Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.6

Q: Satz: (Cauchy-Schwarz Ungleichung) Für beliebige \(v, w \in V\) gilt:
\[ [...] \leqslant [...]\]
Weiter gilt Gleichheit genau dann, wenn [...].
A: \vert \langle v, w \rangle \vert; \Vert v \Vert \cdot \Vert w \Vert; \(v\) und \(w\) linear abhängig (also skalare Vielfache voneinander) sind

Q: Proposition: [...] ist [...].
A: Der zum Skalarprodukt auf \(V\) gehörige Betrag \(\Vert \: \Vert\); eine Norm auf \(V\)

Q: Proposition: Für beliebige \(v, w \in V\) gilt [...] genau dann, wenn [...]
A: \(\Vert v + w \Vert = \Vert v \Vert + \Vert w \Vert\); einer der Vektoren ein nicht-negatives skalares Vielfaches des anderen ist.

Q: Definition normierter Vektor
A: Ein Vektor \(v \in V\) mit Betrag \(\Vert v \Vert = 1\) heisst normiert.

Q: Proposition: Für jeden von Null verschiedenen Vektor \(v \in V\) ist [...] normiert, da [...].
A: \(\frac{v}{\Vert v \Vert}\); wegen der Homogenität der Norm \(\Vert \frac{v}{\Vert v \Vert} \Vert = \frac{1}{\Vert v \Vert} \cdot \Vert v \Vert = 1\)

Q: Definition Winkel zwischen zwei Vektoren
A: Der Winkel zwischen zwei von Null verschiedenen Vektoren \(v, w \in V\) ist die eindeutige reelle Zahl \(0 \leqslant \alpha \leqslant \pi\) mit
\[\cos \alpha = \frac{\langle v, w \rangle}{\Vert v \Vert \cdot \Vert w \Vert} = \left \langle \frac{v}{\Vert v \Vert}, \frac{w}{\Vert w \Vert} \right \rangle \]

Q: Definition Orthogonalität zwischen Vektoren
A: Zwei Vektoren \(v, w \in V\) mit \(\langle v, w \rangle = 0\) heissen zueinander orthogonal, und man schreibt \(v \perp w\). Insbesondere ist der Nullvektor orthogonal zu jedem Vektor.

Q: Definition Orthogonalität zwischen einem Vektor und einer Teilmenge
A: Ist ein Vektor \(v \in V\) orthogonal zu jedem Element einer Teilmenge \(S \subset V\), so heissen \(v\) und \(S\) orthogonal und man schreibt \(v \perp S\) oder \(S \perp v\).

Q: Definition Orthogonalität zwischen zwei Teilmengen
A: Ist jedes Element einer Teilmenge \(S \subset V\) orthogonal zu jedem Element einer Teilmenge \(S' \subset V\), so heissen \(S\) und \(S'\) orthogonal und man schreibt \(S \perp S'\).

Q: Bemerkung: Für jeden Vektor \(v \in V\) gilt [...] \(\Leftrightarrow\) [...].
A: \(v \perp v\); \(v = 0\)

Q: Proposition: Zwei Vektoren \(v\) und \(w\) sind orthogonal genau dann, wenn gilt:
\[[...] = [...]\]
A: \Vert v + w \Vert^2; \Vert v \Vert^2 + \Vert w \Vert^2