Title: ETH_Basisjahr / Math / Lineare_Algebra_II / 10 Euklidische Vektorräume / 10.20

Q: Proposition: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden [...] gilt [...].
A: orthogonalen Endomorphismus \(f\) von \(V\); \(\text{det}(f) = \pm 1\)

Satz: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Für jeden orthogonalen Endomorphismus \(f\) von \(V\) existiert eine geordnete Orthonormalbasis \(B\) von \(V\), bezüglich welcher die Darstellungsmatrix von \(f\) die folgende Blockdiagonalgestalt hat:
 \[ {}_B[f]_B = \begin{pmatrix} D_1 & \: & \: \\ \: & \ddots & \: \\ \: & \: & D_r \end{pmatrix} \; \; \text{mit} \; \; D_k = \left\{ \begin{matrix} \pm 1 & \text{oder} & \: \\ \begin{pmatrix} a_k & b_k \\ -b_k & a_k \end{pmatrix} & \text{mit} & a_k, b_k \in \mathbb{R} \\ \: & \text{und} & a_k^2 + b_k^2 = 1 \end{matrix} \right. \] 
Falls weiter  \(\text{det}(f) = 1\) , so kann man  alle \(1 \times 1\)-Blockdiagonaleinträge gleich 1 wählen.

Q: Definition Spiegelung und Drehung
A: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und \(f\) ein orthogonaler Endomorphismus von \(V\). Betrachte die Darstellungsmatrix von \(f\) in Blockdiagonalgestalt.
Sind alle Blockdiagonaleinträge ausser einem gleich \(1\), und ist dieser
(a) gleich \(-1\), so heisst \(f\) eine Spiegelung (an einer Hyperebene).
(b) gleich \(\begin{pmatrix} a_k & b_k \\ -b_k & a_k \end{pmatrix}\), so heisst \(f\) eine Drehung um den Winkel \(\pm \text{arg}(a_k + ib_k) = \arctan2(a_k, b_k).\)
Bemerkung: Die Funktion \(\text{arg}: \mathbb{C} \rightarrow (-\pi, \pi]\) ist für ein \(z \in \mathbb{C}\) folgendermassen definiert:
\[ \text{arg}(z) = \lim_{n \to \infty} \left( n \cdot \text{Im}\left[ \sqrt[n]{ \frac{z}{\vert z \vert} } \right] \right).\]

Proposition: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Jeder orthogonale Endomorphismus von \(V\) ist eine Komposition von Spiegelungen. Insbesondere ist  die orthogonale Gruppe \(O(n)\) von Spiegelungen erzeugt.

Q: Definition speziell orthogonal und speziell orthogonale Gruppe
A: Sei \(V\) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Ein orthogonaler Endomorphismus \(f\) von \(V\) mit \(\text{det}(f) = 1\) heisst speziell orthogonal.
Die Menge \(SO(n) = SO_{n}(\mathbb{R}) \) aller orthogonalen \(n \times n\)-Matrizen mit Determinante 1 heisst die spezielle orthogonale Gruppe vom Grad \(n\).

Proposition: Jeder spezielle orthogonale Endomorphismus ist eine Komposition von Drehungen. Insbesondere ist  die spezielle orthogonale Gruppe \(SO(n)\) von  Drehungen erzeugt.

Q: Proposition: Jedes Element von [...] ist eine [...].
A: \(SO(3)\); Drehung

Q: Bemerkung: Dass eine Katze sich in der Luft auf die Füsse drehen kann, hängt unter anderem damit zusammen, dass die Gruppe \(SO(3) \) [...] ist.
A: nicht kommutativ