Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / SW_14_Kap9
Tags: 9.2Integrationsmethoden 9.4TaylorApproximation 9.6ZweiAsympFormeln

Q: Integration durch Substitution: Beispiel
\[\int \frac{x}{1+x^2}dx\]
A: \[\int \frac{x}{1+x^2}dx = \int \frac{1}{1+x^2}x dx  = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \log |u| = \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C\]

Q: \[\int \frac{1}{x-a} dx\]
A: \[\log |x-a| + C\]

Q: Für \(n \geqslant 2\) gilt \[\int \frac{1}{(x-a)^n} dx =\]
A: \[\frac{1}{-n+1}(x-a)^{-n+1} + C\]

Q: Für \(a \neq 0\) gilt \[\int \frac{1}{a^2+x^2} dx =\]
A: \[\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C\]

Q: \[\int \frac{x}{a^2+x^2} dx =\]
A: \[\frac{1}{2} \log(a^2+x^2) + C\]

Q: Für \(n \geqslant 2\) gilt \[\int \frac{x}{(a^2+x^2)^n}dx =\]
A: \[\frac{1}{2(1-n)}(a^2+x^2)^{1-n} + C\]

Q: Rezept Integration rationaler Funktionen \[\int \frac{p(x)}{q(x)}\]
A: 1. Schritt: Polynomdivision mit Rest
2. Schritt: Partialbruchzerlegung mit dem Rest \(\int \frac{r(x)}{q(x)} dx\)
3. Schritt: Integration einzelne Teile

Q: Partielle Integration
A: \[\int u dv = u \cdot v - \int v du\]

Q: Integration mit Substitution: Formale Regel
A: \[\int g(f(x)) \frac{du}{dx} dx = \int g(u) du = G(f(x)) + C\]

Q: Was machst du bei so einem Ausdruck und wieso geht die Partialbruchzerlegung nicht? \[\int \frac{1}{x^2 + x + 1}\]
A: Ich mache eine quadratische Ergänzung mit dem Nennerpolynom und versuche es über \(\int \tan(x) dx\) oder mit trigonometrischer Substitution zu lösen.
Die Partialbruchzerlegung funktioniert nicht, da das Nennerpolynom keine reelle Nullstellen hat.

Q: Partialbruchzerlegung: Was ist zu beachten, wenn ein Linearfaktor im Nennerpolynom n-mal vorkommt?
A: Er kommt auch in den Partialbrüchen n-mal vor. Zum Beispiel: \[\frac{-1x^2+x+8}{x(x-2)^2} = \frac{2}{x} - \frac{4}{x-2} + \frac{1}{(x-2)^2}\]

Q: Für Integrale mit Faktoren der Form \(\int (r^2-x^2)^{\frac{n}{2}} dx\) verwendet man oft die Substitution
A: \(x = r \cdot \sin(\theta), \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), dx = r \cdot cos(\theta) d\theta\).

Q: Nenne die 4 wichtigsten Integrationsmethoden
A: 1. Integrationstabelle
2. Partielle Integration
3. Partialbruchzerlegung
4. Substitution

Q: Nenne die 5 Fälle, in die wir die Integration durch Substitution aufspalten können.
A: 1. Einfache Fälle
2. Rationalisierende Fälle
3. Trigonometrische Substitution
4. Hyperbolische Substitution
5. Halbwinkelmethode

Q: Integration mit trigonometrischer Substitution: Für Ausdrücke der Form \((a^2 - x^2)^{\frac{n}{2}}\) verwenden wir
A: \[x = a \cdot \tan(\theta), dx = \frac{1}{\cos^2(\theta)}d\theta = 1+\tan^2(\theta) d\theta\]

Q: Integration mit hyperbolischer Substitution: Für Ausdrücke der Form \(\int \sqrt{(x^2-a^2)} dx\) verwendet man oft
A: \[x = a \cdot \cosh(t), dx = a \cdot \sinh(t) dt\]

Q: Das n-te Taylorpolynom einer Funktion \(f: I \rightarrow \mathbb{C}\), n-mal diffbar ist definiert durch
A: \[P^f_{x_0,n}(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\]

Q: Für das n-te Taylorpolynom gilt \((P^f_{x_0,n})^{(n)}(x_0) =\)
A: \[f^{(n)}(x_0)\]

Q: Theorem 9.46: Für \(f: I \rightarrow \mathbb{C}\) (n+1)-mal stetig diffbar gilt für die Taylor-Approximation
A: \[f(x) = P^f_{x_0,n}(x) + R^f_{x_0,n}(x),\] wobei \[R^f_{x_0,n}(x) = \int_{x_0}^x f^{(n+1)}(t)\frac{(x-t)^n}{n!} dt\]

Q: Was ergibt das Wallissche Produkt als Grenzwert: \[\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \frac{(2^nn!)^4}{((2n)!)^2}\]
A: \[\pi\]

Q: Was ist eine gute Approximation für \(n!\) (Stirling-Formel) für grosse n?
A: \[\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2 \pi n}(\frac{n}{e})^n} = 1\]

Q: Wir sagen für eine glatte Funktion \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\), dass f [...] ist, falls es zu jedem \(x_0 \in I\) ein \(\delta \gt 0\) gibt, s.d. \[\forall x \in I: |x-x_0| \lt \delta \Rightarrow [...]\]
A: analytisch; f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k