Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_I / 7 Polynome

Q: Definition Polynomfunktion
A: Sei \(R\) ein kommutativer Ring. Eine Abbildung der Form \(f: R \rightarrow R, \: x \mapsto f(x) = \sum'_{i \geqslant 0} a_ix^i\) mit Koeffizienten \(a_i \in R\) und fast allen \(a_i = 0\), heisst eine Polynomfunktion.

Q: Definition Polynom
A: Ein "formaler Ausdruck" der Form \(F(X) = \sum'_{i \geqslant 0} a_iX^i\), mit Koeffizienten \(a_i \in R\) und fast allen \(a_i = 0\) heisst ein Polynom in X über \(R\). Für jedes solche \(F\), jeden kommutativen unitären Ring \(R'\), der \(R\) enthält, und jedes Element \(x \in R'\), ist der Wert von \(F\) an der Stelle \(x\) das Element
\[F(x) := \sum_{i \geqslant 0}'a_ix^i \in R' \] Insbesondere induziert \(F\) eine Polynomfunktion \(R' \rightarrow R', \: x \mapsto F(x) \).

Q: Definition Addition, Multiplikation und skalare Multiplikation von Polynomen
A: Für je zwei Polynome \(F(X) = \sum'_{i \geqslant 0}a_iX^i \) und \(G(X) = \sum'_{i \geqslant 0}b_iX^i \) und jedes \( \lambda \in R\) setzen wir
- \((F + G)(X) := F(X) + G(X) := \sum'_{i \geqslant 0}(a_i + b_i) \cdot X^i\)
- \((F \cdot G)(X) := F(X) \cdot G(X) := \sum'_{i \geqslant 0}(\sum_{j = 0}^i a_{i - j}b_j ) \cdot X^i \)
- \(( \lambda \cdot F)(X) := \lambda \cdot F(X) := \sum'_{i \geqslant 0} \lambda a_i X^i\)

Q: Proposition: Die Addition, Multiplikation und skalare Multiplikation von Polynomen ist verträglich mit [...].
A: den jeweils induzierten Auswertungsabbildungen
Back Extra: Das heisst, für alle \(x \in R'\) gilt
- \((F + G)(x) = F(x) + G(x)\)
- \(F \cdot G)(x) = F(x) \cdot G(x)\)
- \((\lambda \cdot F)(x) = \lambda \cdot F(x) \)

Q: Proposition/Definition: Die Menge \(R[X]\) aller Polynome in X über \(R\) mit der Addition und Multiplikation, dem Nullpolynom \(0 = \sum'_{i \geqslant 0} 0 \cdot X^i\) und dem Einspolynom \(1 = \sum'_{i \geqslant 0} \delta_{i, 0} \cdot X^i\) ist ein [...], genannt der [...].
A: kommutativer unitärer Ring; Polynomring in X über \(R\)

Q: Definition Grad eines Polynoms
A: Der Grad eines Polynoms \(F(X) = \sum'_{i \geqslant 0} a_i X^i\) über einem Körper \(\mathbb{K}\) ist
\[ \text{deg}(F) := \left\{ \begin{matrix} \text{max}\{i \geqslant 0 \vert \; a_i \neq 0\} & \text{falls} & F \neq 0, \\ -\infty & \text{falls} & F = 0 \end{matrix} \right. \]

Q: Definition konstantes Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \( \leqslant 0\) heisst konstant.

Q: Definition nichtkonstantes Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \(> 0\) heisst nichtkonstant.

Q: Definition lineares Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \(\leqslant 1\) heisst linear.

Q: Definition quadratisches Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \(\leqslant 2\) heisst quadratisch.

Q: Definition kubisches Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \(\leqslant 3\) heisst kubisch.

Q: Definition normiertes Polynom
A: Ein Polynom vom Grad \(n \geqslant 0\) mit höchstem Koeffizienten \(a_n = 1\) heisst normiert. Der Koeffizient \(a_0\) von \(X^0 = 1\) in \(F\) heisst der konstante Koeffizient von \(F\).

Q: Proposition: Für je zwei Polynome \(F\) und \(G\) über \(\mathbb{K}\) und jedes \(\lambda \in \mathbb{K}^{\times} \) gilt:
- \( \text{deg}(F + G) \leqslant \) [...]
- \( \text{deg}(F \cdot G) \) = [...]
- \( \text{deg}(\lambda \cdot F) \) = [...]
A: \( \text{max}\{\text{deg}(F), \text{deg}(G) \} \); \( \text{deg}(F) + \text{deg}(G) \); \( \text{deg}(F) \)

Proposition: Für je drei Polynome \(F, G, H\) über \(\mathbb{K}\) mit \(H \neq 0\) gilt:
-  \( F \cdot G = 0 \)  \( \Leftrightarrow \)  \( (F = 0) or (G = 0) \) 
-  \( FH = GH \)  \( \Leftrightarrow \)  \( F = G \)

Proposition: Der Ring \(\mathbb{K}[X]\) ist ein Vektorraum über \(\mathbb{K}\) . Eine Basis von \(\mathbb{K}[X]\) ist  \( \{X^i \vert \; i \geqslant 0\} \) . Die Polynome vom Grad \( \leqslant n\) bilden einen Unterraum der Dimension \(n + 1 \)  mit Basis  \( \{ X^i \vert \; 0 \leqslant i \leqslant n \} \) .

Q: Satz: Für je zwei Polynome \(F\) und \(G \in \mathbb{K}[X] \) mit \(G \neq 0\) existieren eindeutige Polynome \(Q\) und \(R \in \mathbb{K}[X]\) mit [...].
A: deg(\(R\)) < deg(\(G\)) und \(F = Q \cdot G + R\)

Q: Definition Nullstelle
A: Ein Element \( \lambda \in \mathbb{K}\) mit \(F(\lambda) = 0\) heisst eine Nullstelle von \(F\).

Q: Proposition: Ein Element \( \lambda \in \mathbb{K} \) ist eine Nullstelle von \(F\) genau dann, wenn [...].
A: ein Polynom \(G\) über \(\mathbb{K}\) existiert mit \(F(X) = (X - \lambda) \cdot G(X) \)

Q: Definition Nullstellenordnung
A: Für jedes \( \lambda \in \mathbb{K}\) heisst
\[ \mu_{\lambda} := \text{sup}\{ m \geqslant 0 \vert \; \exists G \in \mathbb{K}[X]: F(X) = (X - \lambda)^m \cdot G(X) \} \in \mathbb{Z}^{\geqslant 0} \cup \{\infty\} \]
die Nullstellenordnung von \(F\) in \(\lambda\). Ist \(\mu_{\lambda} > 0\), so heisst \(\lambda\) eine Nullstelle der Vielfachheit oder Multiplizität \(\mu_{\lambda}\) von \(F\).

Q: Bemerkung: Es gilt \(\mu_{\lambda} \leqslant \) [...], falls \(F \neq 0\) ist und \(\mu_{\lambda} \) = [...], falls \(F = 0\) ist.
A: \( \text{deg}(F) \); \( \infty \)

Q: Satz: Jedes von Null verschiedene Polynom \(F\) über \(\mathbb{K}\) lässt sich schreiben in der Form
[...]
mit geeigneten \(r \geqslant 0\) und \(\mu \geqslant 1\) und paarweise verschiedenen \(\lambda_i \in \mathbb{K}\), sowie einem Polynom \(G\) über \(\mathbb{K}\) ohne Nullstellen in \(\mathbb{K}\). Dabei sind \(\lambda_1, \ldots, \lambda_r \) genau [...] und \( \mu_1, \ldots, \mu_r \) deren [...]. Ausserdem sind \(r\) und \(G\), sowie die Paare \((\lambda_i, \mu_i) \) bis auf Permutation der \(i\) eindeutig bestimmt.
A: \[ F(X) = (X - \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X - \lambda_r)^{\mu_r} \cdot G(X) \]; die Nullstellen von \(F\) in \(\mathbb{K}\); Nullstellenordungen

Q: Definition Zerfall in Linearfaktoren
A: Ist in der Zerlegung
\[ F(X) = (X - \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X - \lambda_r)^{\mu_r} \cdot G(X) \]
\(G\) eine Konstante in \(\mathbb{K}^{\times}\), so sagt man, dass \(F\) über \(\mathbb{K}\) in Linearfaktoren zerfällt.

Q: Folgerung: Für jedes von Null verschiedene Polynom \(F\) über \(\mathbb{K}\) ist die Anzahl der Nullstellen von \(F\) in \(\mathbb{K}\), mit Vielfachheiten gezählt, [...].
A: kleiner oder gleich deg(\(F\))

Q: Proposition: Ist \(\mathbb{K}\) ein unendlicher Körper, so ist jedes Polynom \(F\) über \(\mathbb{K}\) durch [...].
A: die Polynomfunktion \(\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{K}, \: x \mapsto F(x) \) eindeutig bestimmt

Q: Satz: Für jedes normierte Polynom \(F \in \mathbb{Z}[X]\) gilt: Jede Nullstelle von \(F\) in \(\mathbb{Q}\) liegt schon in [...] und [...].
A: \( \mathbb{Z} \); teilt den konstanten Koeffizienten von \(F\)

Q: Satz/Definition: Für jeden Körper \(\mathbb{K}\) sind äquivalent:
- Jedes nichtkonstante Polynom über \(\mathbb{K}\) besitzt [...].
- Jedes Polynom über \(\mathbb{K}\) [...].
- Jedes Polynom vom Grad \(n \geqslant 0\) über \( \mathbb{K}\) besitzt, mit Vielfachheiten gezählt, genau [...].
- Der Körper ist algebraisch abgeschlossen.
A: eine Nullstelle in \(\mathbb{K}\); zerfällt in Linearfaktoren über \(\mathbb{K} \); \(n\) Nullstellen in \(\mathbb{K} \)

Q: Satz: Jeder Körper ist in [...] enthalten.
A: einem algebraisch abgeschlossenen Körper

Q: Fundamentalsatz für die Algebra
A: Der Körper \(\mathbb{C}\) ist algebraisch abgeschlossen.

Q: Proposition: Für jedes Polynom \(F\) über \(\mathbb{R}\) und jede Nullstelle \(\lambda \in \mathbb{C} \) von \(F\) ist [...] eine Nullstelle von \(F\) derselben Multiplizität wie \(\lambda\).
A: die komplex Konjugierte \(\overline{\lambda}\)

Q: Satz: Jedes Polynom über \(\mathbb{R}\) ist ein Produkt von [...].
A: Polynomen vom Grad \(\leqslant 2\) über \(\mathbb{R} \)

Q: Definition reduzibel und irreduzibel
A: Ein Polynom in \(\mathbb{K}[X]\), welches sich als Produkt zweier Polynome in \(\mathbb{K}[X]\) vom Grad \(\geqslant 1\) schreiben lässt, heisst reduzibel. Ein Polynom in \(\mathbb{K}[X]\) vom Grad \(\geqslant 1\), welches nicht reduzibel ist, heisst irreduzibel.

Q: Beispiel:
- Jedes Polynom vom Grad 1 ist [...].
- Ein Polynom vom Grad 2 oder 3 ist irreduzibel genau dann, wenn [...].
A: irreduzibel; es keine Nullstelle hat

Q: Beispiel: Die irreduziblen Polynome in \(\mathbb{R}[X]\) sind genau\(\ldots\)
- \(\ldots\) die Polynome vom Grad [...], sowie \(\ldots\)
- \(\ldots\) die Polynome vom Grad [...].
A: 1, also \(aX + b\) für alle \(a, b \in \mathbb{R} \) mit \(a \neq 0\); 2 ohne reelle Nullstellen, also \(aX^2 + bX + c\) für alle \(a, b, c \in \mathbb{R}\) mit \(a \neq 0\) und \(b^2 - 4ac < 0\)

Q: Beispiel: Das Polynom \(X^2 + 1\) ist irreduzibel in [...] und reduzibel in [...].
A: \(\mathbb{R}[X]\); \( \mathbb{C}[X] \)

Q: Beispiel: Das Polynom \(X^2 - 2\) ist irreduzibel in [...] und reduzibel in [...].
A: \( \mathbb{Q}[X]\); \( \mathbb{R}[X]\)

Q: Beispiel: Das Polynom \(X^7 - 3X^2 + 12\) ist irreduzibel in [...] und reduzibel in [...].
A: \( \mathbb{Q}[X]\); \( \mathbb{R}[X] \)

Q: Beispiel: Das Polynom \(X^{65536} + X^{65535} + \ldots + X^2 + X + 1\) ist [...] in \( \mathbb{Q}[X]\).
A: irreduzibel

Q: Beispiel: Das Polynom \(X^3 + X + 1\) ist [...] in \( \mathbb{F}_2[X]\).
A: irreduzibel

Q: Proposition: Für jedes irreduzible Polynom \(p(X) \in \mathbb{K}[X] \) und je zwei Polynome \(\varphi', \varphi'' \in \mathbb{K}[X]\) gilt:
[...] \( \Leftrightarrow \) [...]
A: \(p \; \text{teilt} \; \varphi' \varphi'' \); \( p \; \text{teilt} \; \varphi' \; \text{oder} \; \varphi'' \)

Q: Satz: Jedes normierte Polynom in \(\mathbb{K}[X]\) ist ein Produkt von [...], und diese sind [...] bestimmt.
A: normierten irreduziblen Polynomen in \(\mathbb{K}[X] \); bis auf Vertauschung eindeutig