Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.9

Spektralsatz: Für jeden selbstadjungierten Endomorphismus \(f\) eines unitären Vektorraums \(V\) gilt:
(a) Alle komplexen Eigenwerte von \(f\) sind reell.
(b) Ist  \(\text{dim}(V) < \infty\), so existiert  eine Orthonormalbasis von \(V\) bestehend aus Eigenvektoren von \(f\). Insbesondere ist \(f\) dann diagonalisierbar.

Hauptachsentransformation: Für jede hermitesche Matrix \(A\) existiert eine unitäre Matrix \(Q\), sodass \(Q^{-1}AQ = Q^{\ast}AQ\) eine relle Diagonalmatrix ist.

Beispiel: Eine \(2 \times 2\)-Matrix ist genau dann hermitesch, wenn sie die Form \(\begin{pmatrix} a & b \\ \overline{b} & a \end{pmatrix} \) hat, für \(a, d \in \mathbb{R}\) und \(b \in \mathbb{C}\). Eine direkte Rechnung liefert dann die reellen Eigenwerte:
\[ \frac{a + d \pm \sqrt{(a - d)^2 + 4 \vert b \vert^2} }{2}. \]