Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_01

Q: Def. Die Divergenz oder Quellenstärke eines  \( C^1\)-Vektorfelds \( f = (f_1,f_2)^t: U \to \mathbb{R}^2\) auf \( U \subseteq \mathbb{R}\) ist für \( p \in U \) definiert als
[...]
und f heisst divergenzfrei falls [...].
Prop. 14.1 Die Divergenz \( \operatorname{div}(f) \) existiert für alle \(p \in U \) und erfüllt
[...]
A: \[ (\operatorname{div}(f))(p) = \lim_{h \to 0} \tfrac{1}{ 4 h^2} \int_{\partial(p+[0,h]^2)} f \cdot \rm{d} \mathbf{n} \]; \( \operatorname{div}(f) = 0 \); \[\operatorname{div}(f) = \partial_1 f_1 + \partial_2 f_2\]

Q: Def. \( B \subseteq \mathbb{R}^2\) heisst glatt berandeter Bereich, falls
- eine Matrix \( P \in \)[...],
- ein offener Quader \( O = O_1 \times (c,d) \) mit \( P(p) \in O \)
existieren, so dass
[...]
für eine glatte Funktion \(\varphi: O_1 \to \mathbb{R} \).
A: \( O_n(\mathbb{N}) \); \[P(B) \cap O = \lbrace (x,y) \in O_1 \times (c,d) \mid c < y \leq \varphi(x) \rbrace\]

Q: Lemma 14.5 Ist \( B \subseteq \mathbb{R}^2 \) ein glatt berandeter Bereich, so ist \( \partial B \) [...].
A: eine \((n-1)\)-dimensionale Untermannigfaltigkeit

Q: Lemma 14.6 Sei \( F: \mathbb{R} ^n \to \mathbb{R} \) eine glatte Funktion, für die Null ein regulärer Wert ist. Dann ist die abgeschlossene Teilmenge
\[B = \lbrace u \in \mathbb{R}^n \mid F(u) \geq 0 \rbrace\][...] und \(\partial B = \)[...].
A: glatt berandet; \( \lbrace{u \in \mathbb{R}^n} \mid {F(u) = 0} \rbrace\)

Def. Eine Parametrisierung des Randes einer abgeschlossenen Teilmenge \( B \subset\mathbb{R}^2 \) ist eine Kollektion von \( C^1 \)-Wegen \( \gamma_k:I_k \to \partial B \) auf abgeschlossenen Intervallen \( I_k = [a_k,b_k] \) mit \( a_k < b_k \) für \( k=1,\ldots,K \) mit folgenden Eigenschaften:
1. (Überdeckend) Es gilt \( \partial B = \bigsqcup_{k=1}^K \gamma_k \big([a_k,b_k]\big) \).
2. (Keine Selbstüberschneidungen abgesehen von den Endpunkten) Für alle \( k, j \in \set{1,\ldots,K} \), alle \( s\in I_j \)
und \( t\in~I_k^\circ \) mit \( (s,j)\neq (t,k)\) gilt \(\gamma_j(s) \neq \gamma_k(t)\).
3. (Aufeinanderfolgend) Für jedes \( k \in \set{1,\ldots,K} \) existiert genau ein \( \ell \in \set{1,\ldots,K} \) mit \( \gamma_k(b_k) = \gamma_\ell(a_\ell) \).
4. (Regularität) Die Wege \( \gamma_1,\ldots, \gamma_K \) sind regulär.
Die Parametrisierung \( \gamma_1,\ldots, \gamma_K \) heisst positiv orientiert, wenn für jedes \( k \in \lbrace 1, \dots, K \rbrace\) und jedes \(t\in~I_k^\circ \) ein \(\varepsilon > 0 \) existiert, so dass \( \gamma(t) + s R \dot{\gamma}(t) \in \) \(B^\circ \) und \( \gamma(t) - s R \dot{\gamma}(t) \in \)\( \mathbb{R} \setminus B \) für \( s \in (0, \varepsilon) \), wobei \(R =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \textrm{SO}(2,\mathbb{R})\).

Q: Def. Sei \(B \subset \mathbb{R}^2\) eine Teilmenge, dessen Rand eine positiv orientierte Parametrisierung \(\gamma_1:I_1 = [a_1,b_1] \to \partial B, \dots,\gamma_K:I_K = [a_K,b_K] \to \partial B\) besitzt. Weiter sei \(f: U \to \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld definiert auf einer offenen Menge \(U \supseteq B\). Dann ist das Wegintegral von \( f \) entlang \( \partial B\) durch
\(\int_{\partial B} f \cdot \rm{d} \mathbf{s} = \)[...]
definiert. Sei \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \rm{SO}(2,\mathbb{R})\), dann ist das Flussintegral von \(f\) durch den Rand \(\partial B\) definiert als
\( \int_{\partial B} f \cdot \rm{d} \mathbf{n} = \)[...].
A: \(\sum_{k=1}^K \int_{a_k}^{b_k} \langle{f(\gamma_k(t))},{\dot{\gamma_k}\rangle(t)} \rm{d} t\); \( \int_{\partial B} (R f) \cdot \rm{d} \mathbf{s}= \sum_{k=1}^K \int_{a_k}^{b_k} \langle{ f(\gamma_k(t))},{R^{-1} \dot{\gamma_k}(t)} \rangle \rm{d} t \)

Q: Theorem 14.14 (Gauss). Sei \(B \subset \mathbb{R}^2\) ein glatt berandeter, kompakter Bereich und sei \(f: U \to \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld definiert auf einer offenen Menge \(U \supseteq B\). Dann gilt
[...]
A: \[
\int_{B} \operatorname{div}(f) \rm{dvol} = \int_{\partial B} f \cdot \rm{d}\mathbf{n} \]

Q: Prop 14.15 Für einen glatt berandeten, kompakten Bereich \( B \subseteq \mathbb{R}^2\), dessen Rand eine positiv orientierte Parametrisierung \( \partial B\) \( \gamma_1:I_1 = [a_1,b_1] \to \partial B, \dots,\gamma_K:I_K = [a_K,b_K] \to \partial B \) besitzt berechnet sich mit der Methode des Planimeters
\[ \operatorname{vol}(B) = [...]
\]wobei \(R =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \textrm{SO}(2,\mathbb{R})\).
A: \tfrac{1}{2} \sum_{k = 1} ^{K} \int_{a_k}^{b_k} \langle{\gamma_{k}(t)},{R^{-1} \dot{\gamma_k}(t)} \rangle \rm{d} t

Q: Def. Sei \(f:U \to \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge \(U \subseteq \mathbb{R}^2\). Die Wirbelstärke oder Rotation von \(f\) ist durch
[...]
für \(u \in U\) definiert und \( f\) heisst rotationsfrei falls [...].
Prop. 14.18 Die Wirbelstärke \(\operatorname{rot}(f)\) existiert auf ganz \(U\) und erfüllt
[...]
A: \[\operatorname{rot}(f)(u) = \lim_{r \to 0} \frac{1}{\pi r^2} \int_{\partial B_r(u)} f \cdot \rm{d} \mathbf{s} \]; \( \operatorname{rot}(f)= 0\); \[ \operatorname{rot}(f)= \partial_1 f_2-\partial_2 f_1. \]

Q: Theorem 14.18 (Green) Sei \(f:U \to \mathbb{R}^2\) ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer offenen Menge \(U \subset \mathbb{R}^2\). Für einen glatt berandeten, kompakten Bereich \(B \subseteq U\) gilt
[...]
A: \[ \int_B \operatorname{rot}(f) \rm{dvol} = \int_{\partial B} f \cdot \rm{d} \mathbf{s}. \]

Q: Def. Die Umlaufzahl eines geschlossenen stetig differenzierbaren Weges \( \gamma:[a,b] \to \partial \mathbb{R}^2 \) um einen Punkt \( u \in \mathbb{R}^2 \setminus \gamma([a,b]) \) ist definiert durch[...]
A: \[ \frac{1}{2\pi}\int _{a}^{b} \frac{\langle {R(\gamma(t)-u)},{\dot{\gamma}(t)} \rangle}{\lVert \gamma(t)-u \rVert^2} dt.\]

Q: Satz 14.21 Sei \( \gamma:[a,b] \to \partial \mathbb{R}^2 \) ein glatter, regulärer, einfacher, geschlossener Weg. Dann kann man \( \mathbb{R}^2 \) zerlegen, \[ \mathbb{R}^2 \setminus \gamma([a,b]) = \operatorname{Inn}(\gamma) \sqcup \operatorname{Auss}(\gamma)\]wobei das Innere \( \operatorname{Inn}(\gamma) \subseteq \mathbb{R}^2 \) [...] und Äussere \( \operatorname{Auss}(\gamma) \subseteq \mathbb{R}^2 \) [...]. Weiter ist  \( \partial \operatorname{Inn}(\gamma) = \partial \operatorname{Auss}(\gamma) = \gamma([a,b])\).
A: offen, beschränkt und zusammenhängend; offen, unbeschränkt und zusammenhängend