Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 9_Endomorphismen_II

Q: Definition \(f^i\) und Polynom \(\varphi(f)\)
A: Sei \(f\) ein Endomorphismus eines \(\mathbb{K}\)-Vektorraums \(V\). Für alle natürlichen Zahlen \(i\) sind die Endomorphismen \(f^i \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \) definiert durch \(f^0 = \text{id}_V\) und \(f^{i+1} = f \circ f^i\). Für jedes Polynom \(\varphi(X) = \sum_{i \geqslant 0}^{'} a_i X^i \in \mathbb{K}[X] \) ist der Endomorphismus \(\varphi(f) \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \) definiert durch:
\[\varphi(f) := \sum_{i \geqslant 0}' a_i f^i : \; V \rightarrow V, \: v \mapsto \sum_{i \geqslant 0}' a_i f^i(v) \]

Grundeigenschaften von \(f^i\) und Polynom \(\varphi(f)\):
Für alle \(i,j \geqslant 0\) und \(\varphi, \psi \in \mathbb{K}[X] \) und \(a \in \mathbb{K}\) gilt:
-  \(f^i \circ f^j \)  =  \(f^{i+j} \) 
-  \( (a \varphi )(f) \)  =  \( a \varphi(f) \) 
-  \( (\varphi + \psi)(f) \)  =  \( \varphi(f) + \psi(f) \) 
-  \( (\varphi \psi)(f) \)  =  \( \varphi(f) \circ \psi(f) \)

Q: Proposition: Für jedes normierte Polynom \( \varphi \in \mathbb{K}[X] \) sind äquivalent:
- Es ist \(\varphi(f) = 0\), und für alle \(\psi \in \mathbb{K}[X] \) mit \(\psi(f) = 0 \) gilt [...].
- Es ist \(\varphi(f) = 0\), und für alle \(\psi \in \mathbb{K}[X] \backslash \{0\} \) mit \(\psi(f) = 0\) gilt [...].
A: \( \varphi \vert \psi \); \( \text{deg}(\varphi) \leqslant \text{deg}(\psi) \)
Back Extra: Ausserdem ist ein solches \(\varphi\) eindeutig bestimmt, wenn es existiert.

Q: Definition Minimalpolynom von \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \)
A: Ein normiertes Polynom \(\varphi \in \mathbb{K}[X] \) heisst das Minimalpolynom von \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \), falls gilt:
- \(\varphi(f) = 0\) und \(\varphi \vert \psi\) für alle \(\psi(X) \in \mathbb{K}[X] \) mit \(\psi(f) = 0\)
- \(\varphi(f) = 0\) und \(\text{deg}(\varphi) \leqslant \text{deg}(\psi) \) für alle \(\psi(X) \in \mathbb{K}[X] \backslash \{0\} \) mit \(\psi(f) = 0\)

Q: Proposition: Ist \(\text{dim}_{\mathbb{K} }(V) < \infty \), so existiert [...] von allen \(f \in \text{End}_{\mathbb{K}}(V) \).
A: das Minimalpolynom

Q: Proposition: Für jeden Eigenwert \(\lambda \in \mathbb{K} \) von \(f\) gilt [...] \(\Rightarrow\) [...]. Folgerung?
A: \(\varphi(f) = 0 \); \(\varphi(\lambda) = 0 \)
Back Extra: Ein Endomorphismus eines unendlich-dimensionalen Vektorraums mit unendlich vielen Eigenwerten besitzt kein Minimalpolynom.

Q: Definition Polynom \(\varphi(A)\), Matrix \(A\)
A: Für jedes Polynom \(\varphi(X) = \sum_{i \geqslant 0}^{'} a_i X^i \in \mathbb{K}[X]\) ist \(\varphi(A)\) für \(A \in \text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \) folgendermassen definiert:
\[ \varphi(A) := \sum_{i \geqslant 0}' a_i A^i\]
Insbesondere gilt \(L_{\varphi(A)} = \varphi(L_A)\)

Grundeigenschaften von \(\varphi(A)\):
Für alle \(\varphi, \psi \in \mathbb{K}[X] \), \(A \in \text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K})\) und \(a \in \mathbb{K}\) gilt:
-  \((a \varphi)(A) \)  =  \(a \varphi(A) \) 
-  \( (\varphi + \psi)(A) \)  =  \(\varphi(A) + \psi(A) \) 
-  \( (\varphi \psi)(A) \)  =  \(\varphi(A) \circ \psi(A) \)

Q: Definition Minimalpolynom einer quadratischen Matrix \(A \in \text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K} ) \)
A: Ein normiertes Polynom \(\varphi \in \mathbb{K}[X] \) heisst das Minimalpolynom von \(A \in \text{Mat}_{n \times n}(\mathbb{K}) \), falls gilt:
- \(\varphi(A) = 0\) und \(\varphi \vert \psi\) für alle \(\psi(X) \in \mathbb{K}[X] \) mit \(\psi(A) = 0\)
- \(\varphi(A) = 0\) und \(\text{deg}(\varphi) \leqslant \text{deg}(\psi) \) für alle \(\psi(X) \in \mathbb{K}[X] \backslash \{0\} \) mit \(\psi(A) = 0\)
Das Minimalpolynom von \(A\) ist gleich dem von \(L_A\).

Q: Beispiel:
- Die Matrix \(A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\) hat das Minimalpolynom [...].
- Die Matrix \(A := \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) hat das Minimalpolynom [...].
- Die Matrix \(A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) hat das Minimalpolynom [...].
A: \(X^2 - 4X + 1\); \(X - 2\); \((X - 2)^2\)

Q: Proposition: Ist \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \) diagonalisierbar, mit den paarweise verschiedenen Eigenwerten \(\lambda_i\) der Multiplizität \(m_i\) für \(i = 1, \ldots, r\), so hat \(f\) das...
charakteristische Polynom [...]
und das Minimalpolynom [...]
A: \(\prod_{i=1}^r (X - \lambda_i)^{m_i} \); \(\prod_{i=1}^r (X - \lambda_i) \)

Q: Beispiel: Besitzt \(V\) eine Basis \(B\) mit \(\vert B \vert = n = \dim(V) \) und Darstellungsmatrix der Form
\[{}_B[f]_B = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \: & \: \\ \: & \ddots & \ddots & \: \\ \: & \: & \ddots & 1 \\ \: & \: & \: & \lambda \end{pmatrix}\]
So sind das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von \(f\) beide gleich [...].
A: \( (X - \lambda)^n \)

Q: Satz: (Cayley-Hamilton) Für das charakteristische Polynom \(\text{char}_f(X)\) von \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \) gilt:
[...].
A: \[ \text{char}_f(f) = 0\]

Q: Folgerung aus Cayley-Hamilton: Sei \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \). [...] von \(f\) teilt [...] von \(f\).
A: Das Minimalpolynom; das charakteristische Polynom

Q: Proposition: Für jede invertierbare Matrix \(A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})\) mit charakteristischem oder Minimal-Polynom \(\sum_{i \geqslant 0}^{'} a_i X^i \) ist [...] und
\[ A^{-1} =  [...] \].
A: \(a_0 \neq 0 \); - \sum_{i \geqslant 1}' \frac{a_i}{a_0} A^{i-1}

Q: Beispiel: Für die Matrix \(A := \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \) gilt \(A^{-1}\) = [...].
A: \( 4I_2 - A\)

Q: Proposition: Für das charakteristische Polynom einer Blockdreiecksmatrix der Form
\[ A = \begin{pmatrix} A_1 & \ast & \cdots & \ast \\ \: & \ddots & \ddots & \vdots \\ \: & \: & \ddots & \ast \\ \: & \: & \: & A_r \end{pmatrix} \]
gilt:
\[\text{char}_A(X) = [...] \].
A: \prod_{i=1}^r \text{char}_{A_i}(X)

Proposition: Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
- Der Endomorphismus \(f \in \text{End}_{\mathbb{K} }(V) \) ist blocktrigonalisierbar, das heisst, es existiert eine geordnete Basis \(B\) von \(V\), so dass die Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\)  eine Blockdreiecksmatrix der Form \( \begin{pmatrix} \ast & \ast \\ 0 & \ast \end{pmatrix} \)  ist für  eine Zerlegung \(n = n_1 + n_2\) mit \(n_1, n_2 \geqslant 1\) .
- Es existiert ein \(f\)-invarianter Unterraum \(\{0\} \neq U \subsetneqq V\) .
- Das charakteristische Polynom \(\text{char}_f(X)\) ist  reduzibel in \(\mathbb{K}[X] \) .

Q: Definition Begleitmatrix
A: Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms \[\varphi(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_1X + a_0\] ist die folgende \(n \times n\)-Matrix:
\[ \begin{pmatrix} -a_{n-1} & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \: & \ddots & 1 \\ -a_0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}\]
Bemerkung: Oft verwendet man auch die Transponierte, oder die durch Umkehren der Reihenfolge der Zeilen sowie der Spalten entstehende Matrix oder die Transponierte davon.

Q: Proposition: Die Begleitmatrix von einem Polynom \(\varphi \) hat das [...].
A: charakteristische und das Minimalpolynom \(\varphi\)

Q: Proposition: Ist das charakteristische Polynom \(\text{char}_f(X)\) irreduzibel in \(\mathbb{K}[X]\), so existiert eine geordnete Basis \(B\) von \(V\), so dass [...].
A: die Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\) die Begleitmatrix von \(\text{char}_f(X)\) ist

Q: Satz: Es existiert eine geordnete Basis \(B\) von \(V\), so dass die Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\) die folgende Gestalt hat:
[...]
A: \[ \begin{pmatrix} A_1 & \ast & \cdots & \ast \\ \: & \ddots & \ddots & \vdots \\ \: & \: & \ddots & \ast \\ \: & \: & \: & A_r \end{pmatrix} \]
Back Extra: Wobei jedes \(A_i\) die Begleitmatrix eines irreduziblen Faktors von \(\text{char}_f(X)\) ist. Dabei sind die \(A_i\) bis auf Vertauschung durch \(f\) eindeutig bestimmt.

Q: Satz: Das Minimalpolynom von \(f\) hat dieselben [...] und dieselben [...] wie [...] von \(f\).
A: irreduziblen Faktoren; Nullstellen; das charakteristische Polynom

Q: Lemma: Seien \(\varphi(X), \psi(X) \in \mathbb{K}[X]\) teilerfremd mit \((\varphi \psi)(f) = 0\). Dann gilt
[...]
und beide Summanden sind [...].
A: \[V = \text{Kern}(\varphi(f)) \oplus \text{Kern}(\psi(f)) \]; \(f\)-invariant

Q: Definition \(p_i(X)\) (Hauptraumzerlegung)
A: Betrachte folgende Schreibweise:
\[ \text{char}_f(X) = \prod_{i=1}^r p_i(X)^{m_i}\]
\(p_i(X) \in \mathbb{K}[X]\) sind hierbei die verschiedenen normierten irreduziblen Faktoren von \(\text{char}_f(X)\) mit den Exponenten \(m_i \geqslant 1\).

Q: Definition Hauptraum
A: Für jedes \(i\) heisst der Unterraum
\[ \text{Hau}_{p_i}(f) := \text{Kern}(p_i(f)^{m_i})\]
der Hauptraum oder verallgemeinerte Eigenraum von \(f\) zum irreduziblen Faktor \(p_i(X)\).

Q: Bemerkung: Für jeden Eigenwert \(\lambda\) von \(f\) gilt [...] bzw. [...].
A: \(\text{Eig}_{\lambda}(f) \subset \text{Hau}_{X-\lambda}(f) \); \(\text{Kern}(f- \lambda \cdot \text{id}_V) = \text{Kern}((X- \lambda)(f)) \subset \text{Kern}((X- \lambda)^m(f)) \)

Q: Satz: Jeder Hauptraum ist [...], und die Einschränkung \(f \vert_{\text{Hau}_{p_i}(f)}\) hat das charakteristische Polynom [...]. Ausserdem gilt:
[...].
A: \(f\)-invariant; \(p_i(X)^{m_i} \); \[ V =  \bigoplus_{i=1}^r \text{Hau}_{p_i}(f) \]

Q: Beispiel: Die reelle Matrix
\[ A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
hat das charakteristische Polynom [...] und die Haupträume
[...]
A: \((X-0)^2(X-1)^2\); \[ \text{Hau}_{X-0}(L_A) = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} \rangle, \; \; \text{Hau}_{X-1}(L_A) = \langle \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rangle. \]

Q: Definition Jordanblock
A: Für jedes \(k \geqslant 1\) heisst eine \(k \times k\)-Matrix der Form
\[ \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \: & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda \end{pmatrix}\]
ein Jordanblock der Grösse \(k\) zum Eigenwert \(\lambda\).

Satz: (Jordansche Normalform) Ist \(f\) trigonalisierbar, so exisitiert eine geordnete Basis \(B\) von \(V\), so dass die Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\) eine Blockdiagonalmatrix mit Jordanblöcken auf der Blockdiagonalen  ist.
Zusatz: Dabei gilt weiter:
- Für jedes \(k \geqslant 1\) ist die Anzahl der Jordanblöcke der Grösse \(k\) zum Eigenwert \(\lambda\) gleich  \[ 2 \: \text{dim}(\text{Kern}[( f - \lambda \cdot \text{id}_V)^k] ) - \text{dim}(\text{Kern}[(f - \lambda \cdot \text{id}_V)^{k-1}]) - \text{dim}(\text{Kern}[(f - \lambda \cdot \text{id}_V)^{k+1}]) \] .
- Die Diagonalblöcke sind bis auf Vertauschung unabhängig von \(B\).
- Die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert \(\lambda\) ist die Dimension des Eigenraums \(\text{Eig}_{\lambda}(f) \) .

Q: Folgerung JNF: Der Endomorphismus \(f\) ist diagonalisierbar genau dann, wenn [...].
A: sein Minimalpolynom gleich \(\prod_i(X - \lambda_i) \) ist für paarweise verschiedene \(\lambda_i \in \mathbb{K} \)

Q: Definition Jordanblock der Grösse \(kd\)
A: Sei \(P \in \text{Mat}_{d \times d}(\mathbb{K}) \) die Begleitmatrix eines normierten, irreduziblen Polynoms \(p(X) \in \mathbb{K}[X]\), und betrachte die \(d \times d\)-Matrix
\[ E_{d1} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \: & \vdots \\ 0 & \: & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\]
Für \(k \geqslant 1\) heisst eine \(kd \times kd\)-Matrix der Blockdreiecksgestalt
\[ \begin{pmatrix} P & E_{d1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \: & \ddots & \ddots & E_{d1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & P \end{pmatrix}\]
ein Jordanblock der Grösse \(kd\) zum irreduziblen Polynom \(p(X)\).

Q: Satz: (Jordansche Normalform allgemeiner Fall) Es existiert eine geordnete Basis \(B\) von \(V\), so dass die Darstellungsmatrix \({}_B[f]_B\) [...] ist.
Zusatz: Dabei gilt weiter:
- Für jedes \(k \geqslant 1\) ist die Anzahl der Jordanblöcke der Grösse \(kd\) zu einem irreduziblen Polynom \(p(X)\) vom Grad \(d\) gleich [...]
- Die Diagonalblöcke sind [...].
A: eine Blocksdiagonalmatrix mit Jordanblöcken auf der Blockdiagonalen; \[ \frac{1}{d} \cdot ( 2 \:  \text{dim}(\text{Kern}[p(f)^k]) - \text{dim}(\text{Kern}[p(f)^{k-1}]) - \text{dim}(\text{Kern}[p(f)^{k+1}]) \]; bis auf Vertauschung unabhängig von \(B\)

Q: Folgerung JNF: Zwei Matrizen sind ähnlich genau dann, wenn [...].
A: sie bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke dieselbe Jordansche Normalform besitzen

Q: Folgerung JNF: Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu [...].
A: ihrer Transponierten

Anwendung der Jordanschen Normalform: Potenzen
Sei \(U^{-1}AU = J = \text{diag}(J_1, \ldots, J_r) \) die Jordannormalform von \(A\) als Blockdiagonalmatrix mit Jordanblöcken \(J_1, \ldots, J_r\). Dann sind die Potenzen von \(A\) gleich
 \[ A^k = UJ^kU^{-1} = U \cdot \text{diag}(J_1^k, \ldots, J_r^k) \cdot U^{-1} \] 
Für jeden Jordanblock \(J_i\) der Grösse \(n_j\) zum Eigenwert \(\lambda_j\) schreibe \(J_j\) = \( \lambda_j \cdot I_{n_j} + N_{n_j} \)  mit der \(nj \times nj\)-Matrix
\[ N_{n_j} := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \: & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \: & \: & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix} \]
Mit der binomischen Formel und mit \(N_{n_j}^l = 0\) für alle \(l \geqslant n_j\) folgt dann
\[ J_j^k =  (\lambda_j \cdot I_{n_j} + N_{n_j})^k  =  \sum_{l=0}^{n_j-1} \begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix} \cdot \lambda_j^{k-l} \cdot N_{n_j}^l  \].

Q: Definition Norm einer Matrix
A: Für eine Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j} \) des Vektorraums \( \text{Mat}_{m \times n}(\mathbb{C}) \) ist ihre Norm folgendermassen definiert:
\[ \Vert (a_{ij})_{i,j} \Vert := \sqrt{ \sum_{k,l} \vert a_{kl} \vert^2 }\]

Q: Proposition: Für jede komplexe \(l \times m\)-Matrix \(A\) und jede komplexe \(m \times n\)-Matrix \(B\) gilt [...] \(\leqslant\) [...]
A: \( \Vert AB \Vert \); \( \Vert A \Vert \cdot \Vert B \Vert \)

Proposition: Für alle komplexen \(n \times n\)-Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
- Für jedes \(k \geqslant 1\) gilt  \(\Vert A^k \Vert\) \(\leqslant\)  \(\Vert A \Vert^k\).
- Die folgende matrixwertige Reihe ist absolut konvergent: \[ \text{exp}(A) :=  \sum_{m=0}^{\infty} \frac{A^m}{m!} = I_n + A + \frac{A^2}{2} + \frac{A^3}{6} + \ldots  \]
- Ist \(B\) invertierbar, so gilt  \(\text{exp}(B^{-1}AB) \)  =  \(B^{-1} \cdot \text{exp}(A) \cdot B \) .
- Gilt \(AB = BA\), so ist  \(\text{exp}(A+B) \)  =  \(\text{exp}(A) \cdot \text{exp}(B) \) .
- Die Matrix \(\text{exp}(A) \) ist  invertierbar mit \(\text{exp}(A)^{-1} = \text{exp}(-A) \) .