Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 14 Mehrdim Integralsätze / Kap14_04

Formale Definition des Laplace-Operators:
Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und \(f:U\rightarrow\mathbb{R}\) zweimal stetig differenzierbar. Dann definieren wir für \(p\in U\) \[\Delta f(p)=\lim_{r\searrow 0}\frac{c_n}{r^{n+2} }\int_{B_r(p)}(f(p+h)-f(p))dh\] falls der Grenzwert existiert. (üblich ist \( c_n=\frac{2(n+2)}{vol(B_1(0) )}\))

Q: Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen und sei \(F:U\rightarrow\mathbb{R}\) zweimal stetig differenzierbar. Was gilt dann für \(\Delta F\)?
A: \(\Delta F\) existert auf ganz \(U\) und erfüllt \[\Delta F=\sum_{j=1}^n \partial_j^2F\]

Q: Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) offen. Wann heisst eine Funktion \(f:U\rightarrow\mathbb{R}\) harmonisch?
A: Die Funktion f heisst harmonisch, falls \(\Delta f=0\).

Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen:
Sei \(U\subseteq\mathbb{R}^n\) für \(n>1\) offen und \(g:U\rightarrow\mathbb{R}\) harmonisch. Dann gilt für jeden abgeschlossenen Ball \(\overline{B_r(p)} \subseteq U\) die Mittelwerteigenschaft \[\frac{1}{vol(\partial B_r(p))}\int_{\partial B_r(p)}g(h)dvol(h)=g(p)\]

Q: Welche Form nimmt der Laplace-Operator in Polarkoordinaten an?
A: \(\Delta =\partial_r^2+\frac{1}{r}\partial_r+\frac{1}{r^2}\partial_{\theta}^2\)