Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 11 Unitäre Vektorräume / 11.6

Satz: (Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum. Für jedes linear unabhängige Tupel \(T = (v_1, \ldots, v_n) \) in \(V\)  existiert  genau ein Orthonormalsystem \(B = (b_1, \ldots, b_n) \) , so dass gilt:
\[ \forall 1 \leqslant \ell \leqslant n: v_{\ell} =  \sum_{k=1}^{\ell} a_{k\ell}b_k \; \; \text{mit} \; \; a_{k\ell} \in \mathbb{C} \; \; \text{und} \; \; a_{\ell\ell} \in \mathbb{R}^{>0} . \]Ist \(T\) ausserdem eine Basis von \(V\), so ist  \(B\) eine Orthonormalbasis von \(V\).

Q: Bemerkung: Sei \(V\) ein unitärer Vektorraum, \(T = (v_1, \ldots, v_n)\) ein linear unabhängiges Tupel in \(V\) und \(B = (b_1, \ldots, b_n)\) ein Orthonormalsystem.
Die Bedingung
[...]
ist äquivalent dazu, dass [...] ist.
A: \[ \forall 1 \leqslant \ell \leqslant n: v_{\ell} = \sum_{k=1}^{\ell} a_{k\ell}b_k \; \; \text{mit} \; \; a_{k\ell} \in \mathbb{C} \; \; \text{und} \; \; a_{\ell\ell} \in \mathbb{R}^{>0}. \]; die Basiswechselmatrix \({}_B[\text{id}_V]_T\) eine obere Dreiecksmatrix mit allen Diagonaleinträgen in \(\mathbb{R}^{>0}\)

Q: Konstruktion: (komplexe Gram-Schmidt-Orthogonalisierung) Sind \(b_1, \ldots, b_{n-1}\) bereits konstruiert, so setze
\[ \stackrel{\sim}{v}_n := [...] \; \; \text{und} \; \; b_n :=  [...]. \]
A: v_n - \sum_{k=1}^{n-1} \langle b_k, v_n \rangle \cdot b_k; \frac{\stackrel{\sim}{v}_n }{\Vert \stackrel{\sim}{v}_n \Vert }

Q: Folge: Jeder endlich-dimensionale unitäre Vektorraum hat [...].
A: eine Orthonormalbasis

Q: Satz: (Cholesky-Zerlegung) Für jede [...] existiert [...], so dass [...] ist.
A: positiv definite hermitesche Matrix \(A\); genau eine komplexe obere Dreiecksmatrix \(R\) mit allen Diagonaleinträgen in \(\mathbb{R}^{>0}\); \(A = R^{\ast}R\)