Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_03

Q: Def. Lebesgue-Nullmenge (oder einfach Nullmenge): Eine Teilmenge \(\mathcal{N} \subseteq \mathbb{R}^n\) heisst eine Lebesgue-Nullmenge, falls...
A: es zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine Folge \(Q_k \subseteq \mathbb{R}^n\) offener Quader gibt, so dass
\[\mathcal{N} \subseteq \bigcup_{\ell=1}^\infty Q_\ell,\quad \sum_{\ell=1}^\infty \text{vol}(Q_\ell) < \varepsilon\]
erfüllt sind.

Q: Satz 13.23 (Lebesgue-Kriterium für Riemann integrierbarkeit) Sei \(\mathcal{f}\) eine beschränkte reellwertige Funktion auf einem Quader \(\mathcal{Q}\). Die Funktion \(\mathcal{f}\) ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn...
A: die Menge \(\mathcal{N}\) = {\(\mathcal{x} \in \mathcal{Q}\), \(\mathcal{f}\) ist unstetig in \(\mathcal{x}\)} eine Nullmenge in \(\mathbb{R}^n\) ist.

Q: Lemma 13.17 (Eigenschaften von Nullmengen).
A: - Eine Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge
- Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist wiederum eine Nullmenge

Q: Beispiel 13.18 (Beispiele von Nullmengen in \(\mathbb{R}^n\))
A: - Eine Punktmenge \(\{x\} \subseteq \mathbb R^n\)
- Jede abzählbare Teilmenge, insbesondere \(\mathbb{Q}^n\)
- Jeder Quader mit leerem Innern
- Jeder Unterraum von Dimension kleiner n
- Die Cantormenge

Q: Proposition 13.22. Sei \(\mathcal{Q} \subseteq \mathbb{R}^{n-1}\) ein abgeschlossenen Quader und \(f\) eine stetige Funktion. Dann ist der Graph
A: graph(\(\mathcal{f}\)) =  {\(\mathcal{x} \in \mathcal{Q}\), (\(\mathcal{x}\), \(\mathcal{f(x)}\))} von \(\mathcal{f}\) eine Nullmenge in \(\mathbb{R}^n\).

Q: Was bedeutet \(A(x)\) gilt "fast überall" über Elemente \(x \in \mathbb R^n\)?
A: Die Menge \(N = \{x | \ A(x) \text{ gilt nicht }\}\) ist eine Nullmenge.