Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / SW_09_Kap6
Tags: 6.1GrenzwerteReelleFolgenFunktionen 6.4GrenzwerteFunktionen 6.6LandauNotation 6.2CauchyFolgen 7.1Reihen 6.5RiemannSummen Stetigkeit MetrischeRäume

Q: Satz 6.5: Konvergenz von monotonen Folgen
A: Eine monotone reelle Folge \((a_n)_n\) konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist.
Falls die Folge \((a_n)_n\) monoton wachsend ist, gilt
\[\lim_{n \to \infty}(a_n)=\sup(\{ a_n | n \in \mathbb{N} \} ).\]
Falls die Folge \((a_n)_n\) monoton fallend ist, gilt
\[\lim_{n \to \infty}(a_n)=\inf(\{ a_n | n \in \mathbb{N} \} ).\]

Q: Übung 6.7: Gegengerichtete Folgen
A: Sei \((a_n)_n\) eine monoton wachsende, reelle Folge und \((b_n)_n\) eine monoton fallende, reelle Folge mit \(a_n ≤ b_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\). Dann konvergieren beide Folgen und es gilt
\[\lim_{n \to \infty}(a_n) \leqslant \lim_{n \to \infty}(b_n).\]

Q: Definition 6.8: Für eine beschränkte reelle Folge \((a_n)_n\) ist der Limes superior definiert durch
A: \[\overline \lim_{n \to \infty}(a_n)=\limsup_{n \to \infty}(a_n)=\lim_{n \to \infty}(\sup_{k \geqslant n}(a_k))=\inf_{n \in \mathbb{N}}(\sup_{k \geqslant n}(a_k)).\]

Q: Definition 6.9: Für eine beschränkte reelle Folge \((a_n)_n\) ist der Limes inferior definiert durch
A: \[\underline \lim_{n \to \infty}(a_n)=\liminf_{n \to \infty}(a_n)=\lim_{n \to \infty}(\inf_{k \geqslant n}(a_k))=\sup_{n \in \mathbb{N}}(\inf_{k \geqslant n}(a_k)).\]

Q: Satz 6.11: Für eine reelle, beschränkte Folge \((a_n)_n\) erfüllt der Limes superior \(\limsup_{n \to \infty}(a_n)\) die folgenden Eigenschaften:
A: \(\forall \varepsilon > 0\) gibt es nur endlich viele Folgeglieder \(a_n\) mit \(a_n > \limsup_{n \to \infty}(a_n+\varepsilon)\).
\(\forall \varepsilon > 0\) gibt es unendlich viele Folgeglieder \(a_n\) mit \(a_n \geqslant \limsup_{n \to \infty}(a_n-\varepsilon)\).

Q: Übung 6.13: Korrelation zwischen limsup und liminf.
A: Sei \((a_n)_n\) eine beschränkte reelle Folge. Es gelten folgende Eigenschaften:
\[\limsup_{n \to \infty}(-a_n)=- \liminf_{n \to \infty}(a_n).\]
\[\liminf_{n \to \infty}(a_n) \leqslant \limsup_{n \to \infty}(a_n).\]
Der Limes superior definiert eine nicht-lineare Abbildung auf dem Unterraum der beschränkten Folgen \(\mathbb{R}^N\) mit Zielraum \(\mathbb{R}\). Er verhält sich weder unter Addition noch under skalarer Multiplikation linear.

Q: Korollar 6.14: Charakterisierung der Konvergenz
Für eine reelle, beschränkte Folge \((a_n)_n\) gilt
A: \(\liminf_{n \to \infty}(a_n) = \limsup_{n \to \infty}(a_n)\) genau dann denn \((a_n)_n\) konvergent ist.
\[\liminf_{n \to \infty}(a_n) = \limsup_{n \to \infty}(a_n) \Leftrightarrow (a_n)_n \text{ ist konvergent}\]

Q: Satz 6.15: Konvergenz von Teilfolgen
Für jede konvergente Teilfolge \((a_{n_k})_k\) einer beschränkten, reellen Folge \((a_n)_n\) gilt
A: \[\lim{k \to \infty}(a_{n_k}) \in [\liminf_{n \to \infty}(a_n),\limsup_{n \to \infty}(a_n)].\]
Des Weiteren existiert konvergente Teilfolgen \((a_{n_k})_k\)  und \((a_{m_k})_k\) mit
 \(\lim_{k \to \infty}(a_{n_k})=\limsup_{n \to \infty}(a_n)\)
 \(\lim_{k \to \infty}(a_{m_k})=\liminf_{n \to \infty}(a_n).\)

Q: Übung 6.16: Häufungspunkte
Sei \((a_n)_n\) eine Folge in \(\mathbb{R}\).
A: Ein Häufungspunkt der Menge \(\{a_n | n \in \mathbb{N} \}\) ist auch ein Häufungspunkt der Folge \((a_n)_n\).
Falls die Abbildung \(n \in \mathbb{N} \mapsto a_n\) injektiv ist, dann gilt auch die umgekehrte implikation.
Dann ist ein Häufungspunkt der Folge \((a_n)_n\) ebenfalls ein Häufungspunkt der Menge \(\{a_n | n \in \mathbb{N} \}\).

Q: Übung 6.18: Folgen mit vielen Häufungspunkten
Angenommen \((a_n)_n\) ist eine beschränkte Folge in \(\mathbb{R}\) mit \(\lim_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)=0.\)
Dann ist die Menge der Häufungspunkte gegeben durch
A: \[[\liminf_{n \to \infty}(a_n),\limsup_{n \to \infty}(a_n)].\]

Q: Definition 6.19: Uneigentliche Grenzwerte
Eine reelle Folge \((a_n)_n\) divergiert gegen \(\infty\) wenn
A: für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass für alle \(n \geqslant N\) \(a_n \geqslant \varepsilon^{-1}\) gilt .
Genauso sagen wir, dass \((a_n)_n\) gegen \(-\infty\) divergiert, falls
für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, so dass für alle \(n \geqslant N\) \(a_n \leqslant -\varepsilon^{-1}\) .
Wir schreiben für beide respektive
 \(\lim_{n \to \infty}=\infty\)
\(\lim_{n \to \infty}=-\infty\)
In beiden Fällen spricht man auch von uneigentlicher Konvergenz und uneigentlichen Grenzwerten.

Q: Nenne eine unbeschränkte divergente Folge, die nicht gegen \(\infty\) oder \(-\infty\) divergiert.
A: Zum Beispiel ist Folge \((a_n)_n\) definiert durch\[a_n = \begin{cases} 1 & \textrm{falls n gerade} \\ n & \textrm{falls n ungerade} \end{cases}\] divergent, aber sie divergiert nicht gegen \(\infty\).

Q: Übung 6.20: Teilfolgen von unbeschränkten Folgen
Sei \((a_n)_n\) eine unbeschränkte, reelle Folge.
A: Dann existiert eine Telfolge, die gegen \(\infty\) oder gegen \(-\infty\) divergiert.

Q: Übung 6.21: Sandwich für uneigentliche Grenzwerte
Seien \((a_n)_n\) und \((b_n)_n\) mit \(a_n \leqslant b_n\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).
A: Dann gelten die folgenden uneigentlichen Sandwich-Lemmata: \[\lim_{n \to \infty} a_n = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} b_n = \infty\] \[\lim_{n \to \infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty\]

Q: Definition 6.22: Cauchy-Folge
Eine Folge \((a_n)_n\) in einem metrischen Raum (X,d) ist eine Cauchy-Folge, falls
A: es für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) gibt, so dass \[d(a_m,a_n) < \varepsilon\] für alle \(m, n \geqslant N\).
\[\forall \varepsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n,m \geqslant N: d(a_m,a_n) < \varepsilon\]

Q: Übung 6.23: Sind konvergente Folgen Cauchy-Folgen?
A: Ja

Q: Satz 6.26: Cauchy-Kriterium für Folgen
Wann ist eine reelle Folge konvergent?
A: Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.
\[(a_n)_n \textrm{ ist konvergent} \Leftrightarrow (a_n)_n \textrm{ ist eine Cauchy-Folge}\]

Q: Was ist der Vorteil der Cauchy-Folge gegenüber der direkten Definition der Konvergenz?
A: Wir müssen den Grenzwert nicht kennen um zu zeigen, dass die Folge konvergent ist.

Q: Übung 6.38: Eigenschaften vom Grenzwert von Funktionen.
A: (i) Falls der Grenzwert \(\lim_{x \to x_0}f(x)\) existiert, dann ist er eindeutig.
(ii) Der Grenzwert ist linear, multiplikativ und monoton.
(iii) Das Sandwich-Lemma gilt auch für den Grenzwert von Funktionen \(x \rightarrow x_0\).

Q: Lemma 6.39: Grenzwerte und Stetigkeit
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) eine Teilmenge, \(x_0 \in D\) ein Häufungspunkt von D und f eine reellwertige Funktion auf D.
Wann ist f stetig?
A: f ist genau dann stetig bei \(x_0\), wenn \(\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)\)

Q: Lemma 6.40: Grenzwerte mittles Folgen
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) eine Teilmenge, \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion und \(x_0 \in D\) ein Häufungspunkt von D.
Wann gilt \(A = \lim_{x \to x_0} f(x)\)?
A: Genau dann, wenn für jede Folge \((a_n)_n\) in \(D \setminus \{x_0\}\) mit \(\lim_{n \to \infty}a_n=x_0\) auch \(\lim_{n \to \infty} f(a_n) = A\) gilt.

Q: Proposition 6.41: Grenzwerte und Verknüpfung mit stetigen Funktionen.
Seien \(D,E \subseteq \mathbb{R}\)
 \(x_0\) ein Häufungspunkt von \(D\)
\( f: D \rightarrow E\) eine Funktion
\(y_0 = \lim_{x \to x_0} f(x) \in E\)
und \(g: E \rightarrow \mathbb{R}\) eine bei \(y_0\) stetige Funktion.
A: Dann gilt \(\lim_{x \to x_0}g(f(x))=g(y_0)\).

Q: Definition: links- und rechtsseitiger Häufungspunkt.
\(D \subseteq \mathbb{R}\)
A: Angenommen \(x_0 \in \mathbb{R}\) hat die Eigenschaft \(D \cap (x_0,x_0+\delta) \neq \emptyset\) für alle \(\delta > 0\). Dann wird der Punkt \(x_0\) rechtsseitiger Häufungspunkt von D genannt.
Für eine linksseitigen Häufungspunkt von D gilt analog: \(\forall \delta > 0: D \cap (x_0-\delta,x_0) \neq \emptyset\).

Q: Definition links- und rechtsseitiger Grenzwert.
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) eine Teilmenge und \(x_0 \in \mathbb{R}\) ein rechtsseitiger, respektive linksseitiger Häufungspunkt von D.
A: Für eine Funktion \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) ist
\(A = \lim_{x \searrow x_0}f(x)\) der rechtsseitige Grenzwert von \(f(x)\) bei \(x_0\), falls \[\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall x \in D \cap (x_0,x_0+\delta): |f(x)-A| < \varepsilon\].
Analog ist \(A = \lim_{x \nearrow x_0}f(x)\) der linksseitige Grenzwert von \(f(x)\) von \(x_0\) falls \[\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall x \in D \cap (x_0-\delta,x_0): |f(x)-A| < \varepsilon\].
Alternativ auch geschrieben als:
\(\lim_{x\searrow x_0} = \lim_{x \to x_0^{+}} \)
\(\lim_{x\nearrow x_0} = \lim_{x \to x_0^{-}} \)

Q: Besitzt \(f: x \in \mathbb{R}^{\gt 0} \mapsto \log(x) \in \mathbb{R}\) einen linksseitigen Grenzwert für \(x \rightarrow 0\)? Wieso/wieso nicht?
A: \(f: x \in \mathbb{R}^{\gt 0} \mapsto log(x) \in \mathbb{R}\) besitzt keinen linksseitigen Grenzwert für \(x \rightarrow 0\), da \(0\) kein linksseitiger Häufungspunkt von \(\mathbb{R}^{\gt 0} \) ist.

Q: Definition rechtsseitig stetig.
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) eine Teilmenge, \(x_0 \in D\) ein rechtsseitiger Häufungspunkt von D und \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion.
A: Falls \(\lim_{x \searrow x_0} f(x)\) existiert und \(f(x_0)\) ist dann sagen wir, dass \(f\) rechtsseitig stetig bei \(x_0\) ist.

Q: Definition Sprungstelle
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) und \(x_0 \in D\) ein links- und rechtsseitiger Häufungspunkt von D.
Für eine Funktion \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) heisst \(x_0\) eine Sprungstelle falls
A: die einseitigen Grenzwerte \(\lim_{x \nearrow x_0}f(x)\) und \(\lim_{x \searrow x_0}f(x)\) existieren, aber verschieden sind.

Q: Definition 6.46: Riemann-Summen, Maschenweite, erlaubte Wahl von Zwischenpunkten.
A: Für eine Zerlegung \(\xi = \{a=x_0 < x_1 < ... < x_n=b\}\) von [a,b] definieren wir die Maschenweite der Zerlegung \(\xi\) als \(|\xi| = max_{k=1,...,n}(x_k-x_{k-1})\).
Weiter bezeichnen wir z \(= (z_1,...,z_n) \in [a,b]^n\) als eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten der Zerlegung \(\xi\), falls \(z_k \in [x_{k-1},x_k]\) für \(k \in \{1,...,n\}\).
Für eine reellwertige Funktion \(f\) auf [a,b], eine Zerlegung \(\xi\) von [a,b] und eine erlaubte Wahl von Zwischenpunkten z definieren wir die Riemann-Summe durch \[R(f,\xi,z) = \sum_{k=1}^n f(z_k)(x_k-x_{k-1}).\]

Q: Satz 6.47: Riemann-Integral über Riemann-Summen.
Sei \(f\) eine Riemann-integrierbare reellwertige Funktion auf [a,b].
A: Dann ist \(\int_a^b f(x)\) der Grenzwert der Riemann-Summen \(R(f,\xi,z)\), wenn die Maschenweite \(|\xi|\) der Zerlegung \(\xi\) von [a,b] gegen Null geht.
\[\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 \forall \xi \forall z: |\xi| < \delta \Rightarrow |R(f,\xi,z) - \int_a^b f(x) dx| < \varepsilon.\]

Q: Übung 6.49: Konvergenz der Riemann-Summen.
A: Die Konvergenz der Riemann-Summen für \(f\) zu einer Zahl I impliziert die Riemann-Integrierbarkeit von \(f\) und die Gleichung \(\int_a^b f(x) dx = I\).

Q: Definition "Gross-O" (Landau-Notation).
Sei \(D \subseteq \mathbb{R}\) eine Teilmenge und \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\) ein Häufungspunkt. Seien \(f,g: D \rightarrow \mathbb{R}\) Funktionen. Wir schreiben \[f(x)=O(g(x)) \textrm{ für } x \rightarrow x_0,\]
A: falls ein \(\delta > 0\) und eine Konstante \(M > 0\) existieren, so dass \(|f(x)| \leqslant M \cdot |g(x)|\) für alle \(x \in D \cap \dot{U}_{\delta}(x_0).\)
\[\exists \delta,M >0 \forall x \in D \cap \dot{U}_{\delta}(x_0): |f(x)| \leqslant M \cdot |g(x)|\]
Oder falls \(g(x) \neq 0\) ist \(\frac{f}{g}\) beschränkt
Intuition: \(f\) ist nicht viel grösser als \(g\) nahe bei \(x_0\)

Q: Definition: "Klein-o" (Landau-Notation)
A: Wenn \(f\) nicht nur durch \(g\) beschränkt ist, sondern asymptotisch gegenüber \(g\) vernachlässigbar ist, dann sagen wir, dass \(f\) „Klein-o“ von \(g\) ist für \(x \rightarrow x_0\). Genauer formuliert: Wir
schreiben \[f(x) = o(g(x)) \textrm{ für } x \rightarrow x_0,\] falls für jedes \(\varepsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert mit \(|f(x)| \leqslant \varepsilon \cdot |g(x)|\) für alle \(x \in D \cap \dot{U}_{\delta}(x_0).\) \[\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x \in D \cap \dot{U}_{\delta}(x_0): |f(x)| \leqslant \varepsilon \cdot |g(x)|\]
Falls \(g(x) \neq 0\) ist dies äquivalent zu
\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0\)

Q: Übung 6.52:
Seien \(p>1\), \(a \in \mathbb{R}\) und \(b>0\). Was sind klein-o Asymptotiken für
\(x^p (x \rightarrow 0) \)
\(x^a (x \rightarrow \infty)\)
\(x (x \rightarrow \infty)\)
\(\log(x) (x \rightarrow \infty)\)
A: \(x^p=o(x) (x \rightarrow 0)\)
\(x^a=o(e^x) (x \rightarrow \infty)\)
\( x=o(x^p) (x \rightarrow \infty)\)
\( \log(x)=o(x^b) (x \rightarrow \infty)\)

Q: Facts Landau-Notation: Falls [...], dann ist auch [...].
A: \(f_2=O(g), f_2=O(g)\); \(f_1+f_2=O(g)\)

Q: Facts Landau-Notation: Falls [...] dann ist auch [...].
A: \(f_1=o(g_1) (x \rightarrow x_0)\) und \(f_2=O(g_2) (x \rightarrow x_0)\); \(f_1 \cdot f_2 = o(g_1 \cdot g_2) (x \rightarrow x_0)\)

Q: Definition 7.1: Reihen
A: Sei \((a_k)_k\) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die (unendliche) Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) betrachten, wobei \(a_k\) für \(k \in \mathbb{N}\) das k-te Glied oder der k-te Summand der Reihe genannt wird. Für \(n \in \mathbb{N}\) is die n-te Partialsumme der Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) durch \(s_n = \sum_{k=1}^n a_k\) gegeben. Wir nennen die Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergent, falls der Grenzwert \[\sum_{k=1}^\infty a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n a_k = \lim_{n \to \infty} s_n\] in \(\mathbb{C}\) existiert, wobei wir diesen dann als Wert der Reihe bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe divergent.

Q: Ist eine Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) effektiv als eine Zahl zu verstehen?
A: Nein, man sollte sie eher als formales Objekt betrachten. Vor allem, wenn man noch nicht mal weiss, ob überbaupt ein Grenzwert existiert.

Q: Proposition 7.2: Nullfolgen
A: Falls die Reihe \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) konvergiert, dann ist die Folge \((a_n)_n\) eine Nullfolge, das heisst \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\).

Q: Beispiel 7.4: Konvergiert die harmonische Reihe \(\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\) gegen eine reelle Zahl?
A: Nein, die Reihe ist divergent. Der Trick für den Beweis ist, dass unendlich viele Teilsummen mit dem Wert \(\frac{1}{2}\) gebildet werden können.