Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.17

Satz: (Kriterien für positive Definitheit) Für jede reelle symmetrische \(n \times n\)-Matrix \(A\) = \((a_{ij})_{i,j=1,...,n}\) sind äquivalent:
(a) Die Matrix \(A\) ist positiv definit.
(b) Alle Eigenwerte von \(A\) sind positiv.
(c) Es existiert eine invertierbare Matrix \(B\) mit \(A = B^TB\)
(d) Es existiert eine invertierbare obere Dreiecksmatrix \(R\) mit \(A = R^TR\) (Cholesky-Zerlegung)
(e) Es existiert eine invertierbare symmetrische Matrix \(C\) mit \(A = C^TC = C^2\)
(f) Die Determinante der Matrix \(A_k := (a_{ij})_{i,j=1,...,k}\) ist positiv für jedes \(1 \leqslant k \leqslant n\). (Hauptminorenkriterium)