Title: ETH_Basisjahr / Math / Analysis_II / 13 Mehrdim Integrale / Kap13_04

Q: Eine Teilmenge \(B\) von \(\mathbb{R}^n\) heisst Jordan-messbar, falls es [...] gibt, so dass die charakteristische Funktion \(\mathbb{1}_B\) auf \(Q\) [...] ist. Das Volumen ist in diesem Fall gegeben durch
[...]
A: einen abgeschlossenen Quader \(Q\) in \( \mathbb{R}^n \) mit \(Q \supseteq B\); Riemann-integrierbar; \( \text{vol(B)} = \int_Q \mathbb{1}_B \, \text{dvol} \)

Eine Teilmenge \(B \subseteq \mathbb{R}^n\) ist genau dann Jordan-messbar, wenn \(B\) beschränkt ist und der Rand \(\partial B\) eine Nullmenge ist. Falls \(B_1,B_2 \subseteq \mathbb{R}^n\) Jordan-messbar sind, so sind auch \(B_1 \cup B_2\), \(B_1 \cap B_2\) und \(B_1 \setminus B_2\) Jordan-messbar.

Q: Wie können ein Quader und zwei stetige Funktionen darauf ebenfalls eine Jordan-messbare Menge definieren?
A: Für einen Quader \(Q \subseteq \mathbb{R}^{n-1}\) und zwei stetige Funktionen \(f_-,f_+: Q \to \mathbb{R}\) mit \(f_- \leq f_+\), gilt dass die Menge
\[B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^n \,\vert\, x \in Q,\ f_-(x) \leq y \leq f_+(x) \} \]
zwischen den Graphen von \(f_-\) und \(f_+\) Jordan-messbar ist. Den Quader \(Q\) kann man auch mit einer beliebigen Jordan-messbaren Menge ersetzen.

Q: Wie ist das Riemann-Integral auf Jordan-messbaren Mengen definiert?
A: Sei \(B \subseteq \mathbb{R}^n\) eine beschränkte Jordan-messbare Teilmenge und sei \(f\)
eine reellwertige Funktion auf \(B\). Dann heisst \(f\) Riemann-integrierbar, falls es einen abgeschlossenen Quader \(Q \subseteq \mathbb{R}^n\) mit \(B \subseteq Q\) gibt, so dass die Funktion
\(  x \in Q \mapsto (\mathbb{1}_B \cdot f) (x) = \left\lbrace \begin{array}{cl}
f(x) & \text{ falls } x \in B \\
0 & \text{ falls } x \in Q \setminus B
\end{array} \right.  \)
R-intbar ist auf \(Q\).
Dann schreiben wir \(f \in \mathcal{R}(B)\) und es gilt:
\[\int_B f\; \text{dvol} = \int_B \mathbb{1}_B \cdot f\; \text{dvol}\]

Q: Beeinflusst die Wahl des Quaders \(Q\) die Riemann-Int'barkeit und den Wert des Riemann-Integrals auf Jordan-messbaren Mengen \(B\)?
A: Nein, wichtig ist nur, dass \(B \subseteq Q\).

Q: Lebesgue-Kriterium (sprich [l​ə'bɛg])
A: Sei \(B \subseteq \mathbb{R}^n\) Jordan-messbar und sei \(f: B \to \mathbb{R}^n\) beschränkt. Dann ist \(f\) genau dann Riemann-integrierbar, wenn \(f\) auf \(B\) fast überall stetig ist, das heisst, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von \(f\) eine Nullmenge ist. Insbesondere ist jede beschränkte stetige Funktion auf einer Jordan-messbaren Menge Riemann-integrierbar.

Q: Seien \(B_1\),\(B_2\) zwei Jordan-messbare Teilmengen des \(\mathbb{R}^n\) und sei \(f: B_1 \cup B_2 \to \mathbb{R}\) eine beschränkte, Riemann-integrierbare Funktion. Dann sind [...] ebenso Riemann-integrierbar und es gilt
\[\int_{B_1 \cup B_2} f \, \text{dvol} = [...]\].
A: \(f|_{B_1}\in \mathcal{R}(B_1)\), \(f|_{B_2}\in \mathcal{R}(B_2)\) und \(f|_{B_1\cap B_2}\in \mathcal{R}(B_1\cap B_2)\); \int_{B_1} f \, \text{dvol} + \int_{B_2} f \, \text{dvol} -  \int_{B_1 \cap B_2} f \, \text{dvol}
Back Extra: Ausserdem gilt für Integrale auf Jordan-messbaren Mengen analog zu jenen auf Quadern die Linearität, die Monotonie und die Dreiecksungleichung.

Q: Def. Jordan-Nullmenge (im Gegensatz zu Lebesgue-Nullmenge)
A: Eine Teilmenge \(\mathcal{J} \subseteq \mathbb{R}^n\) heisst eine Jordan-Nullmenge, falls es zu jedem \(\varepsilon > 0\) eine endliche (Lebesgue: abzählbare) Liste \(Q_1,\ldots,Q_L \subseteq \mathbb{R}^n\) offener Quader gibt, so dass
\[\mathcal{J} \subseteq \bigcup_{\ell=1}^L Q_\ell,\quad \sum_{\ell=1}^L \text{vol}(Q_\ell) < \varepsilon\]