Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_I / Kap5
Tags: Kap5 Metrische_Räume Normen Folgen Konvergenz Limit Vektorräume Funktionen Projektion Häufungspunkte

Q: Anforderungen an eine Norm
A: 1. Definitheit: \( \forall \mathbf{v} \in V: \| \mathbf{v} \|=0 \iff \mathbf{v} = 0_V \)
2. Homogenität: \( \forall \mathbf{v} \in V \forall \lambda \in \mathbb{K}: \| \lambda \mathbf{v} \| = |\lambda| \| \mathbf{v} \| \)
3. Dreiecksungleichung: \( \forall \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2 \in V: \| \mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 \| \leq \| \mathbf{v}_1 \|+\| \mathbf{v}_2 \| \)

Q: Was ist eine Norm?
A: Eine Norm ist eine Abbildung \( \| \cdot \| : V \to \mathbb{R}_{\geq 0} \) mit \( V \) Vektorraum über \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \), welche Definitheit, Homogenität und Dreiecksungleichung erfüllt.

Q: Wie lautet die 1-Norm über \( \mathbb{C}^{d} \)?
A: \[ \| \mathbf{v} \|_1 := \displaystyle\sum_{k=1}^{d}|\pi_{k}( \mathbf{v} )| \]

Q: Wie lautet die Euklidische Norm/2-Norm über \(\mathbb{C}^d\)?
A: \[ \| \mathbf{v} \|_2 := \sqrt{\displaystyle\sum_{k=1}^{d}|\pi_k( \mathbf{v} )|^2} \]

Q: Was ist \( \pi_k : \mathbf{v} \in \mathbb{C}^d \to \pi_k(\mathbf{v})\in \mathbb{C} \)?
Was wäre eine äquivalente Abbildung?
A: \( \pi_k\) ist hier eine Projektion vom Vektorraum \(\mathbb{C}\) mit Elementen \( (\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_d)^t\) auf den \(k.\) Unterraum.
\( \pi_k(\mathbf{v})\) ist äquivalent zum euklidischen inneren Produkt/Skalarprodukt \( \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_k \rangle\), also mit dem \(k.\) Standartbasisvektor (Einselement).

Q: Wie ist das euklidische innere Produkt definiert?
A: \[\mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbb{C}^d:
\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle := \displaystyle\sum_{k=1}^{d} \mathbf{v}_k \overline{\mathbf{w}_k} \]
Der allgemeine Fall über \(\mathbb{C}\) lässt sich direkt auf \(\mathbb{R}\) anwenden, wobei die Komplemente entfallen.

Q: Was sind die Eigenschaften des euklidischen inneren Produktes über \(\mathbb{C}\)? Über \(\mathbb{R}\)?
A: \(\mathbf{v},\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{w},\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2 \in \mathbb{C}^d\) sowie \(\lambda_1,\lambda_2 \in \mathbb{C}\)
1. Sesquilinearität: \(\langle \lambda_1 \mathbf{v}_1+\lambda_2 \mathbf{v}_2,\mathbf{w} \rangle = \lambda_1 \langle \mathbf{v}_1,\mathbf{w} \rangle + \lambda_2 \langle \mathbf{v}_2,\mathbf{w} \rangle\)
sowie
\(\langle \mathbf{v}, \lambda_1 \mathbf{w}_1+\lambda_2 \mathbf{w}_2 \rangle = \overline{\lambda_1} \langle \mathbf{v},\mathbf{w}_1 \rangle + \overline{\lambda_2} \langle \mathbf{v},\mathbf{w}_2 \rangle\)
2. Symmetrie: \(\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle = \overline{\langle \mathbf{w},\mathbf{v} \rangle}\)
3. Definitheit: \(\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle \geq 0\) sowie \(\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle = 0 \iff \mathbf{v}=0\)
Über \(\mathbb{R}\) ist Bilinearität erfüllt, da die Komplemente wegfallen

Q: Beweis-Idee für die Cauchy-Schwartz-Ungleichung \(| \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle | \leq \| \mathbf{v} \|_2 \| \mathbf{w} \|_2\)
(Beweisschritt für die Euklidische Norm/2-Norm).
A: Für \(\mathbf{v} \neq 0, \mathbf{w} \neq 0\) wählen wir \(\lambda := \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle}{\| \mathbf{w} \|_2}\) und formen \(\big(\| \mathbf{v}- \lambda \mathbf{w} \|_2\big)^2 \geq 0\) mittels Grundeigenschaften des euklidischen inneren Produktes um. Wir erhalten \(\big(\| \mathbf{v} \|_2\big)^2 - \frac{| \langle \mathbf{v},\mathbf{w} \rangle|^2}{\big(\| \mathbf{w} \|_2\big)^2}\), was die Ungleichung beweist.

Q: Wie lautet die Supremumsnorm über \(\mathbb{C}^d\)?
A: \[ \|v\|_{\infty} := max\big\{|v_k| \big| 1\leq k \leq d \big\} \]

Q: Was ist \(C [ a,b ] \)?
A: Der Vektorraum aller stetigen Funktionen \(f: [ a,b ] \to \mathbb{R}\)

Q: Wie lautet die 1-Norm über \(C[a,b]\)?
Woraus folgen die Norm-Eigenschaften der 1-Norm?
A: \( \| f \|_1 := \displaystyle\int_a^b |f(x)|dx\)
Die Eigenschaften folgen aus Linearität (4.19) und Monotonie (4.24) des Riemann-Integrals.

Q: Wie lautet die Supremumsnorm über \(C[a,b]\)?
Woraus folgt die Wohldefiniertheit der Norm?
A: \[ \|f \|_{\infty} := \underset{x \in [a,b]}{sup}|f(x)| = \underset{x \in [a,b]}{max}|f(x)|\]
Die Wohldefiniertheit folgt aus dem Satz über die Beschränktheit von stetigen Funktionen über kompakten Intervallen (3.74).

Q: Wie lautet die 2-Norm über \(C[a,b]\)?
Wie kann die Dreiecksungleichung der Norm bewiesen werden?
A: \( \| f \|_2 := \sqrt{ \displaystyle\int_a^b |f(x)|^2 dx}\)
Für den Beweis der Dreiecksungleichung finden wir für
\(A(t) := \displaystyle\int_a^b(f(x)+tg(x))^2 dx\)
das Mimimum \(0 \leq m = \int_a^b f(x)^2 dx - \frac{(\int_a^b f(x)g(x)dx)^2}{\int_a^b g(x)^2 dx}\), was die Dreiecksungleichung impliziert.

Q: Was sind die Anforderungen an einen metrischen Raum \( (X,d) \)?
A: Die Metrik \(d: X^2 \to \mathbb{R}_{\geq 0}\) muss die Eigenschaften
Definitheit: \( \forall x_1,x_2 \in X: d(x_1,x_2)=0 \iff x_1=x_2 \)
Symmetrie: \( \forall x_1, x_2 \in X: d(x_1,x_2) = d(x_2,x_1) \)
Dreiecksungleichung: \( \forall x_1,x_2,x_3 \in X: d(x_1,x_3) \leq d(x_1,x_2)+d(x_2,x_3) \)
erfüllen.

Q: Induziert jede Norm eine Metrik?
A: Ja! Beweis mittels Eigenschaften der Norm für \(d(x_1,x_2):= \| x_1 - x_2 \| \):
1. \(\| x_1-x_2 \| = 0 \iff x_1-x_2=0\)
2. \( \lambda = -1 \implies \|x_1-x_2 \|=|-1| \|(-1)(x_1-x_2)\|= \| x_2-x_1 \| \)
3. \( \|x_1-x_2 \| = \| x_1-x_3+x_3-x_2 \| \leq \| x_1-x_3 \| + \| x_2-x_3 \|\)

Q: Induziert jede Metrik eine Norm?
A: Nein! Symmetrie ist eine schwächere Anforderung als Homogenität.
Beispiel: Die diskrete Metrik \[d(x_1,x_2) := \begin{cases} 0 &\text{falls }x_1=x_2 \\ 1 &\text{falls }x_1 \neq x_2 \end{cases} \] mit \( \lambda = 2 \):
\((2,0) = 1 \neq 2d(1,0) = 2\)

Q: Sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Definiere einen offenen Ball.
A: Für \(x_0 \in X\) und \(r>0\) beliebig ist \(B_r(x_0) := \{ x \in X | d(x,x_0)<r \} \)

Q: Wie könnte die SNCF-Metrik \(d_{SNCF}\) in \(\mathbb{C}\) definiert werden (mit Paris als Nullelement)?
A: Seien \(Ort_1,Ort_2 \in \mathbb{C} = \text{Frankreich}\) beliebig.
\[d_{SNCF}(Ort_1,Ort_2) := \begin{cases} |Ort_1-Ort_2| &\text{falls $Ort_1$ und $Ort_2$ linear abhängig über $\mathbb{R}$ sind} \\ |Ort_1| + |Ort_2| &\text{sonst} \end{cases}\]

Q: Wie wäre die Manhattan-Metrik \(d_{NY}\) über \(\mathbb{C}\) definiert?
A: Seien \(c_1,c_2 \in \mathbb{C}=\text{New York} \) beliebig.
\[ d_{NY}(c_1,c_2) := |Re(c_1)-Re(c_2)| + |Im(c_1)-Im(c_2)|\]

Q: Sei \(z\in\mathbb{C}\) beliebig. Wir wollen \(arg(z): \mathbb{C} \to \mathbb{R}_{\geq 0}\) positiv definieren, also \(arg(0)=0, arg(i)=\frac{\pi}{2}, arg(-1)=\pi, arg(-i)=\frac{3\pi}{2} \)
Wäre \( \| z \| := |z|^{arg(z)}\) eine Norm? Wieso?
A: Nein, denn \( \| 0 \| \) wäre nicht definiert und damit Definitheit schonmal aus dem Spiel.
Homogenität wäre ebenso nicht erfüllt, da zB \( |100|^{arg(100)}=|100|^0=1 \neq 100|1|^0\) gilt.
Zuletzt wäre auch die Dreiecksungleichung nicht erfüllt: \( \| 1\| = 1\) und \( \| -i \| = 1\) aber \( \| 1-i \| = \sqrt{2}^{\frac{7\pi}{4}} \approx 6.7 >1+1 \)
Darstellung der Abbildung, wobei rot die Abbildung auf die positive reelle Achse und hellere Töne höhere Werte darstellen:

Q: Wie sehen offene Bälle mittels SNCF-Metrik aus?
A: Falls \(r\leq |z|\) ist, ist der offene Ball eine Strecke auf der Geraden durch \(z\) und \(0\).
Falls \(r > |z|\) ist, kommt zusätzlich ein konventioneller (euklidischer) offener Ball um \(0\) mit Radius \(r-|z|\) hinzu.

Q: Wie sehen offene Bälle in der Manhattan-Metrik aus?
A: Einsiedler würde sie Diamanten nennen, weniger kontrovers wäre wohl ein um \(\frac{\pi}{4}\) gedrehtes Quadrat mit Diagonale \(2r\) für \(r\) als Radius des offenen Balls.
Entspricht der 1-Norm über \(\mathbb{R}^2\).

Q: Wie sehen offene Bälle unter der 1-Norm über \(\mathbb{R}^2\) aus?
A: Diamanten?
Für \(r\) Radius des Balles ist die Diagonale des begrenzenden Diamanten \(2r\).

Q: Wie sehen offene Bälle mittels 2-Norm in \(\mathbb{R}^2\) aus?
A: Begrenzung durch Kreis mit Radius \(r\):

Q: Wie sehen offene Bälle unter der Supremums-Norm in \(\mathbb{R}^2\) aus?
A: Begrenzung durch ein Quadrat der Seitenlänge r:

Wie sehen offene Bälle unter der Supremumsnorm in \(C[a,b]\) aus?

Q: Wie lautet die Definition einer Folge?
A: Eine Folge ist eine Abbildung \(a:\mathbb{N} \to X\) für X eine beliebige Menge.
Wir schreiben \(a_n:=a(n)\) für ein bestimmtes Folgenglied und \( (a_n)_n\) für die gesamte Folge, wobei \( ()_n \) die "Laufvariabel" \(n\) markiert.

Q: Wann ist eine Folge "schliesslich konstant"?
A: Wenn ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert mit \(a_n = a_m\) für alle \(n,m \geq N\).

Q: Wie ist eine Teilfolge definiert?
A: Eine Teilfolge \( (a_{n_k})_k \) ist eine Folge \( (a_n)_n \) zusammen mit einer streng monoton wachsenden Folge \( n_k: k \in \mathbb{N} \to n_k \in\mathbb{N}\).
Es werden also gewisse "Folgenglieder" aus der Folge herausgepickt, wobei die Anordnung nicht verändert wird.

Q: Wie ist die Konvergenz einer Folge definiert?
A: Sei \( (X,d) \) ein metrischer Raum. Dann konvergiert die Folge \( a_n: \mathbb{N} \to X\) gegen \(A \in X\) falls \[ \forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: d(A, a_n)< \epsilon \]

Q: Wie ist die Divergenz einer Folge definiert?
A: Falls die Folge nicht konvergiert.

Q: Wie ist der Grenzwert einer konvergenten Folge \( a_n : \mathbb{N} \to X \)definiert?
A: Der Grenzwert \( \underset{n \to \infty}{lim} (a_n)\) ist definiert als Element \(A\) der Menge \(X\), für welches die Konvergenzbedingung \[ \forall \epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: d(A,a_n)< \epsilon \] erfüllt ist.
Anders gesagt, für genug grosse \(n\) ist \(a_n\) beliebig nahe an \(A\) und geht nicht mehr weiter weg.

Q: Was ist ein uneigentlicher Grenzwert?
A: Ein uneigentlicher Grenzwert tritt auf, wenn \(a_n\) divergiert, aber unbegrenzt steigt/fällt:
\( \underset{n \to \infty}{lim}(a_n) := \infty\)  falls  \(\forall\epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: a_n > \frac{1}{\epsilon}\)
\( \underset{n \to \infty}{lim}(a_n) := -\infty\)  falls  \(\forall\epsilon >0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \geq N: a_n < -\frac{1}{\epsilon}\)

Q: Welche Rechenregeln gelten für Grenzwerte von konvergenten Folgen \((a_n)_n,(b_n)_n \in \mathbb{C}^{\mathbb{N} } \)?
A: \( \underset{n \to \infty}{lim}(a_n+b_n) = \underset{n \to \infty}{lim}(a_n) + \underset{n \to \infty}{lim}(b_n) \)
\( \underset{n \to \infty}{lim}(a_n b_n) = \big(\underset{n \to \infty}{lim}(a_n) \big) \big( \underset{n \to \infty}{lim}(b_n) \big) \)
Als Spezialfall der Multiplikation gilt für \( \lambda \in \mathbb{C}\): \( \underset{n \to \infty}{lim}( \lambda a_n) = \lambda\underset{n \to \infty}{lim}(a_N) \)
Insbesondere bildet die Menge der konvergenten Folgen in \(\mathbb{C}^{\mathbb{N}}\) einen Unterraum und der Grenzwert stellt eine lineare Abbildung von diesem Unterraum nach \(\mathbb{C}\) dar.

Q: Konvergiert die Teilfolge einer konvergenten Folge? Was wäre der Grenzwert?
A: Ja.
Beweis: Für ein beliebiges \(\epsilon>0\) und das entsprechende \(N \in \mathbb{N}\) der ursprünglichen Folge finden wir ein  \(K \in \mathbb{N} \) mit \(n_K \geq N \).
Somit ist \( \underset{n \to \infty}{lim}(a_n) = \underset{n \to \infty}{lim}(a_{n_k}) \)

Q: Falls eine Teilfolge konvergiert, konvergiert dann die ursprüngliche Folge? Was wäre der Grenzwert?
A: Die ursprüngliche Folge muss nicht konvergieren.
Beispiel: \(a_n := (-1)^n \)

Q: Lässt sich aus den Teilfolgen die Konvergenz der ursprünglichen Folge herleiten?
A: Ja, falls alle Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergieren.
Beweis durch Kontraposition: Falls die ursprüngliche Folge nicht konvergiert, konstruieren wir induktiv zwei Teilfolgen, welche nicht gegen denselben Grenzwert konvergieren (oder divergieren).
Verglichen Häufungspunkte einer Folge

Q: Zwei äquivalente Bedingungen für einen Häufungspunkt \(A\in X \) einer Folge \(a_n \in X^{\mathbb{N}} \)?
A: 1. Es gibt eine Teilfolge von \(a_n\) mit Grenzwert \(A\)
2. \[\forall\epsilon>0\forall N \in\mathbb{N}\exists n \geq N: d(a_n,A)<\epsilon\]

Q: Was wäre eine äquivalente Bedingung für die Konvergenz einer Folge \(a_n \in X^{\mathbb{N}}\)?
A: Sei \(A \in X \) der vermutliche Grenzwert.
Dann konvergiert \(a_n\) gegen \(A\) falls für jede Umgebung (enthält offenen Ball) von \(A\) nur endlich viele Folgenglieder ausserhalb der Umgebung liegen.

Q: Beweisidee für die Äquivalenz der 1-Norm, 2-Norm und Supremums-Norm über \(\mathbb{C}^d\) als Konvergenzkriterium:
A: Für \(\mathbf{v} \in \mathbb{C}^d \) gilt \[ \|\mathbf{v}\|_{\infty}\leq\|\mathbf{v}\|_1\leq d\|\mathbf{v}\|_{\infty} \] und \[ \|\mathbf{v}\|_{\infty}\leq\|\mathbf{v}\|_2\leq \sqrt{d} \|\mathbf{v}\|_{\infty} \] was die Äquivalenz impliziert.

Q: Definiere \(\epsilon\)-\(\delta\)-Stetigkeit bei \(x_o \in X \) für \((X,d_X),(Y,d_Y)\) metrische Räume und \(f:X \to Y \)
A: \( \forall \epsilon>0\exists\delta>0\forall x\in X: x\in B_{\delta}(x_0) \implies f(x) \in B_{\epsilon}(f(x_0))\)

Q: Definiere Folgenstetigkeit bei \(x_o \in X \) für \((X,d_X),(Y,d_Y)\) metrische Räume und \(f:X \to Y \)
A: Für alle Folgen \((a_n)_n \in X^{\mathbb{N}} \) mit Grenzwert \(x_0\) konvergiert \((f(a_n))_n\) gegen \(f(x_0)\).

Q: Ist \(f:X \to Y \) bei \(x_o \in X \) folgenstetig für \((X,d_X),(Y,d_Y)\) metrische Räume, falls eine Folge \(a_n \in X^{\mathbb{N}} \) existiert mit \( \underset{n \to \infty}{lim}(f(a_n))=f(x_0) \)?
A: Nein!

Q: Beweis-Idee für die Äquivalenz von \(\epsilon\)-\(\delta\)-Stetigkeit und Folgenstetigkeit?
A: \(\implies\): Fürs \(\epsilon>0\) finden wir aufgrund der \(\epsilon\)-\(\delta\)-Stetigkeit ein \(\delta>0\) und für dieses für jede gegen \(x_0\) konvergente Folge ein \(N \in \mathbb{N}\), so dass alle späteren Folgenglieder \(\delta\) nahe an \(x_0\) sind.
\(\neg(\implies)\): Die negierte \(\epsilon\)-\(\delta\)-Stetigkeit lautet\[\exists\epsilon>0\forall\delta>0\exists x\in X: x\in B_{\delta}(x_0) \land f(x)\notin B_{\epsilon}(f(x_0))\] Für jedes \(n\in\mathbb{N}\) finden wir also für das \(\delta:=\frac{1}{n}\) ein x, welches nicht in den offenen \(\epsilon\)-Ball um \(f(x_0)\) abgebildet wird, und können so induktiv eine gegen \(x_0\) konvergente Folge bilden, deren Abbildung nicht konvergiert.

Q: Definiere gleichmässige Stetigkeit über metrischen Räumen \((X,d_X),(Y,d_Y)\) für \(f:X\to Y \)
A: \[ \forall\epsilon>0\exists\delta>0\forall x_1,x_2\in X: d_X(x_1,x_2)<\delta \implies d_Y(f(x_1),f(x_2))<\epsilon \]

Q: Definiere Lipschitz-Stetigkeit für metrische Räume \((X,d_X),(Y,d_Y)\) und \(f:X\to Y\)
A: \[ \exists L\geq 0\forall x_1,x_2 \in X: d_Y(f(x_1),f(x_2))\leq L \cdot d_X(x_1,x_2) \]

Q: Beweisidee für die Äquivalenz der Konvergenz einer Folge \((\mathbf{a}_n)_n \in (\mathbb{C}^d)^{\mathbb{N}}\) und die Konvergenz aller Projektionen \((\pi_k(\mathbf{a}_n))_n \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}} \) für \(k=1,\dots,d \)
A: Die Projektion ist beschränkt durch die Supremums-Norm und die Supremums-Norm ist das Maximum der Projektionen.

Q: Beweisidee für \(f:X \to \mathbb{C}^d\) stetig \(\iff \pi_k \circ f \) stetig für \(k = 1,\cdots,d\)
A: \(\implies\): \(\pi_k\) ist Lipschitz-Stetig, also ist die Verknüpfung \(\pi_k \circ f \) stetig.
\(\impliedby\): Für eine Folge \((x_n)_n \in X^{\mathbb{N}}\) mit Konvergenz aller Projektionen gilt Konvergenz der ursprünglichen Folge, folglich Folgenstetigkeit und somit Stetigkeit.