Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.01

Definition: Sei \(V\) ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum.
Eine Sesquilinearform auf \(V\) ist eine Abbildung
\[\gamma : V \times V \rightarrow \mathbb{C}, \; (v,w) \mapsto \gamma(v,w)\]so dass für alle \(v, v', w, w' \in V\) und \(\lambda \in \mathbb{C}\) gilt:
\[\begin{array}{c c}
\gamma(v,w + w') =  \gamma(v,w) + \gamma(v,w') &  (\text{rechts additiv}) \\
\gamma(v + v',w) =  \gamma(v,w) + \gamma(v',w) &  (\text{links additiv}) \\
\gamma(v,\lambda w) =  \lambda \cdot \gamma(v,w) &  (\text{rechts homogen}) \\
\gamma(\lambda v,w) =  \overline{\lambda} \cdot \gamma(v,w) &  (\text{links halbhomogen}) \\
\end{array}\]

Q: Definition: Sei \(V\) ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum.
Eine [...] auf \(V\) ist eine Sesquilinearform \(\gamma\), so dass für alle \(v,w \in V\) gilt
 \[\gamma(v,w) = [...].\]
A: hermitsche Form; \overline{\gamma(w,v)}

Definition: Die komplex Konjugierte einer komplexen Matrix \(A = (a_{k\ell})_{k,\ell}\) ist die Matrix  \(\overline{A} :=\) \((\overline{a_{k\ell} })_{k,\ell} \) und die Adjungierte ist \(A^{*} := \)  \( \overline{A}{}^{T} \) . Analog für Spalten und Zeilenvektoren.

Q: Definition: Eine komplexe Matrix \(A\) mit [...] heisst [...] oder [...].
A: \(A = A^{*} \); selbstadjungiert; hermitesch

\[
\begin{array}{c|c}
\mathbb{R} & \mathbb{C} \\
\hline
\text{euklidischer} \space \text{Vektorraum} & \text{unitärer} \space \text{Vektorraum} \\
\text{Bilinearform} & \text{Sesquilinear}  \text{form} \\
\text{symmetrische} \space \text{Bilinearform} & \text{Hermitesche} \space \text{Form} \\
\text{transponierte} \space \text{Matrix} \;  A^{T} & \text{adjungierte} \space \text{Matrix} \space A^{*} = \overline{A}{}^{T}  \\
\text{orthogonale} \space \text{Abbildung} &  \text{unitäre} \space \text{Abbildung}
\end{array}
\]