Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.05

Q: Tensorprodukt einer beliebigen endlichen Folge von Vektorräumen \(V_1 \otimes_K \ldots \otimes_K V_r\).
A: Es existieren eindeutige Isomorphismen, charakterisiert wie folgt:
- \( V_1 \otimes_K K \tilde{\to} V_1\) mit \(v_1 \otimes 1 \mapsto v_1\) (Identität)
- \(V_1 \otimes_K V_2 \tilde{\to} V_2 \otimes_K V_1\) mit \(v_1 \otimes v_2 \mapsto v_2 \otimes v_1\) (Kommutativität)
- \((V_1 \otimes V_2) \otimes V_3 \tilde{\to} V_1 \otimes (V_2 \otimes V_3)\) mit \((v_1 \otimes v_2) \otimes v_3 \mapsto v_1 \otimes (v_2 \otimes v_3)\) (Assoziativität)
Damit lässt sich das Tensorprodukt einer beliebigen endlichen Folge von Vektorräumen \(V_1 \otimes_K \ldots \otimes_K V_r\) ohne Klammern definieren. Dieses trägt eine natürliche multilineare Abbildung
\[\kappa: V_1 \times \ldots V_r \to V_1 \otimes_K \ldots \otimes_K V_r, (v_1, \ldots v_r) \mapsto v_1 \otimes \ldots \otimes v_r\]
Zusammen haben diese die universelle Eigenschaft:
Für jeden \(K\)-Vektorraum \(W\) und jede multilineare Abbildung \(\varphi: V_1 \times V_r \to W\) existiert genau eine lineare Abbildung \(\bar{\varphi}: V_1 \otimes_K \ldots \otimes_K V_r \to W\) mit \(\bar{\varphi} \circ \kappa = \varphi\), das heisst, sodass das folgende Diagramm kommutiert:

Q: Dimensionsformel für höhere Tensorprodukte
A: \(\text{dim}_K(V_1 \otimes_K \ldots \otimes_K V_r) = \prod_{i=1}^{r} \text{dim}_K(V_i)\)

Q: \(r\)-te Tensorpotenz von \(V\)
A: Für jede natürliche Zahl \(r\) ist die \(r\)-te Tensorpotenz von \(V\) definiert durch \(V^{\otimes 0} := K\) beziehungsweise \(V^{\otimes r} := V \otimes_K \ldots \otimes_K V\) mir \(r\) Faktoren für \(r \geqslant 1\).

Q: Raum der Tensoren vom Typ \((r,s)\) (Definition)
A: Der Raum \(T^{r,s}(V) := V^{\otimes r} \otimes_K (V^{\vee})^{\otimes s}\) heisst der Raum der \(r\)-fach kovarianten und \(s\)-fach kontravarianten Tensoren (kurz: Raum der Tensoren vom Typ \((r,s)\)).

Q: Ist \(\text{dim}_K(V) < \infty\), so liefert jede Basis von \(V\) die zugehörige duale Basis von \(V^{\vee}\) und somit eine Basis von [...]. Insbesondere ist dann
[...]
A: \(T^{r,s}(V)\); \[\text{dim}_KT^{r,s}(V) = (\text{dim}_KV)^{r+s}\]

Je nach Situation kann eine \(n \times n\)-Matrix ein Tensor vom Typ (0,2) oder (1,1) oder (2,0) darstellen für den Raum \(V = K^n\). Für jeden dieser Typen wird der Basiswechsel mit einer Basiswechselmatrix \(U\) durch eine andere Formel beschrieben, nämlich durch \(A \mapsto\) \(U^TAU\) (für den Typ (0,2)) bzw. \(U^{-1}AU\) (für den Typ (1,1)) bzw. \(U^{-1}A(U^{T})^{-1}\) (für den Typ (2,0)).

Q: Für jeden eindimensionalen \(K\)-Vektorraum \(V\) existiert ein [...] mit [...].
A: natürlicher Isomorphismus \(V^{\vee} \otimes_K V \tilde{\to} K\); \(l \otimes v \mapsto l(v)\)