Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 12 Multilineare Algebra / 12.02

Eine multilineare Abbildung \(\phi : V^{r} \rightarrow W \) heisst symmetrisch, wenn gilt

\[\forall v_1 , \dotsc, v_r \in V \space \forall \sigma \in S_r: \phi (v_{\sigma 1}, \dotsc , v_{\sigma r}) = \phi (v_{1}, \dotsc , v_{r})\]
Sie heisst alternierend, wenn gilt

\[\forall v_1, \dotsc, v_r \in V : (\exists i \neq i' : v_i = v_{i'}) \rightarrow \phi (v_1, \dotsc ,v_r ) = 0\]
Die Menge aller solcher bezeichnen wir mit

\[ Sym^r_K (V,W)\quad bzw. \quad Alt^r_K(V,W)\]

Q: \( Sym^r_K (V,W)\) und \(Alt^r_K(V,W) \) sind [...] von [...].
A: Unterräume; \(Mult_K(V,W) \)

Q: Da jede Permutation ein Produkt von Transpositionen benachbarter Indizes ist, ist \(\phi\) [...] genau dann, wenn gilt
[...]
A: symmetrisch; \[ \forall v_1, \dotsc,v_r \in V \space \forall \space 2 \leqslant i \leqslant r : \phi(v_1,\dotsc,v_{i-2},v_i, v_{i-1}, v_{i+1},\dotsc,v_r) = \phi(v_1,\dotsc,v_r)\]

Q: Eine [...] \(\phi : V^r \rightarrow W\) heisst [...], wenn gilt
[...]
A: multilineare Abbildung; antisymmetrische; \[ \forall v_1,\dotsc,v_r \in V \space \forall \sigma \in S_r : \phi(v_{\sigma 1},\dotsc,v_{\sigma r}) = sgn(\sigma) \cdot \phi(v_1, \dotsc, v_r)\]

Q: - Es gilt immer [...].
- Ist \(1 + 1 \neq 0\) in \(K\), so gilt [...].
- Ist \(1+1 \neq 0 \) in K, so gilt [...].
A: alternierend \(\Rightarrow\) antisymmetrisch; antisymmetrisch \(\Leftrightarrow\) alternierend; antisymmetrisch \(\Leftrightarrow\) symmetrisch

Q: (Funktorialität)
Lineare Abbildungen \(f: V' \rightarrow V \) und \(g: W \rightarrow W' \) induzieren [...]
\[ Sym^r_K(V,W) \rightarrow Sym^r_K(V',W') \]\[ Alt^r_K(V,W) \rightarrow Alt^r_K(V',W') \]\[ \phi \mapsto g \circ \phi \circ (f \times \dotsc \times f) \]
A: lineare Abbildungen

Q: Betrachte Basen \(B\) von \(V\) und \(C\) von \(W\), sowie eine multilineare Abbildung \(\phi : V^r \rightarrow W\) mit Koeffizienten \( \alpha^c_{b_1,\dotsc,b_r} \in K\). Dann ist \(\phi \) [...] genau dann, wenn gilt
\[\forall b_i \in B \space \forall c \in C \space \forall \sigma \in S_r : \alpha^c_{b_{\sigma 1}, \dotsc, b_{\sigma r}} = \alpha^c_{b_{1}, \dotsc, b_{r}}\]Dagegen ist \(\phi\) [...] genau dann, wenn gilt
\[ \forall b_i \in B \space \forall c \in C : \forall \sigma \in S_r : \alpha^c_{b_{\sigma 1}, \dotsc, b_{\sigma r}} = sgn(\sigma)\cdot \alpha^c_{b_{1}, \dotsc, b_{r}} \space \wedge \space (\exists i \neq i' : b_i = b_{i'}) \rightarrow \alpha^c_{b_{1}, \dotsc, b_r} = 0\]
A: symmetrisch; alternierend

Q: Es gilt für Sym / Alt :
[...]
[...]
A: \[ dim_KSym^r_K(V,W) = \binom{dim_K(V^{\vee}) + r -1}{r} \cdot dim_K(W)\]; \[ dim_KAlt^r_K(V,K) = \binom{dim_K(V^{\vee})}{r} \cdot dim_K(W)\]

Für alle  \( r < dim_K(V) \) gilt \(Alt^r_K(V,W) = 0\).
Für \(r = dim_K(V) \) gilt \(dim_KAlt^r_K(V,K) = 1 \).

Q: Für jeden [...] f eines \(K\)-Vektorraums \(V\) der Dimension \(n < \infty\) und jedes [...] gilt
[...]
A: Endomorphismus; \(\varphi \in Alt^n_K(V,K) \); \[\varphi \circ (f \times \dotsc \times f) = det(f) \cdot \varphi \]