Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_07

Q: Def. Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) ein Gebiet (also eine zusammenhängende, offene Teilmenge) und seien \(\gamma_0,\gamma_1\) zwei Wege mit gleichem Anfangspunkt \(\gamma_0(0) = \gamma_1(0)\) und gleichem Endpunkt \(\gamma_0(1) = \gamma_1(1)\). Dann heissen \(\gamma_0\) und \(\gamma_1\) homotop, falls es eine stetige Abbildung \( H:\)[...]gibt,
die wir eine Homotopie nennen und folgende Eigenschaften erfüllt:
[...]
Falls \(\gamma_0\) und \(\gamma_1\) glatte Wege sind und die Homotopie glatt gewählt werden kann, so nennen wir die Wege auf glatte Weise homotop.
A: \([0,1]^2 \to U\); - \(H(0,t) = \gamma_0(t)\) für alle \(t \in [0,1]\).
- \(H(1,t) = \gamma_1(t) \) für alle \(t \in [0,1]\).
- \(H(s,0) = \gamma_0(0) = \gamma_1(0) \) für alle \(s \in [0,1]\).
- \(H(s,1) = \gamma_0(1) = \gamma_1(1) \) für alle \(s \in [0,1]\).

Q: Lemma 14.62 Sternförmige Gebiete sind [...].
A: einfach zusammenhängend

Q: Def. Ein Gebiet \(U \subset \mathbb{R}^n\) heisst einfach zusammenhängend, falls [...].
A: je zwei Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkt homotop sind

Q: Satz 14.61 Sei \(U \subset \mathbb{R}^n\) ein einfach zusammenhängendes Gebiet. Unter dieser Annahme ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld \(f:U \to \mathbb{R}^n\) genau dann konservativ, wenn \(f\) [...]
A: den Integrabilitätsbedingungen
\[ \partial_k f_j = \partial_j f_k \]für alle \(j,k\in \set{1,\ldots,n}\) genügt.

Q: Prop. 14.66 Sei \(U\subset\mathbb{R}^n\) ein Gebiet und \(f:U\to\mathbb{R}^n\) ein [...] Vektorfeld welches [...].
Des Weiteren seien \(\gamma_0,\gamma_1\) zwei glatte Wege von \(p_0\in U\) nach \(p\in U\), die [...].
Dann gilt\[\int_{\gamma_0}f\cdot\rm{d} \mathbf{s}=\int_{\gamma_1}f\cdot\rm{d}\mathbf{s}.\]
A: stetig differenzierbares; die Integrabilitätsbedingungen erfüllt; in \(U\) homotop sind