Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 15 DGL-Systeme / Kap15_01+02

Q: Ist die Lösung eines Anfangswertproblems immer eindeutig?
A: Nein, es kann sogar überabzählbar viele Lösungen geben.

Q: Trennung der Variablen
Wie löst man eine Differentialgleichung dieser Form:
\[y'=f(x)g(y)\]
A: \[\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)g(y)\]
\[\frac{\text{d}y}{g(y)}=f(x)\text{d}x\]\[\int\frac{\text{d}y}{g(y)}=\int f(x)\text{d}x\]Daraus erhält man einen Gleichungssystem für \(y\), welches man nach \(y\) auflöst.

Q: Wie sieht eine lineare, gewöhnliche Differentialgleichung \(d\)-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten aus?
A: \[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=g(x)\]Wobei \(a_{d-1},\ldots,a_0\in\mathbb{R}\) und \(g:\mathbb{R}\supseteq I\to\mathbb{R}\) eine Störfunktion ist.

Q: Wann heisst die folgende Differentialgleichung homogen / inhomogen ?
\[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=g(x)\]
A: homogen: \(g(x)=0\)
inhomogen: \(g(x)\neq 0\)

Q: \[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=g(x)\]Welche Bedingungen hat zusätzlich das entsprechende Anfangswertproblem?
A: \[y(x_0)=w_0, y'(x_0)=w_1,\ldots, y^{(d-1)}(x_0)=w_{d-1}\]wobei \(x_0, w_0, w_1, \ldots, w_{d-1}\in\mathbb{R}\)

Q: Was ist das charakteristische Polynom der folgende Diff-gleichung ?
\[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=0\]
A: \[p(T)=T^d+a_{d-1}T^{d-1}+\ldots +a_0 \in \mathbb{R}[T]\]

Q: \[y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=0\]Wann ist \(y=e^{\alpha x}\) eine Lösung dieser Diff-gleichung?
Betrachte sowohl \(\alpha \in \mathbb{R}\) als auch \(\alpha \in \mathbb{C}\).
A: Genau dann, wenn \(\alpha\) eine Lösung des charakteristischen Polynoms der Diff-gleichung ist.
Falls \(\alpha\) reell: \(y=e^{\alpha x}\) ist eine reellwertige Lösung.
Falls \(\alpha = \beta + \gamma \text{i}\) komplex: \(\overline{\alpha}\) ist auch eine Lösung des Polynoms und somit sind alle Linearkombinationen von \[e^{\alpha x} = e^{\beta x}(\cos(\gamma x)+\text{i}\sin(\gamma x)), \hspace{1cm}e^{\overline{\alpha}x} = e^{\beta x}(\cos(\gamma x)-\text{i}\sin(\gamma x)) \]oder auch von\[\frac{1}{2}(e^{\alpha x} + e^{\overline{\alpha}x}) = e^{\beta x}\cos(\gamma x), \hspace{1cm} \frac{1}{2\text{i}}(e^{\alpha x} - e^{\overline{\alpha}x}) = e^{\beta x}\sin(\gamma x)\]Lösungen der Diff-gleichung.

Q: \[[...] = [...]\]
Was wird dadurch repräsentiert?
A: \text{PE}_\mathbb{C}(\mathbb{R}); \langle x^ne^{\alpha x}\vert n\in\mathbb{N}_0,\alpha\in\mathbb{C}\rangle
Back Extra: Die lineare Hülle der Funktionen \(x\mapsto x^ne^{\alpha x}\).
Die Elemente werden aus Polynomen und der Exponentialabbildung konstruiert.

Sei \(\alpha\in\mathbb{C}\).
\[\text{PE}_\mathbb{C}^\alpha (\mathbb{R})  =  \langle x^n e^{\alpha x}\vert n\in\mathbb{N}_0\rangle  = \mathbb{C}[x]e^{\alpha x}  \subseteq \text{PE}_\mathbb{C}(\mathbb{R}) \]

Q: Lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Sei \(p(t) = \sum_{k=0}^d a_kT^k \in\mathbb{C}[T]\) ein Polynom mit \(a_d = 1\), das mittels \(p(T)=\prod_{k=1}^l(T-\alpha_k)^{n_k}\) in Linearfaktoren zerfällt, wobei wir annehmen, dass \(\alpha_j \neq \alpha_k\) für \(j\neq k \in\{1,\ldots,l\}\). Dann hat die zugehörige homogene Differentialgleichung \[p(D)y = [...]\]die folgenden [...] linear unabhängigen Lösungen:
A: 0; \(d\)
Back Extra: \[\begin{matrix}e^{\alpha_1 x}, & x e^{\alpha_1 x}, & \ldots, & x^{n_1-1}e^{\alpha_1 x}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ e^{\alpha_l x}, & x e^{\alpha_l x}, & \ldots, & x^{n_l-1}e^{\alpha_l x}\end{matrix}\]

Q: Matrixdarstellung des Differentialoperators
Sei \(p(T)=\sum_{k=0}^d a_kT^k \in \mathbb{C}[T]\) ein Polynom.
Was ist unter \(p(D)y\) zu verstehen?
A: Das entspricht die Diff-gleichung\[a_ny^{(d)}+\ldots+a_0y^{(0)} = \sum_{k=0}^da_ky^{(k)}\]
(Genauere Betrachtung siehe Skript Seite 754)

Q: Wie findet man eine partikuläre Lösung der inhom. Diff-gleichung\[p(D)y=g,\hspace{.5cm}p(T)\in\mathbb{C}[T]\]für\[g(x)=q(x)e^{\alpha x}\]mit \(q(T)\) ein Polynom von Grad \(n\) und \(\alpha\in\mathbb{C}\) mit \(p(\alpha)\neq 0\) bzw. \(p(\alpha)=0\) ?
A: Für \(p(\alpha) \neq 0\):
Definiere \(y_{part}=Q(x)e^{\alpha x}\), wobei \(Q(T)\) ein Polynom vom Grad \(n\) mit \(n+1\) noch zu bestimmenden Koeffizienten ist. Dann: Ansatz einsetzen, Koeffizientenvergleich.
Für \(p(\alpha) = 0\):
Selbes Verfahren, jedoch mit dem Ansatz \(y_{part}=Q(x)x^le^{\alpha x}\), wobei \(l\) die Vielfachheit der Nullstelle \(\alpha\) von \(p(T)\) angibt.

Q: Wie findet man eine partikuläre Lösung der inhom. Diff-gleichung\[p(D)y=g,\hspace{.5cm}p(T)\in\mathbb{C}[T]\]für ein allgemeines \(g\in\text{PE}_\mathbb{C}(\mathbb{R})\) ?
A: \(g\) lässt sich dann als Linearkombination von Ausdrücken der Form \(q(x)e^{\alpha x}\) und \(r(x)e^{\beta x}\) mit \(q(T),r(T)\) Polynome, \(p(\alpha)=0\) und \(p(\beta)\neq 0\).
Benutze die jeweiligen Verfahren für die verschiedene Terme und addiere alle resultierenden Funktionen, um \(y_{part}\) zu erhalten.

Q: Woraus ergibt sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung?
Wie kann man das entsprechende Anfangswertproblem lösen?
A: Die allg. Lösung ergibt sich aus der Summe der partikulären Lösung und der allg. Lösung der entsprechenden homogenen Diff-gleichung:\[y=y_{part}+y_{hom}\]
Um den Anfagswertproblem zu lösen muss man noch die Anfangsbedingungen einsetzen, um die Koeffizienten zu bestimmen.

Q: Struktur der Lösungsmengen
Welche Struktur haben die komplexwertigen Lösungen von \(y^{(d)}+a_{d-1}y^{(d-1)}+\ldots +a_0y^{(0)}=g(x)\) für \(g(x) = 0\) (homogen) bzw. für \(g(x) \neq 0\) (inhomogen)?
A: Die komplexwertigen Lösungen der homogene Diff-gleichung bilden einen Vektorraum \(V\) über \(\mathbb{C}\) und die Lösungsmenge der inhomogene Diff-gleichung hat die Form \(y_{part}+V\), wobei \(y_{part}\) eine partikuläre Lösung ist.

Q: Eine Basis eines Teilraumes
Die komplexwertigen Funktionen \(x\in\mathbb{R} \mapsto x^ne^{\alpha x}\)für \(n\in\mathbb{N}_0\) und \(\alpha\in\mathbb{C}\) bilden eine [...] Teilmenge des komplexen Vektorraum \(F_\mathbb{C}(\mathbb{R})\) der komplexwertigen Funktionen auf \(\mathbb{R}\).
A: linear unabhängige