht-ausgearteten Quadrik, da die Quadrik invariant unter der Spiegelung an der jeweils dazu orthogonalen Hyperebene ist.

Beispiele für Quadriken:
im \(\mathbb{R}^2\): Ellipse, Hyperbel, Parabel, zwei Geraden
im \(\mathbb{R}^3\): Ellipsoid, einschaliges oder zweischaliges Hyperboloid, Doppelkegel, Paraboloid
im \(\mathbb{R}^4\): Lichtkegel im Minkowski-Raum \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_4^2 = 0\).