Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.3

Q: Proposition: Für [...] und [...] gilt:
[...]
A: jede hermitesche Form \(\gamma\) auf einem \(\mathbb{C}\)-Vektorraum \(V\); jeden Vektor \(v \in V\); \[ \gamma(v, v) \in \mathbb{R}.\]

Q: Definition positiv definit (hermitesche Form)
A: Sei \(V\) ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum.
Eine hermitesche Form
\[ \langle \:, \: \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}, \; (v, w) \mapsto \langle v, w \rangle\]
heisst positiv definit, wenn zusätzlich gilt:
\[\forall v \in V \backslash \{0\}: \langle v, v \rangle > 0.\]

Q: Definition Betrag eines Vektors (bezüglich einer hermiteschen Form)
A: Sei \(V\) ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum und \(\gamma\) eine hermitesche Form auf \(V\).
Der Betrag eines Vektors \(v \in V\) bezüglich \(\gamma\), ist dann die Zahl
\[ \Vert v \Vert = \sqrt{\langle v, v \rangle} \in \mathbb{R}^{\geqslant 0}.\]

Q: Definition Skalarprodukt (über \(\mathbb{C}\))
A: Eine positiv definite hermitesche Form heisst ein Skalarprodukt.

Q: Definition unitärer Vektorraum
A: Ein \(\mathbb{C}\)-Vektorraum zusammen mit einem Skalarprodukt heisst unitärer Vektorraum \((V, \langle \:, \: \rangle)\).

Q: Definition Standard-Skalarprodukt auf \(\mathbb{C}^n\)
A: Das Standard-Skalarprodukt auf \(\mathbb{C}^n\) ist für \(x = (x_k)_k\) und \(y = (y_k)_k\) gegeben durch
\[\langle x, y \rangle := x^{\ast}y = \overline{x}^T y = \overline{x}_1y_1 + \ldots + \overline{x}_ny_n.\]
Der zugehörige Betrag ist die \(\ell_2\)-Norm
\[\Vert x \Vert := \sqrt{\vert x_1 \vert^2 + \ldots + \vert x_n \vert^2}.\]

Q: Definition positiv definit (für eine hermitesche Matrix)
A: Eine hermitesche \(n \times n\)-Matrix \(A\) mit der Eigenschaft \(x^{\ast}Ax > 0\) für alle \(0 \neq x \in \mathbb{C}^n\) heisst positiv definit.

Q: Proposition: Sei \(B\) eine geordnete Basis eines \(\mathbb{C}\)-Vektorraums \(V\). Eine hermitesche Form \(\langle \: , \: \rangle\) auf \(V\) ist [...] genau dann, wenn [...] ist.
A: positiv definit; die Darstellungsmatrix \([\langle \:, \: \rangle]_B\) positiv definit